2020版高考数学一轮复习课后限时集训49《定点定值探索性问题》(理数)（含解析）

课后限时集训(四十九)(建议用时：60分钟)A组　基础达标1．(2019·湖北部分学校联考)已知椭圆D：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，A为短轴的一个端点，且|OA|＝|OF|，△AOF的面积为1(其中O为坐标原点)．(1)求椭圆D的标准方程；(2)过椭圆D长轴左端点C作直线l与直线x＝2交于点M，直线l与椭圆D的另一交点为P，证明：·为定值．[解]　(1)因为|OA|＝|OF|，所以b＝c，而△AOF的面积为1，所以bc＝1，解得b＝c＝，所以a2＝b2＋c2＝4，所以椭圆D的标准方程为＋＝1.(2)由题意可知直线MC的斜率存在，设其方程为y＝k(x＋2)，代入＋＝1，得(1＋2k2)x2＋8k2x＋8k2－4＝0，所以P.又M(2,4k)，所以·＝(2,4k)·＝4，为定值．2．(2019·东北三校联合模拟)已知圆M：x2＋(y－2)2＝1，直线l：y＝－1，动圆P与圆M相外切，且与直线l相切．设动圆圆心P的轨迹为E.(1)求E的方程；(2)若点A，B是E上的两个动点，O为坐标原点，且·＝－16，求证：直线AB恒过定点．[解]　(1)设P(x，y)，则＝(y＋1)＋1⇒x2＝8y.所以E的方程为x2＝8y.(2)证明：易知直线AB的斜率存在，设直线AB：y＝kx＋b，A(x1，y1)，B(x2，y2)．将直线AB的方程代入x2＝8y中，得x2－8kx－8b＝0，所以x1＋x2＝8k，x1x2＝－8b.·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋＝－8b＋b2＝－16⇒b＝4，所以直线AB恒过定点(0,4)．3．(2019·湖南五市十校联考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，过左焦点F且垂直于长轴的弦长为.(1)求椭圆C的标准方程；(2)点P(m,0)为椭圆C的长轴上的一个动点，过点P且斜率为的直线l交椭圆C于A，B两点，证明：|PA|2＋|PB|2为定值．[解]　(1)由可得故椭圆C的标准方程为＋＝1.(2)证明：设直线l的方程为x＝y＋m，代入＋＝1，消去x，并整理得25y2＋20my＋8(m2－25)＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝－m，y1y2＝，又|PA|2＝(x1－m)2＋y＝y，同理可得|PB|2＝y.则|PA|2＋|PB|2＝(y＋y)＝[(y1＋y2)2－2y1y2]＝＝41.所以|PA|2＋|PB|2是定值．B组　能力提升1．(2019·邢台模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的短轴长为2，离心率为，圆E的圆心在椭圆C上，半径为2，直线y＝k1x与直线y＝k2x为圆E的两条切线．(1)求椭圆C的标准方程；(2)试问：k1·k2是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．[解]　(1)由2b＝2得b＝，∵e＝＝，∴＝，∵a2＝b2＋c2，∴＝，解得a2＝20，b2＝5，∴椭圆C的标准方程为＋＝1.(2)设E(x0，y0)，∵直线y＝k1x与圆E：(x－x0)2＋(y－y0)2＝4相切，∴＝2，整理得(x－4)k－2x0y0k1＋y－4＝0，同理可得(x－4)k－2x0y0k2＋y－4＝0，∴k1，k2为方程(x－4)x2－2x0y0x＋y－4＝0的两个根，∴k1k2＝.又∵E(x0，y0)在椭圆C：＋＝1上，∴y＝5，∴k1k2＝＝＝－，故k1k2的定值为－.2．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率e＝，短轴长为2.(1)求椭圆C的标准方程；(2)如图，椭圆左顶点为A，过原点O的直线(与坐标轴不重合)与椭圆C交于P，Q两点，直线PA，QA分别与y轴交于M，N两点．试问以MN为直径的圆是否经过定点(与直线PQ的斜率无关)？请证明你的结论．[解]　(1)由短轴长为2，得b＝，由e＝＝＝，得a2＝4，b2＝2.所以椭圆C的标准方程为＋＝1.(2)以MN为直径的圆过定点F(±，0)．证明如下：设P(x0，y0)，则Q(－x0，－y0)，且＋＝1，即x＋2y＝4，因为A(－2,0)，所以直线PA方程为y＝(x＋2)，所以M，直线QA方程为y＝(x＋2)，所以N，以MN为直径的圆为(x－0)(x－0)＋＝0，即x2＋y2－y＋＝0，因为x－4＝－2y，所以x2＋y2＋2y－2＝0，令y＝0，则x2－2＝0，解得x＝±.所以以MN为直径的圆过定点F(±，0)．