新课改专用2020版高考数学一轮跟踪检测55《题型上-全析高考常考的6大题型》(含解析)

课时跟踪检测（五十五） 题型上——全析高考常考的6大题型1．(2019·唐山联考)已知F为抛物线E：y2＝4x的焦点，过点P(0,2)作两条互相垂直的直线m，n，直线m交E于不同的A，B两点，直线n交E于不同的两点C，D，记直线m的斜率为k.(1)求k的取值范围；(2)设线段AB，CD的中点分别为点M，N，证明：直线MN过定点Q(2,0)．解：(1)由题设可知k≠0，所以直线m的方程为y＝kx＋2，与y2＝4x联立，整理得ky2－4y＋8＝0.①由Δ1＝16－32k＞0，解得k＜.直线n的方程为y＝－x＋2，与y2＝4x联立，整理得y2＋4ky－8k＝0，由Δ2＝16k2＋32k＞0，解得k＞0或k＜－2.所以故k的取值范围为(－∞，－2)∪.(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)．由①得，y1＋y2＝，则y0＝，x0＝－，则M.同理可得N(2k2＋2k，－2k)．直线MQ的斜率kMQ＝＝－，直线NQ的斜率kNQ＝＝－＝kMQ，所以直线MN过定点Q(2,0)．2．已知椭圆C的两个顶点分别为A(－2,0)，B(2,0)，焦点在x轴上，离心率为.(1)求椭圆C的方程；(2)如图所示，点D为x轴上一点，过点D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过点D作AM的垂线交BN于点E.求证：△BDE与△BDN的面积之比为.解：(1)设椭圆C的方程为＋＝1(a＞b＞0)，由题意得解得c＝，所以b2＝a2－c2＝1，所以椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)证明：设D(x0,0)，M(x0，y0)，N(x0，－y0)，－2＜x0＜2，所以kAM＝，因为AM⊥DE，所以kDE＝－，所以直线DE的方程为y＝－(x－x0)．因为kBN＝－，所以直线BN的方程为y＝－(x－2)．由解得E，所以S△BDE＝|BD|·|yE|，S△BDN＝|BD|·|yN|，所以＝＝＝，结论成立．3．(2019·南昌模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，准线为l，过焦点F的直线交C于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，y1y2＝－4.(1)求抛物线C的方程；(2)如图，点B在准线l上的正投影为E，D是C上一点，且AD⊥EF，求△ABD面积的最小值及此时直线AD的方程．解：(1)依题意知F，当直线AB的斜率不存在时，y1y2＝－p2＝－4，解得p＝2.当直线AB的斜率存在时，设lAB：y＝k(k≠0)，由消去x并整理，得y2－y－p2＝0，则y1y2＝－p2，由y1y2＝－4得p2＝4，解得p＝2.综上所述，抛物线C的方程为y2＝4x.(2)设D(x0，y0)，B，则E(－1，t)，又由y1y2＝－4，可得A.因为kEF＝－，AD⊥EF，所以kAD＝，则直线AD：y＋＝，化简得2x－ty－4－＝0.由消去x并整理，得y2－2ty－8－＝0，Δ＝(－2t)2－4＝4t2＋＋32＞0恒成立，所以y1＋y0＝2t，y1y0＝－8－.于是|AD|＝ |y1－y0|＝  ＝ ，设点B到直线AD的距离为d，则d＝＝.所以S△ABD＝|AD|·d＝ ≥16，当且仅当t4＝16，即t＝±2时取等号，即△ABD的最小值为16.当t＝2时，直线AD：x－y－3＝0；当t＝－2时，直线AD：x＋y－3＝0.4．(2019·昆明调研)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的焦距为4，P是椭圆C上的点．(1)求椭圆C的方程；(2)O为坐标原点，A，B是椭圆C上不关于坐标轴对称的两点，设＝＋，证明：直线AB的斜率与OD的斜率的乘积为定值．  解：(1)由题意知2c＝4，即c＝2，则椭圆C的方程为＋＝1，因为点P在椭圆C上，所以＋＝1，解得a2＝5或a2＝(舍去)，所以椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1≠x2且x1＋x2≠0，由＋＝得，D(x1＋x2，y1＋y2)，所以直线AB的斜率kAB＝，直线OD的斜率kOD＝，由得(x1＋x2)(x1－x2)＋(y1＋y2)(y1－y2)＝0，即·＝－，所以kAB·kOD＝－.故直线AB的斜率与OD的斜率的乘积为定值－.5．已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2,3)，且点F(2，0)为其右焦点．(1)求椭圆C的方程；(2)是否存在平行于OA的直线l，使得直线l与椭圆C有公共点，且直线OA与l的距离等于4？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．解：(1)依题意，可设椭圆C的方程为＋＝1(a＞b＞0)，且可知其左焦点为F′(－2,0)．从而有解得又a2＝b2＋c2，所以b2＝12.故椭圆C的方程为＋＝1.(2)假设存在符合题意的直线l，设其方程为y＝x＋t.由得3x2＋3tx＋t2－12＝0.因为直线l与椭圆C有公共点，所以Δ＝(3t)2－4×3(t2－12)＝144－3t2≥0，解得－4≤t≤4.另一方面，由直线OA与l的距离等于4，可得＝4，从而t＝±2.由于±2∉[－4，4 ]，所以符合题意的直线l不存在．6．(2019·新疆乌鲁木齐联考)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的焦距为2，且过点.(1)求椭圆C的方程；(2)过点M(2,0)的直线交椭圆C于A，B两点，P为椭圆C上一点，O为坐标原点，且满足＋＝t，其中t∈，求|AB|的取值范围．解：(1)依题意得解得∴椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)由题意可知，直线AB的斜率存在，设其方程为y＝k(x－2)．由得(1＋2k2)x2－8k2x＋8k2－2＝0，∴Δ＝8(1－2k2)＞0，解得k2＜.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝，y1＋y2＝k(x1＋x2－4)＝－.由＋＝t，得P，代入椭圆C的方程得t2＝.由＜t＜2，得＜k2＜，∴|AB|＝·＝2.令u＝，则u∈，∴|AB|＝2∈.∴|AB|的取值范围为.