2020版高考数学一轮复习课后限时集训38《空间图形的基本关系与公理》文数（含解析）北师大版 试卷

课后限时集训(三十八)　(建议用时：60分钟)A组　基础达标一、选择题1．下列命题中，真命题的个数为(　　)①如果两个平面有三个不在一条直线上的公共点，那么这两个平面重合；    ②两条直线可以确定一个平面；③空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内；④若M∈α，M∈β，α∩β=l，则M∈l.A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4B　[根据公理2，可判断①是真命题；两条异面直线不能确定一个平面，故②是假命题；在空间，相交于同一点的三条直线不一定共面(如墙角)，故③是假命题；根据平面的性质可知④是真命题．综上，真命题的个数为2.]2．α是一个平面，m，n是两条直线，A是一个点，若m⃘α，nα，且A∈m，A∈α，则m，n的位置关系不可能是(　　)A．垂直 B．相交C．异面 D．平行D　[∵m⃘α，nα，且A∈m，A∈α，∴n在平面α内，m与平面α相交于点A，∴m和n异面或相交，一定不平行．]3．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是线段BC，CD1的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是(　　)A．相交 B．异面C．平行 D．垂直A　[由BCAD，ADA1D1知，BCA1D1，从而四边形A1BCD1是平行四边形，所以A1B∥CD1，又EF平面A1BCD1，EF∩D1C=F，则A1B与EF相交．]4．a，b，c是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是(　　)A．若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面B．若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交C．若a∥b，则a，b与c所成的角相等D．若a⊥b，b⊥c，则a∥cC　[对于A，B，D，a与c可能相交、平行或异面，因此A，B，D不正确，根据异面直线所成角的定义知C正确．]5．如图所示，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，AA1=2AB=2，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为(　　)A． B．C． D．D　[连接BC1，易证BC1∥AD1，则∠A1BC1即为异面直线A1B与AD1所成的角．连接A1C1，由AB=1，AA1=2，则A1C1=，A1B=BC1=，在△A1BC1中，由余弦定理得cos∠A1BC1==.]二、填空题6．(2019·长春模拟)下列命题中不正确的是________．(填序号)①没有公共点的两条直线是异面直线；②分别和两条异面直线都相交的两直线异面；③一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一条直线不可能平行；④—条直线和两条异面直线都相交，则它们可以确定两个平面．①②　[命题①错，没有公共点的两条直线平行或异面；命题②错，此时两直线有可能相交；命题③正确，因为若直线a和b异面，c∥a，则c与b不可能平行，用反证法证明如下：若c∥b，又c∥a，则a∥b，这与a，b异面矛盾，故c与b不平行；命题④正确，若c与两异面直线a，b都相交，可知a，c可确定一个平面，b，c也可确定一个平面，这样，a，b，c共确定两个平面．]7．(2019·荆门模拟)已知在四面体ABCD中，E，F分别是AC，BD的中点．若AB=2，CD=4，EF⊥AB，则EF与CD所成角的度数为________．30°　[如图，设G为AD的中点，连接GF，GE，则GF，GE分别为△ABD，△ACD的中位线．由此可得GF∥AB，且GF=AB=1，GE∥CD，且GE=CD=2，∴∠FEG或其补角即为EF与CD所成的角．又∵EF⊥AB，GF∥AB，∴EF⊥GF.因此，在Rt△EFG中，GF=1，GE=2，sin∠GEF==，可得∠GEF=30°，∴EF与CD所成角的度数为30°.]8．如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，①GH与EF平行；②BD与MN为异面直线；③GH与MN成60°角；④DE与MN垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是________．②③④　[如图，把平面展开图还原成正四面体，知GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH与MN成60°角，DE与MN垂直，故②③④正确．]三、解答题9．已知空间四边形ABCD(如图所示)，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别是BC，CD上的点，且CG=BC，CH=DC．求证：(1)E，F，G，H四点共面；(2)三直线FH，EG，AC共点．[证明]　(1)连接EF，GH，因为E，F分别是AB，AD的中点，所以EF∥BD.又因为CG=BC，CH=DC，所以GH∥BD，所以EF∥GH，所以E，F，G，H四点共面．(2)易知FH与直线AC不平行，但共面，所以设FH∩AC=M，所以M∈平面EFHG，M∈平面ABC．又因为平面EFHG∩平面ABC=EG，所以M∈EG，所以FH，EG，AC共点．10．如图所示，在三棱锥P­ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中点．已知∠BAC=，AB=2，AC=2，PA=2.求：(1)三棱锥P­ABC的体积；(2)异面直线BC与AD所成角的余弦值．[解]　(1)S△ABC=×2×2=2，三棱锥P­ABC的体积为V=S△ABC·PA=×2×2=.(2)如图，取PB的中点E，连接DE，AE，则ED∥BC，所以∠ADE是异面直线BC与AD所成的角(或其补角)．在△ADE中，DE=2，AE=，AD=2，cos∠ADE==.故异面直线BC与AD所成角的余弦值为.B组　能力提升1．已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为(　　)A．　　　　B.　　　　C．　　　　D.B　[画出正四面体ABCD的直观图，如图所示．设其棱长为2，取AD的中点F，连接EF，设EF的中点为O，连接CO，则EF∥BD，则∠FEC就是异面直线CE与BD所成的角．△ABC为等边三角形，则CE⊥AB，易得CE=，同理可得CF=，故CE=CF.因为OE=OF，所以CO⊥EF.又EO=EF=BD=，所以cos∠FEC===.]2.如图所示，在四面体ABCD中作截面PQR，若PQ与CB的延长线交于点M，RQ与DB的延长线交于点N，RP与DC的延长线交于点K.给出以下命题：①直线MN平面PQR；②点K在直线MN上；③M，N，K，A四点共面．其中正确结论的序号为________．①②③　[由题意知，M∈PQ，N∈RQ，K∈RP，从而点M，N，K∈平面PQR.所以直线MN平面PQR，故①正确．同理可得点M，N，K∈平面BCD.从而点M，N，K在平面PQR与平面BCD的交线上，即点K在直线MN上，故②正确．因为A∉直线MN，从而点M，N，K，A四点共面，故③正确．]3．如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，则异面直线AP与BD所成的角为________．　[如图，将原图补成正方体ABCD­QGHP，连接AG，GP，则GP∥BD，所以∠APG为异面直线AP与BD所成的角，在△AGP中，AG=GP=AP，所以∠APG=.]4．如图，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与四边形ABCD都是直角梯形，∠BAD=∠FAB=90°，BCAD，BEFA，G，H分别为FA，FD的中点．(1)求证：四边形BCHG是平行四边形；(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？[解]　(1)证明：由题设知，FG=GA，FH=HD，所以GHAD.又BCAD，故GHBC．所以四边形BCHG是平行四边形．(2)C，D，F，E四点共面．理由如下：由BEFA，G是FA的中点知，BEGF，所以EFBG.由(1)知BG∥CH，所以EF∥CH，故EC，FH共面．又点D在直线FH上，所以C，D，F，E四点共面．