2020版高考数学一轮复习课后限时集训61《绝对值不等式》文数（含解析）北师大版 试卷

课后限时集训(六十一)　

(建议用时：60分钟)

A组　基础达标

1．(2019·四川成都七中模拟)已知函数f(x)=m－|x－1|，m∈R.

(1)当m=－1时，求不等式f(x)≥－3的解集；

(2)若f(x＋2)＋f(x－2)≥0的解集为[－2,4]，求m的值．

[解]　(1)∵f(x)=－1－|x－1|≥－3，

∴|x－1|≤2，∴x∈[－1,3]．

(2)∵m－|x＋1|＋m－|x－3|≥0的解集为[－2,4]，

∴|x＋1|＋|x－3|≤2m，而|x＋1|＋|x－3|=∴当x=4时，8－2=2m，则m=3；当x=－2时，2＋4=2m，则m=3.

经检验，当m=3时，f(x＋2)＋f(x－2)≥0的解集为[－2,4]．

2．(1)求不等式|x－1|＋|x＋2|≥5的解集；

(2)若关于x的不等式|ax－2|＜3的解集为x＜x＜，求a的值．

[解]　(1)当x＜－2时，不等式等价于－(x－1)－(x＋2)≥5，解得x≤－3；

当－2≤x＜1时，不等式等价于－(x－1)＋(x＋2)≥5，即3≥5，无解；

当x≥1时，不等式等价于x－1＋x＋2≥5，解得x≥2.

综上，不等式的解集为{x|x≤－3或x≥2}．

(2)∵|ax－2|＜3，∴－1＜ax＜5.

当a＞0时，－＜x＜，－=－，且=无解；

当a=0时，x∈R，与已知条件不符；

当a＜0时，＜x＜－，=－，且－=，

解得a=－3.

3．(2019·湖南师大月考)已知函数f(x)=g(x)=af(x)－|x－1|.

(1)当a=0时，若g(x)≤|x－2|＋b对任意x∈(0，＋∞)恒成立，求实数b的取值范围；

(2)当a=1时，求g(x)的最大值；

[解]　(1)当a=0时，g(x)=－|x－1|，

∴－|x－1|≤|x－2|＋b⇒－b≤|x－1|＋|x－2|.

∵|x－1|＋|x－2|≥|x－1＋2－x|=1，

∴－b≤1，∴b≥－1.

(2)当a=1时，

g(x)=

可知g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，

∴g(x)max=g(1)=1.

4．(2019·石家庄三模)在平面直角坐标系中，定义点P(x1，y1)，Q(x2，y2)之间的“直角距离”为L(P，Q)=|x1－x2|＋|y1－y2|，已知A(x,1)，B(1,2)，C(5,2)三点．

(1)若L(A，B)＞L(A，C)，求x的取值范围；

(2)当x∈R时，不等式L(A，B)≤t＋L(A，C)恒成立，求t的最小值．

[解]　(1)由定义得|x－1|＋1＞|x－5|＋1，则|x－1|＞|x－5|，两边平方得8x＞24，解得x＞3.故x的取值范围为(3，＋∞)．

(2)当x∈R时，不等式|x－1|≤|x－5|＋t恒成立，也就是t≥|x－1|－|x－5|恒成立，

因为|x－1|－|x－5|≤|(x－1)－(x－5)|=4，所以t≥4，tmin=4.故t的最小值为4.

5．已知函数f(x)=|x－1|＋|x－2|.

(1)求不等式f(x)≥x的解集；

(2)当≤x≤时，求证：|a＋b|＋|a－b|≥|a|f(x)(a≠0，a，b∈R)．

[解]　(1)由题f(x)=|x－1|＋|x－2|

=

∴f(x)≥x的解集为(－∞，1]∪[3，＋∞)．

(2)证明：由(1)知，当≤x≤时，1≤f(x)≤2，

∴|a|f(x)≤2|a|，

又∵|a＋b|＋|a－b|≥|(a＋b)＋(a－b)|=2|a|，

∴|a＋b|＋|a－b|≥2|a|≥|a|f(x)，

即|a＋b|＋|a－b|≥|a|f(x)(a≠0，a，b∈R)．

6．(2019·陕西宝鸡质检)设函数f(x)=|2x－1|＋|x－3|.

(1)求函数f(x)的最小值；

(2)若对于任意x，y∈R，不等式f(x)＞m(|y＋1|－|y－1|)恒成立，求m的取值范围．

[解]　(1)∵f(x)=

∴f(x)的最小值是.

(2)若对于任意x，y∈R，不等式f(x)＞m(|y＋1|－|y－1|)恒成立，等价于＞m(|y＋1|－|y－1|)对任意的y∈R恒成立，设t=|y＋1|－|y－1|，

则t=∴

解得m∈.

B组　能力提升

1．(1)解不等式：|2x－1|－|x|＜1；

(2)设f(x)=x2－x＋1，实数a满足|x－a|＜1，求证：

|f(x)－f(a)|＜2(|a|＋1)．

[解]　(1)当x＜0时，原不等式可化为1－2x＋x＜1，

解得x＞0，所以原不等式无解；

当0≤x＜时，原不等式可化为1－2x－x＜1，

解得x＞0，所以0＜x＜；

当x≥时，原不等式可化为2x－1－x＜1，

解得x＜2，所以≤x＜2.

综上所述，原不等式的解集为{x|0＜x＜2}．

(2)证明：因为|f(x)－f(a)|＜|x2－x－a2＋a|

  =|x－a|·|x＋a－1|

  ＜|x＋a－1|

  =|x－a＋2a－1|

  ≤|x－a|＋|2a－1|

  ＜1＋|2a|＋1

  =2(|a|＋1)．

所以|f(x)－f(a)|＜2(|a|＋1)．

2．已知函数f(x)=|x－1|＋|x＋a|.

(1)当a=3时，解关于x的不等式|x－1|＋|x＋a|＞6；

(2)若函数g(x)=f(x)－|3＋a|存在零点，求实数a的取值范围．

[解]　(1)当a=3时，不等式为|x－1|＋|x＋3|＞6，

即或

或解得x＜－4或x＞2，

所以所求不等式的解集为(－∞，－4)∪(2，＋∞)．

(2)函数g(x)=f(x)－|3＋a|存在零点等价于关于x的方程|x－1|＋|x＋a|=|3＋a|有解．

因为|x－1|＋|x＋a|≥|x－1－(x＋a)|=|a＋1|，

所以|3＋a|≥|a＋1|，即|3＋a|2≥|a＋1|2，解得a≥－2，所以实数a的取值范围是[－2，＋∞)．