高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.7 三角函数的应用学案设计

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.7 三角函数的应用学案设计，共9页。学案主要包含了s时，电流强度I为eq等内容，欢迎下载使用。

5.7 三角函数的应用








温州市区著名景点——江心屿，江心屿上面有座寺庙——江心寺，在江心寺中题了一副非常知名的对联．上联是：云朝朝 朝朝朝 朝朝朝散；下联是：潮长长 长长长 长长长消．该对联巧妙地运用了叠字诗展现了瓯江潮水涨落的壮阔画面．下面是瓯江江心屿码头在某年某个季节每天的时间与水深的关系表：





江心屿


问题：(1)仔细观察表格中的数据，你能从中得到一些什么信息？


(2)以时间为横坐标，水深为纵坐标建立平面直角坐标系，将上面表格中的数据对应点描在直角坐标系中，你能得到什么结论？


提示：(1)水深随时间的变化呈周期变化．


(2)若用平滑的曲线连结各点，则大致呈正弦曲线．





1．函数y＝Asin(ωx＋φ)，A＞0，ω＞0中参数的物理意义





2．解三角函数应用题的基本步骤


(1)审清题意；


(2)搜集整理数据，建立数学模型；


(3)讨论变量关系，求解数学模型；


(4)检验，作出结论．





1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)


(1)函数y＝|sin x＋eq \f(1,2)|的周期为π.( )


(2)一个弹簧振子做简谐振动的周期为0.4 s，振幅为5 cm，则该振子在2 s内通过的路程为50 cm.( )


(3)电流强度I(A)随时间t(s)变化的关系式是I＝5sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(100πt＋\f(π,3)))，则当t＝eq \f(1,200) s时，电流强度I为eq \f(5,2) A．( )


[提示] (1)错误．函数y＝|sin x＋eq \f(1,2)|的周期为2π.


(2)错误．一个周期通过路程为20 cm，所以2 s内通过的路程为20×eq \f(2,0.4)＝100(cm)．


(3)正确．


[答案] (1)× (2)× (3)√


2．函数y＝eq \f(1,3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)x＋\f(π,6)))的周期、振幅、初相分别是( )


A．3π，eq \f(1,3)，eq \f(π,6) B．6π，eq \f(1,3)，eq \f(π,6)


C．3π，3，－eq \f(π,6) D．6π，3，eq \f(π,6)


B [y＝eq \f(1,3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)x＋\f(π,6)))的周期T＝eq \f(2π,\f(1,3))＝6π，振幅为eq \f(1,3)，初相为eq \f(π,6).]


3．函数y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－\f(π,6)))的频率为 ，相位为 ，初相为 ．


eq \f(1,4π) eq \f(1,2)x－eq \f(π,6) －eq \f(π,6) [频率为eq \f(1,T)＝eq \f(\f(1,2),2π)＝eq \f(1,4π)，


相位为eq \f(1,2)x－eq \f(π,6)，初相为－eq \f(π,6).]


4．如图为某简谐运动的图象，则这个简谐运动需要 s往返一次．





0.8 [观察图象可知此简谐运动的周期T＝0.8，所以这个简谐运动需要0.8 s往返一次．]





【例1】 已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s(cm)随时间t(s)的变化规律为s＝4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2t＋\f(π,3)))，t∈[0，＋∞)．用“五点法”作出这个函数的简图，并回答下列问题．


(1)小球在开始振动(t＝0)时的位移是多少？


(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？


(3)经过多长时间小球往复振动一次？


[思路点拨] 确定函数y＝Asin(ωx＋φ)中的参数A，ω，φ的物理意义是解题关键．


[解] 列表如下：


描点、连线，图象如图所示．





(1)将t＝0代入s＝4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2t＋\f(π,3)))，得s＝4sin eq \f(π,3)＝2eq \r(3)，所以小球开始振动时的位移是2eq \r(3) cm.


(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4 cm和－4 cm.


(3)因为振动的周期是π，所以小球往复振动一次所用的时间是π s.





在物理学中，物体做简谐运动时可用正弦型函数y＝Asinωx＋φ表示物体振动的位移y随时间x的变化规律，A为振幅，表示物体离开平衡位置的最大距离，T＝eq \f(2π,ω)为周期，表示物体往复振动一次所需的时间，f＝eq \f(1,T)为频率，表示物体在单位时间内往复振动的次数.





eq \([跟进训练])


交流电的电压E(单位：V)与时间t(单位：s)的关系可用E＝220eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(100πt＋\f(π,6)))来表示，求：


(1)开始时电压；


(2)电压值重复出现一次的时间间隔；


(3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间．


[解] (1)当t＝0时，E＝110eq \r(3)(V)，即开始时的电压为110eq \r(3) V.


(2)T＝eq \f(2π,100π)＝eq \f(1,50)(s)，即时间间隔为0.02 s.


(3)电压的最大值为220eq \r(3) V，当100πt＋eq \f(π,6)＝eq \f(π,2)，即t＝eq \f(1,300) s时第一次取得最大值.


[探究问题]


在处理曲线拟合和预测的问题时，通常需要几个步骤？


提示：(1)根据原始数据画出散点图．


(2)通过考察散点图，画出与其“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线．


(3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式．


(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，以便为决策和管理提供依据．


【例2】 已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(时)的函数，其中0≤t≤24，记y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据：


经长期观测，y＝f(t)的图象可近似地看成是函数y＝Acs ωt＋b的图象．


(1)根据以上数据，求其最小正周期，振幅及函数解析式；


(2)根据规定，当海浪高度大于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的8：00到20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行活动？


[思路点拨] (1)根据y的最大值和最小值求A，b，定周期求ω.


(2)解不等式y＞1，确定有多少时间可供冲浪者活动．


[解] (1)由表中数据可知，T＝12，∴ω＝eq \f(π,6).又t＝0时，y＝1.5，∴A＋b＝1.5；t＝3时，y＝1.0，得b＝1.0，所以振幅为eq \f(1,2)，函数解析式为y＝eq \f(1,2)cseq \f(π,6)t＋1(0≤t≤24)．


(2)∵y＞1时，才对冲浪爱好者开放，∴y＝eq \f(1,2)cseq \f(π,6)t＋1＞1，cseq \f(π,6)t＞0,2kπ－eq \f(π,2)＜eq \f(π,6)t＜2kπ＋eq \f(π,2)，即12k－3＜t＜12k＋3，(k∈Z)．又0≤t≤24，所以0≤t＜3或9＜t＜15或21＜t≤24，所以在规定时间内只有6个小时冲浪爱好者可以进行活动，即9＜t＜15.





1．若将本例中“大于1米”改为“大于1.25米”，结果又如何？


[解] 由y＝eq \f(1,2)cseq \f(π,6)t＋1＞1.25得cseq \f(π,6)t＞eq \f(1,2)，2kπ－eq \f(π,3)＜eq \f(π,6)t＜2kπ＋eq \f(π,3)，k∈Z，即12k－2＜t＜12k＋2，k∈Z.


又0≤t≤24，所以0≤t＜2或10＜t＜14或22＜t≤24，


所以在规定时间内只有4个小时冲浪爱好者可以进行活动，即10＜t＜14.


2．若本例中海滨浴场某区域的水深y(米)与时间t(时)的数据如下表：


用y＝Asin ωt＋b刻画水深与时间的对应关系，试求此函数解析式．


[解] 函数y＝Asin ωt＋b在一个周期内由最大变到最小需9－3＝6(h)，此为半个周期，∴函数的最小正周期为12 h，因此eq \f(2π,ω)＝12，ω＝eq \f(π,6).


又∵当t＝0时，y＝10；当t＝3时，ymax＝13，


∴b＝10，A＝13－10＝3，


∴所求函数的解析式为y＝3sin eq \f(π,6)t＋10(0≤t≤24)．





解三角函数应用问题的基本步骤





提醒：关注实际意义求准定义域．











1．掌握2个应用


(1)三角函数在物理中的应用．


(2)三角函数在生活中的应用．


2．掌握4个步骤


解答三角函数应用题的基本步骤可分为四步：审题、建模、解模、还原评价．


(1)构建三角函数模型解决具有周期变化现象的实际问题．


(2)对于测量中的问题归结到三角形中去处理，应用三角函数的概念和解三角形知识解决问题．





1．商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一节某商场的人流量满足函数F(t)＝50＋4sin eq \f(t,2)(t≥0)，则在下列哪个时间段内人流量是增加的( )


A．[0,5] B．[5,10]


C．[10,15] D．[15,20]


C [由2kπ－eq \f(π,2)≤eq \f(t,2)≤2kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，知函数F(t)的增区间为[4kπ－π，4kπ＋π]，k∈Z.当k＝1时，t∈[3π，5π]，而[10,15]⊆[3π，5π]，故选C.]


2．在两个弹簧上各有一个质量分别为M1和M2的小球做上下自由振动．已知它们在时间t(s)离开平衡位置的位移s1(cm)和s2(cm)分别由s1＝5sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2t＋\f(π,6)))，s2＝10cs 2t确定，则当t＝eq \f(2π,3) s时，s1与s2的大小关系是( )


A．s1＞s2 B．s1＜s2


C．s1＝s2 D．不能确定


C [当t＝eq \f(2π,3)时，s1＝5sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4π,3)＋\f(π,6)))＝5sineq \f(3π,2)＝－5，


当t＝eq \f(2π,3)时，s2＝10cseq \f(4π,3)＝10×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝－5，


故s1＝s2.]


3．一根长l cm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式为s＝3cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(\f(g,l))t＋\f(π,3)))，其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s时，线长l＝ cm.


eq \f(g,4π2) [由已知得eq \f(2π,\r(\f(g,l)))＝1，所以eq \r(\f(g,l))＝2π，eq \f(g,l)＝4π2，l＝eq \f(g,4π2).]


4．如图所示的图象显示的是相对于平均海平面的某海湾的水面高度y(m)在某天24 h内的变化情况，则水面高度y关于从夜间0时开始的时间x的函数关系式为 ．





y＝－6sineq \f(π,6)x [设y与x的函数关系式为y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，则A＝6，T＝eq \f(2π,ω)＝12，ω＝eq \f(π,6).


当x＝9时，ymax＝6.


故eq \f(π,6)×9＋φ＝eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z.


取k＝1得φ＝π，即y＝－6sineq \f(π,6)x.]


5．如图所示，某动物种群数量1月1日低至700,7月1日高至900，其总量在此两值之间依正弦型曲线变化．





(1)求出种群数量y关于时间t的函数表达式；(其中t以年初以来的月为计量单位)


(2)估计当年3月1日动物种群数量．


[解] (1)设种群数量y关于t的解析式为y＝Asin(ωt＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－A＋b＝700，,A＋b＝900，))


解得A＝100，b＝800.


又周期T＝2×(6－0)＝12，


∴ω＝eq \f(2π,T)＝eq \f(π,6)，∴y＝100sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)t＋φ))＋800.


又当t＝6时，y＝900，


∴900＝100sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)×6＋φ))＋800，


∴sin(π＋φ)＝1，∴sin φ＝－1，


∴取φ＝－eq \f(π,2)，


∴y＝100sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)t－\f(π,2)))＋800.


(2)当t＝2时，


y＝100sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)×2－\f(π,2)))＋800＝750，


即当年3月1日动物种群数量约是750.


学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，并会用三角函数模型解决一些简单的实际问题．(重点)


2.实际问题抽象为三角函数模型．(难点)
1.通过建立三角模型解决实际问题，培养数学建模素养.


2.借助实际问题求解，提升数学运算素养.
时间
0
1
3
6
8
9
12
15
18
21
24
水深
6
6.25
7.5
5
2.84
2.5
5
7.5
5
2.5
5
三角函数模型在物理学中的应用
t
－eq \f(π,6)
eq \f(π,12)
eq \f(π,3)
eq \f(7π,12)
eq \f(5π,6)
2t＋eq \f(π,3)
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
2π
sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2t＋\f(π,3)))
0
1
0
－1
0
s
0
4
0
－4
0
三角函数模型的实际应用
t
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y
1.5
1.0
0.5
1.0
1.5
1
0.5
0.99
1.5
t(时)
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y(米)
10.0
13.0
9.9
7.0
10.0
13.0
10.1
7.0
10.0