初中北师大版第一章 勾股定理1 探索勾股定理教案

这是一份初中北师大版第一章 勾股定理1 探索勾股定理教案，共21页。教案主要包含了教学建议，知识导图，总结与反思等内容，欢迎下载使用。

第1讲


讲























探索勾股定理






































概 述














【教学建议】


本节课的学习从探索发现开始，要注重探索过程的循序渐进,注重理论与实际相结合,结合生活实例,深入体会,认真观察与思考，并总结经验.


【知识导图】











教学过程








一、导入








如图，这是某种牛奶的长方体包装盒，长、宽、高分别为5cm、4cm、12cm，插吸管处的出口到相邻两边的距离都是1cm，为了设计配套的直吸管，要求插入碰到底面后，外露的吸管长度要在3cm至5cm间（包括3cm与5cm，不计吸管粗细及出口的大小），则设计的吸管总长度L的范围是 _________时才比较合适．











二、知识讲解








考点1 勾股定理的探索











探索活动一


特殊图形（等腰直角三角形）


在网格中建立等腰直角三角形，直接看出、、 (以小正方形的面积为单位1)








问：你能发现各图中三个正方形的面积之间有何关系吗？





学生通过观察，归纳发现：


结论1 以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积．


意图：从观察实际生活中常见的地板砖入手，让学生感受到数学就在我们身边．通过对特殊情形的探究得到结论1，为探究活动二作铺垫.


效果：1．探究活动一让学生独立观察，自主探究，培养独立思考的习惯和能力；2．通过探索发现，让学生得到成功体验，激发进一步探究的热情和愿望.


探究活动二


内容：由结论1我们自然产生联想：一般的直角三角形是否也具有该性质呢？


观察下面两幅图：


























（2）填表：


（3）你是怎样得到正方形C的面积的？与同伴交流．（学生可能会做出多种方法，教师应给予充分肯定．）























图1 图2 图3





学生的方法可能有：


方法一：


如图1，将正方形C分割为四个全等的直角三角形和一个小正方形， ．


方法二：


如图2，在正方形C外补四个全等的直角三角形，形成大正方形，用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，．


方法三：


如图3，正方形C中除去中间5个小正方形外，将周围部分适当拼接可成为正方形，如图3中两块红色（或两块绿色）部分可拼成一个小正方形，按此拼法，．


（4）分析填表的数据，你发现了什么？


学生通过分析数据，归纳出：


结论2 以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积．


意图：探究活动二意在让学生通过观察、计算、探讨、归纳进一步发现一般直角三角形的性质．由于正方形C的面积计算是一个难点，为此设计了一个交流环节.


效果：学生通过充分讨论探究，在突破正方形C的面积计算这一难点后得出结论2.





考点2 勾股定理











议一议


内容：（1）你能用直角三角形的边长，，来表示上图中正方形的面积吗？


（2）你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？


（3）分别以5厘米、12厘米为直角边作出一个直角三角形，并测量斜边的长度．2中发现的规律对这个三角形仍然成立吗？


勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用，，分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么．


数学小史：勾股定理是我国最早发现的，中国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦，“勾股定理”因此而得名．（在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理）


意图：议一议意在让学生在结论2的基础上，进一步发现直角三角形三边关系，得到勾股定理.





考点3 验证勾股定理


效果：1．让学生归纳表述结论，可培养学生的抽象概括能力及语言表达能力；2．通过作图培养学生的动手实践能力.


图1








探索活动：


拼图验证. 准备的四个全等的直角三角形拼出正方形.


思考1： 你能由图1表示大正方形的面积吗？


能用两种方法吗？能由此得到勾股定理吗？





























2：你能由图2表示大正方形的面积吗？能用两种方法吗？





22


能由此得到勾股定理吗？














图2











a


a


b


b


c


c











3、请利用图3验证勾股定理

















图3














（简单说明：1881年，伽菲尔德就任美国第二十任总统。后来，人们为了纪念他对勾股定理直观明了的证明，就把这一证法称为“总统证法”）


4、利用四个全等的直角三角形拼图验证勾股定理你还有哪些方法？


三 、例题精析








类型一 勾股定理的探索





例题1








如图，Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=15cm，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为（ ）．





A．150 B．200 C．225 D．无法计算


【解析】C


【总结与反思】结合勾股定理的探索过程可知,以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积.





例题2








如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则所有正方形的面积的和是（ ）





A、28 B、49 C、98 D、147


【解析】D


【总结与反思】以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积.


类型二 利用勾股定理求边长





例题1








在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝12，b＝16，则c的长为（ ）


A.26 B.18 C.20 D.21


【解析】C





例题2


【总结与反思】 本题考查的是勾股定理.











如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠DBC=90°，若AD=4cm，AB=3cm，BC=12cm，则四边形ABCD的面积 ．





【解析】在Rt△ABD中，BD²=AD²+AB²=25,∴BD=5cm


在Rt△CBD中，CD²=BD²+BC²=169,∴CD=13cm


四边形ABCD的面积==6+30=36cm²


所以,四边形ABCD的面积为36cm²


【总结与反思】 本题考查的是勾股定理.





例题3











如图，在矩形纸片ABCD中，AB=12，BC=5，点E在AB上，将△DAE沿DE折叠，使点A落在对角线BD上的点A′处，则AE的长为（ ）


A、 B、3 C、5 D、








【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD=12，BC=AD=5,


在Rt△ABD中，BD²=AD²+AB²=169,∴BD=13.


由折叠可知,AD= A′D=5,所以 A′B=13-5=8


设AE= A′E=x，则BE=12﹣x，由勾股定理，得：，


解得, x=,即AE=,故A.


【总结与反思】 本题考查的是勾股定理和折叠的综合应用.


类型三 勾股定理的验证





例题1








数学实验室：


实验材料：硬纸板、剪刀、三角板


实验方法：剪裁、拼图、探索


实验目的：验证勾股定理，拼图填空：


操作：剪裁出若干个全等的直角三角形，三边长分别记为a、b、c，如图①。


（1）拼图一：分别用4张直角三角形纸片，拼成如图②、图③的形状，观察图②、图③可发现，图②中两个小正方形的面积之和 图③中小正方形的面积，（填“大于”“小于”“等于”）用关系式可表示为


（2）拼图二：用4张直角三角形纸片拼成如图④的形状，观察图形可以发现，图中共有3个正方形，它们的面积按大小顺序分别记为，其关系是 ，用a、b、c可表示为 。


（3）拼图三：用8张直角三角形纸片拼成如图⑤的形状，图中3个正方形的面积按大小顺序分别记为，其关系是 ，用a、b、c可表示为 。











【解析】试题分析：（1）利用图形的面积的差可用a、b、c分别表示出图②中两个小正方形的面积之和与图③中小正方形的面积，然后移项合并同类项即可得出结论；（2）猜想：，然后用a、b、c分别表示出图④中3个正方形的面积，化简即可；（3）猜想：，然后用a、b、c分别表示出图⑤中3个正方形的面积，化简即可．


试题解析：（1）等于，


（2），


（3），．


【总结与反思】本题主要考察面积法验证勾股定理.








四 、课堂运用











基础











1.一座建筑物发生了火灾，消防车到达现场后，发现最多只能靠近建筑物底端5米，消防车的云梯最大升长为13米，则云梯可以达到该建筑物的最大高度是（ ）


A．12米 B．13米 C．14米 D．15米


2.把直角三角形的两直角边均扩大到原来的两倍，则斜边扩大到原来的( )


A．8倍 B．4倍 C．2倍 D．6倍


3.一直角三角形的斜边比一直角边大4，另一直角边长为8，则斜边长为（ ）


A．6 B．8 C．10 D．12


4.若一个直角三角形的三边长分别为a，b，c，且a2=9，b2=16，则c2为（ ）


A．25 B．7 C．7或25 D．9或16


5.如图，将三个大小不同的正方形如图放置，顶点处两两相接，若正方形A的边长为4，C的边长为3，则B的边长为 ．





答案与解析


1.【答案】A


【解析】勾股定理的应用


2．【答案】C


【解析】本题主要考查勾股定理


3.答案】C．


【解析】利用勾股定理求边长


4. C


【解析】本题主要考查勾股定理及分类讨论思想.


5. 【答案】5


【解析】勾股定理的探索








巩固








1.已知一直角三角形的木板，三边的平方和为800 cm2，则斜边长为 ．


2.已知三角形ABC中∠C=90°，AC=3，BC=4，则斜边AB上的高为 .


3.练习直角三角形的斜边为20cm，两条直角边之比为3∶4，那么这个直角三角形的周长为（ ）


A . 27cm B. 30cm C. 40cm D. 48cm


答案与解析


1.【答案】20cm


【解析】本题主要考查勾股定理的灵活应用


2.【答案】．


【解析】本题主要考查勾股定理及直角三角形的面积.


3.D


【解析】本题在常规几何体的基础上增加了一些变化，主要考查勾股定理.














拔高








1.在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是,,，则 ．





2.已知Rt△ABC中，∠C=90°，a+b=14，c=10，则Rt△ABC的面积是（ ）


A、24 B、36 C、48 D、60


3.如图，矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝24cm，如果将该矩形沿对角线BD折叠，那么图中阴影部分△BDE的面积 cm2．








答案与解析


1.【答案】4


【解析】勾股定理探索的应用


2.【答案】A.


【解析】本题主要考查勾股定理及面积的综合应用


3.【答案】90．


【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD=12CM，BC=AD=24CM，AD∥BC，∠A=90°，


∴∠EDB=∠CBD．∵△CBD与△C′BD关于BD对称，∴△CBD≌△C′BD，∴∠EBD=∠CBD，


∴∠EBD=∠EDB，∴BE=DE．


设DE为x，则AE=24﹣x，BE=x，由勾股定理，得：，，∴DE=15cm，


∴S△BDE=cm2．故答案为：90．





五 、课堂小结











本节讲了3个重要内容：


探索勾股定理


勾股定理


验证勾股定理.


本节课与生活实际联系紧密，需要教师授课过程中多结合生活实际，用循序渐进的方法，让学生有一个清晰的认识六 、课后作业








.





六 、课后作业














基础





1．如图：一个长、宽、高分别为4cm、3cm、12cm的长方体盒子能容下的最长木棒长为（ ）





A．11cm B．12cm C．13cm D．14cm


2.如图，有两棵树，一棵高10m，另一棵高4m，两树相距8m．一只小鸟从一棵树的树尖飞到另一棵树的树尖，那么这只小鸟至少要飞行 m．





3.已知直角三角形斜边长为12㎝，周长为30㎝，则此三角形的面积为 .


答案与解析


1.【答案】C


【解析】本题主要考查勾股定理的应用.


2.【答案】10米


【解析】本题主要考查勾股定理的应用.


3.【答案】45.


【解析】本题主要考查勾股定理及面积.





巩固











1.已知△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于D.


B


A


C


D





（1）若∠A＝38º，求∠DCB的度数；


（2）若AB＝5，CD＝3，求BC²的长.


2.如图，以等腰三角形AOB的斜边为直角边向外作第2个等腰直角三角形，再以等腰直角三角形的斜边为直角边向外作第3个等腰直角三角形，…，如此作下去，若OA=OB=1，则第n个等腰直角三角形的面积= ．





3.如图所示，直角三边形三边上的半圆面积从小到大依次记为、、，则、、的关系是（ ）


A、+= B、


C、 D、





答案与解析


1.【答案】（1）19°; （2）10.


【解析】∵AB＝AC，∠A＝38º，∴∠ACB＝∠B=,又∵CD⊥AB，∴∠A+∠ACD=90°，∴∠ACD=52°∴∠DCB=∠ACB-∠ACD=71°-52°=19°；


（2）∵AB＝AC，AB＝5，∴AC =5，在Rt△ACD中，,∴BD=AB-AD=5-4=1，在Rt△BCD中，.


3.【答案】Sn=2n-1．


【解析】本题主要考查勾股定理及类比探究.


4. 【答案】A．


【解析】本题主要考查勾股定理.





拔高





1. 如图，





1.如图，折叠长方形的一边AD使点D落在BC边的点F处，已知AB = 8cm，BC = 10 cm，则EC的长为 cm．








2.等腰三角形的腰长是10，一腰上的高为6，则底边的平方为（ ）．


A．40 B．80 C．40或360 D．80或360


3.如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，若点P在边AC上移动，则BP的最小值是 ．








答案与解析


1. 【答案】3．


【解析】本题主要考查勾股定理在折叠中的应用.


2.C


【解析】本题主要考查勾股定理及分类讨论思想.


3.答案】4.8．


【解析】本题主要考查勾股定理及最值.





七 、教学反思





适用学科
初中数学
适用年级
初二
适用区域
北师版区域
课时时长（分钟）
120
知识点
1、利用勾股定理求边长2、勾股定理与面积关系3、折叠问题4、利用勾股定理解决实际问题5、验证勾股定理
教学目标
1、了解勾股定理的各种探究方法及内在联系


2、掌握勾股定理，能运用勾股定理.
教学重点
能运用勾股定理解决一些实际问题
教学难点
勾股定理的应用
A的面积
B的面积
C的面积
+的值
左图
右图
A的面积（单位面积）
B的面积（单位面积）
C的面积（单位面积）
+的值
左图
右图