初中数学北师大版八年级上册7 二次根式教学设计及反思

这是一份初中数学北师大版八年级上册7 二次根式教学设计及反思，共16页。教案主要包含了教学建议，知识导图，总结与反思等内容，欢迎下载使用。

第6讲


讲




















二次根式的运算





























概 述














【教学建议】


在利用勾股定理解决实际问题的过程中，体验数学学习的实用性, 将实际问题抽象成数学问题,


提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想．


【知识导图】














教学过程








一、导入








同学甲说：8与2是“一家人”，与 6 不是“一家人”为什么呢？学习了本节课内容后，相信大家一定找到满意的答案





二、知识讲解








考点1 生活中的立体图形





【教学建议】





考点1 二次根式








问题1 ：，，，，（其中b=24,c=25），上述式子有什么共同特征?


答：都含有开方运算，并且被开方数都是非负数.


一般地，式子叫做二次根式.a叫做被开方数．强调条件：．


问题2：二次根式怎样进行运算呢?


答：这是我们本节课要解决的新问题．


意图：通过问题，回顾旧知，为导出新知打好基础．





考点2 二次根式的性质





（一）内容：通过探究得出，．


具体过程如下：


（1）＝ ，＝ ；


＝ ，＝ ；


＝ ，＝ ； ＝ ，＝ ．


问题1：观察上面的结果你可得出什么结论？


问题2：从你上面得出的结论，发现了什么规律？能用字母表示这个规律吗？


问题3：其中的字母a，b有限制条件吗？


意图：最终归纳出（a≥0，b≥0），（a≥0， b＞0）．


说明：公式中字母a≥0，b≥0（或b＞0）这一条件是公式的一部分，不应忽略．


（2）用计算器计算：


＝ ，＝ ；＝ ，＝ ．


反过来（a≥0，b≥0），（a≥0， b＞0）仍成立.





考点3最简二次根式








例1 化简（1）；（2）；（3）.


观察：化简以后的结果中的被开方数又有什么特征？


意图：由于现在还没有最简二次根式的概念，学生实际上并不知道化简的方向，因此，这里以例题的形式呈现了有关结论.


被开方数中都不含分母，也不含能开得尽的因数。一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式。


化简时，要求最终结果中分母不含有根号，而且各个二次根式是最简二次根式。


例2.化简：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．


答案：（1）；


（2）；


（3）；


（4）；


（5）．





问题：


（1）你怎么发现45含有开得尽方的因数的？你怎么判断是最简二次根式的？


（2）将二次根式化成最简二次根式时，你有哪些经验与体会，与同伴交流。


说明：含有根号的数与一个不含根号的数相乘，一般把不含根号的数写在前面，并省略去乘号．


反思：以上化简过程有何规律呢？希望学生得出：根号里面的数有一部分移到了根号外面，具体来说是能开得尽方的因数，开方后写到了根号外面．从而明确：被开方数若有开得尽的因数，一般需要进行化简．





考点4 同类二次根式








将二次根式化为最简二次根式后，若被开方数相同，那么这样的二次根式叫同类二次根式.


二次根式的加减


（1）化成最简二次根式


（2）找出同类二次根式


（3）合并同类二次根式——将系数相加仍作系数，根指数与被开方数保持不变，可简记为：化简 — 判断 — 合并


注意：（1）化成最简二次根式后被开方数不相同的二次根式不能合并，但是不能丢弃，它们也是结果的一部分。


（2）整式加法运算中的交换律、结合律、去括号、添括号法则在二次根式运算中仍然适用。


（3）根号外的因式就是这个根式的系数，二次根式的系数是带分数的要化为假分数的形式。





考点 5 二次根式的混合运算








二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号）。


在二次根式的运算中，有理数的运算律、多项式乘法法则及乘法公式仍然使用乘法公式，有时还需要灵活运用公式和逆用公式，这样可以使计算过程大大简化。


注意：在进行二次根式的计算时，能用乘法公式的要尽量适用





三 、例题精析








类型一 二次根式


1．要使根式有意义，则字母x的取值范围是______．


【解析】


【总结与反思】二次根式的定义


类型二 二次根式的性质


1.能使等式成立的x的取值范围是（ ）


A．x≠2 B．x≥0 C．x＞2 D．x≥2


【解析】C


由题意可得，，解得x＞2.


【总结与反思】二次根式的性质.


2.下列计算正确的是( )


A. B. C. D.


【解析】A


【解析】A. ，正确； B不是同类二次根式不能合并，错误；


C，错误； D，错误．故选A．


【总结与反思】 二次根式的性质





类型三 最简二次根式


下列根式中属最简二次根式的是（ ）


A． B． C. D.


【解析】A


A、是最简二次根式，符合题意；


B、，故不是最简二次根式，故此选项错误；


C、，故不是最简二次根式，故此选项错误；


D、，故不是最简二次根式，故此选项错误； 故选A．


【总结与反思】最简二次根式的定义


类型四 同类二次根式


在下列各组根式中，是同类二次根式的是（ ）．


A．和 B．和 C．和 D．和


【解析】B


A、∵，∴和不是同类二次根式；


B、∵，∴和是同类二次根式；


C、，，∴和不是同类二次根式；


D、和不是同类二次根式，故选：B．


【总结与反思】同类二次根式的判定


类型五 二次根式的混合运算


计算（+）（-）的结果为 ．


【解析】-1


根据平方差公式：（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2,(+)(-)=()²-()²=-1


【总结与反思】混合运算顺序及整式乘法公式.








四 、课堂运用








基础








当x______时，式子有意义．


若有意义，则a能取得的最小整数值是______．


若有意义，则______．


下列二次根式中，属于最简二次根式的是( )


(A)(B)(C)(D)


5．下列二次根式中，与是同类二次根式的是( )


(A)(B)(C)(D)


6.计算下列各式


（1） (2)





答案与解析


1.【答案】


【解析】二次根式的定义及代数式有意义的条件.


2.【答案】0


【解析】二次根式的定义


3.【答案】1


【解析】二次根式的定义


4.【答案】D


【解析】简二次根式的定义


5.【答案】D


【解析】同类二次根式的判定


6 【答案】（1）24;（2）


【解析】（1）原式=


（2）原式=


巩固








巩固





1．要使根式有意义，则字母x的取值范围是______．


2．在下列各组根式中，是同类二次根式的是( )


(A)和(B)和(C)和(D)和


3．下列各组式子中，不是同类二次根式的是( )


(A)与(B)与(C)与(D)与


4．下列二次根式中，与是同类二次根式的是( )


(A)(B)(C)(D)


5.计算下列句式.


(1) (2)


答案与解析


1.【答案】且x≠－2


【解析】二次根式的定义及代数式有意义的条件.


2.【答案】B


【解析】同类二次根式的判定.


3.【答案】C


【解析】同类二次根式的判定


4.【答案】D


【解析】同类二次根式的判定


5.【答案】（1）6;(2)


【解析】(1)原式=


(2)原式=





拔高








1.x为实数，下列式子一定有意义的是( )


(A)(B)(C)(D)


2．计算的结果是( )


(A)3(B)(C)(D)


3．在二次根式中同类二次根式的个数为( )


(A)4(B)3(C)2(D)1


4.计算下列各式


(1) (2)


答案与解析


1.【答案】D


【解析】代数式有意义的条件.


2.【答案】B


【解析】二次根式的运算


3.【答案】C


【解析】同类二次根式的判定.


4.【答案】（1）;（2）


【解析】（1）原式=


（2）原式=





五 、课堂小结











本节讲了4个重要内容：


1.二次根式的定义


2.二次根式的性质


3.最简二次根式


4.同类二次根式





六 、课后作业











基础





1．使式子有意义的实数x的取值范围是( )


(A)x≥1(B)x＞1且x≠－2(C)x≠－2(D)x≥1且x≠－2


2.化简的结果是( )


(A)(B)(C)(D)


3.若最简二次根式与是同类二次根式，则－b的值是( )


(A)0(B)1(C)－1(D)


4.计算的值是 ．


答案与解析


1.【答案】A


【解析】代数式有意义的条件.


2.【答案】C


【解析】化简二次根式.


3.【答案】C


【解析】同类二次根式的判定.


4. 【答案】．


【解析】原式=．故答案为：．





巩固








1. 化简下列各式：


(1) (2)；


2.若a≤0，则化简后为( )


(A)(B) (C) (D)


3.若ab＜0，则化简的结果是________．


答案与解析


1.【答案】(1) (2)


【解析】（1）原式=


（2）原式=


2.【答案】B


【解析】


3.【答案】


【解析】的被开方数a2b＞0，而a2＞0，所以b＞0．


又因为ab＜0，所以a、b异号，所以a＜0，


所以





拔高








1.若二次根式 是最简二次根式，则最小的正整数a= ．


2.当ａ＜1时，化简：


3.(1)； (2)


答案与解析


1.【答案】 a=2


【解析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．二次根式是最简二次根式，则最小的正整数a=2．


2. 【答案】


【解析】根据ａ＜1可得a-2＜0，然后利用二次根式的性质化简计算即可．


3. 【答案】(1)1 (2)


【解析】（1）原式


（2）原式=





七 、教学反思











适用学科
初中数学
适用年级
初二
适用区域
北师版区域
课时时长（分钟）
120
知识点
二次根式的定义和性质


最简二次根式及化简


同类二次根式


二次根式的计算
教学目标
1.认识二次根式和最简二次根式的概念.


2.探索二次根式的性质．


3.利用二次根式的性质将二次根式化为最简二次根式．


4.通过对公式的反向运用，达到化简的目的．学会一种特殊的思考方法．


5.在探究、合作活动中，发展学生探究能力和合作意识．


6.通过对公式的逆运用，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性．
教学重点
利用二次根式的性质将二次根式化为最简二次根式，并进行计算．
教学难点
利用二次根式的性质将二次根式化为最简二次根式，并进行计算．