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北京市2019年中考数学试题-含答案解析
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北京市2019年中考数学试题
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
题号
一
二
三
总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题)
请点击修改第I卷的文字说明
评卷人
得分
一、单选题
1．4月24日是中国航天日，1970年的这一天，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一号”成功发射，标志着中国从此进入了太空时代，它的运行轨道，距地球最近点439 000米．将439 000用科学记数法表示应为（ ）
A．0.439×106 B．4.39×106 C．4.39×105 D．139×103
2．下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．正十边形的外角和为（ ）
A．180° B．360° C．720° D．1440°
4．在数轴上，点A，B在原点O的两侧，分别表示数a，2，将点A向右平移1个单位长度，得到点C．若CO=BO，则a的值为（ ）
A．-3 B．-2 C．-1 D．1
5．已知锐角∠AOB如图，（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作，交射线OB于点D，连接CD；
（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交于点M，N；
（3）连接OM，MN．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）
A．∠COM=∠COD B．若OM=MN，则∠AOB=20°
C．MN∥CD D．MN=3CD
6．如果，那么代数式的值为（ ）
A．-3 B．-1 C．1 D．3
7．用三个不等式，，中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
8．某校共有200名学生，为了解本学期学生参加公益劳动的情况，收集了他们参加公益劳动时间（单位：小时）等数据，以下是根据数据绘制的统计图表的一部分．
学 生
类 型
人数
时间
性别
男
7
31
25
30
4
女
8
29
26
32
8
学段
初中
25
36
44
11
高中
下面有四个推断：
①这200名学生参加公益劳动时间的平均数一定在24.5-25.5之间
②这200名学生参加公益劳动时间的中位数在20-30之间
③这200名学生中的初中生参加公益劳动时间的中位数一定在20-30之间
④这200名学生中的高中生参加公益劳动时间的中位数可能在20-30之间
所有合理推断的序号是（ ）
A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④
第II卷（非选择题)
请点击修改第II卷的文字说明
评卷人
得分
二、填空题
9．若分式的值为0，则的值为______.
10．如图，已知△ABC，通过测量、计算得△ABC的面积约为____cm2.（结果保留一位小数）
11．在如图所示的几何体中，其三视图中有矩形的是______.（写出所有正确答案的序号）
12．如图所示的网格是正方形网格，则＝_____°（点A，B，P是网格线交点）.
13．在平面直角坐标系中，点在双曲线上．点关于轴的对称点在双曲线上，则的值为______.
14．把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，则图1中菱形的面积为______．
15．小天想要计算一组数据92，90，94，86，99，85的方差．在计算平均数的过程中，将这组数据中的每一个数都减去90，得到一组新数据2，0，4，4，9，5．记这组新数据的方差为，则______. (填“”，“”或“”)
16．在矩形ABCD中，M，N，P，Q分别为边AB，BC，CD，DA上的点（不与端点重合）．
对于任意矩形ABCD，下面四个结论中，①存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；②存在无数个四边形MNPQ是矩形；③存在无数个四边形MNPQ是菱形；④至少存在一个四边形MNPQ是正方形．所有正确结论的序号是______．
评卷人
得分
三、解答题
17．计算：.
18．解不等式组：
19．关于x的方程有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根．
20．如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E，F分别在AB，AD上，BE=DF，连接EF．
（1）求证：AC⊥EF；
（2）延长EF交CD的延长线于点G，连接BD交AC于点O，若BD=4，tanG=，求AO的长．
21．国家创新指数是反映一个国家科学技术和创新竞争力的综合指数．对国家创新指数得分排名前40的国家的有关数据进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
a．国家创新指数得分的频数分布直方图（数据分成7组：
30≤x＜40，40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）；
b．国家创新指数得分在60≤x＜70这一组的是：61.7 62.4 63.6 65.9 66.4 68.5 69.1 69.3 69.5
c．40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图：
d．中国的国家创新指数得分为69.5.
（以上数据来源于《国家创新指数报告（2018）》）
根据以上信息，回答下列问题：
（1）中国的国家创新指数得分排名世界第______；
（2）在40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图中，包括中国在内的少数几个国家所对应的点位于虚线的上方．请在图中用“”圈出代表中国的点；
（3）在国家创新指数得分比中国高的国家中，人均国内生产总值的最小值约为______万美元；（结果保留一位小数）
（4）下列推断合理的是______．
①相比于点A，B所代表的国家，中国的国家创新指数得分还有一定差距，中国提出“加快建设创新型国家”的战略任务，进一步提高国家综合创新能力；
②相比于点B，C所代表的国家，中国的人均国内生产总值还有一定差距，中国提出“决胜全面建成小康社会”的奋斗目标，进一步提高人均国内生产总值．
22．在平面内，给定不在同一直线上的点A，B，C，如图所示．点O到点A，B，C的距离均等于a（a为常数），到点O的距离等于a的所有点组成图形G，的平分线交图形G于点D，连接AD，CD．
（1）求证：AD=CD；
（2）过点D作DEBA，垂足为E，作DFBC，垂足为F，延长DF交图形G于点M，连接CM．若AD=CM，求直线DE与图形G的公共点个数．
23．小云想用7天的时间背诵若干首诗词，背诵计划如下：
①将诗词分成4组，第i组有首，i =1，2，3，4；
②对于第i组诗词，第i天背诵第一遍，第（）天背诵第二遍，第（）天背诵第三遍，三遍后完成背诵，其它天无需背诵，1，2，3，4；
第1天
第2天
第3天
第4天
第5天
第6天
第7天
第1组
第2组
第3组
第4组
③每天最多背诵14首，最少背诵4首．
解答下列问题：
（1）填入补全上表；
（2）若，，，则的所有可能取值为______；
（3）7天后，小云背诵的诗词最多为______首．
24．如图，P是AB与弦AB所围成的图形的外部的一定点，C是AB上一动点，连接PC交弦AB于点D．
小腾根据学习函数的经验，对线段PC，PD，AD的长度之间的关系进行了探究．
下面是小腾的探究过程，请补充完整：
（1）对于点C在AB上的不同位置，画图、测量，得到了线段PC，PD，AD的长度 的几组值，如下表：
在PC，PD，AD的长度这三个量中，确定______的长度是自变量，______的长度和______的长度都是这个自变量的函数；
（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；
（3）结合函数图象，解决问题：当PC=2PD时，AD的长度约为______cm．
25．在平面直角坐标系中，直线l：与直线，直线分别交于点A，B，直线与直线交于点．
（1）求直线与轴的交点坐标；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记线段围成的区域（不含边界）为．
①当时，结合函数图象，求区域内的整点个数；
②若区域内没有整点，直接写出的取值范围．
26．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上．
（1）求点B的坐标（用含的式子表示）；
（2）求抛物线的对称轴；
（3）已知点，．若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求的取值范围．
27．已知，H为射线OA上一定点，，P为射线OB上一点，M为线段OH上一动点，连接PM，满足为钝角，以点P为中心，将线段PM顺时针旋转，得到线段PN，连接ON．
（1）依题意补全图1；
（2）求证：；
（3）点M关于点H的对称点为Q，连接QP．写出一个OP的值，使得对于任意的点M总有ON=QP，并证明．
28．在△ABC中，，分别是两边的中点，如果上的所有点都在△ABC的内部或边上，则称为△ABC的中内弧．例如，下图中是△ABC的一条中内弧．
（1）如图，在Rt△ABC中，分别是的中点．画出△ABC的最长的中内弧，并直接写出此时的长；
（2）在平面直角坐标系中，已知点，在△ABC中，分别是的中点．
①若，求△ABC的中内弧所在圆的圆心的纵坐标的取值范围；
②若在△ABC中存在一条中内弧，使得所在圆的圆心P在△ABC的内部或边上，直接写出t的取值范围．
参考答案
1．C
【解析】
【分析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】
解：将439000用科学记数法表示为4.39×105．
故选：C．
【点睛】
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
2．C
【解析】
【分析】
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据轴对称图形的概念求解．
【详解】
解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；
B、不是轴对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，故此选项正确；
D、不是轴对称图形，故此选项错误．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3．B
【解析】
【分析】
根据多边的外角和定理进行选择．
【详解】
解：因为任意多边形的外角和都等于360°，
所以正十边形的外角和等于360°，．
故选：B．
【点睛】
本题考查了多边形外角和定理，关键是熟记：多边形的外角和等于360度．
4．A
【解析】
【分析】
根据CO=BO可得点C表示的数为-2，据此可得a=-2-1=-3．
【详解】
解：∵点C在原点的左侧，且CO=BO，
∴点C表示的数为-2，
∴a=-2-1=-3．
故选：A．
【点睛】
本题考查的是数轴，熟知数轴上两点间的距离公式是解答此题的关键．
5．D
【解析】
【分析】
由作图知CM=CD=DN，再利用圆周角定理、圆心角定理逐一判断可得．
【详解】
解：由作图知CM=CD=DN，
∴∠COM=∠COD，故A选项正确；
∵OM=ON=MN，
∴△OMN是等边三角形，
∴∠MON=60°，
∵CM=CD=DN，
∴∠MOA=∠AOB=∠BON=∠MON=20°，故B选项正确；
∵∠MOA=∠AOB=∠BON=20°，
∴∠OCD=∠OCM=80°，
∴∠MCD=160°，
又∠CMN=∠AON=20°，
∴∠MCD+∠CMN=180°，
∴MN∥CD，故C选项正确；
∵MC+CD+DN＞MN，且CM=CD=DN，
∴3CD＞MN，故D选项错误；
故选：D．
【点睛】
本题主要考查作图-复杂作图，解题的关键是掌握圆心角定理和圆周角定理等知识点．
6．D
【解析】
【分析】
原式化简后，约分得到最简结果，把已知等式代入计算即可求出值．
【详解】
解：原式=
∴原式=3，故选D.
【点睛】
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
7．D
【解析】
【分析】
由题意得出3个命题，由不等式的性质再判断真假即可．
【详解】
解：命题①，如果，那么.
∵，∴，∵，∴，整理得，∴该命题是真命题.
命题②，如果那么.
∵∴∵，∴，∴.
∴该命题为真命题.
命题③，如果，那么.
∵∴∵，∴，∴
∴该命题为真命题.
故，选D
【点睛】
本题考查了命题与定理、不等式的性质、命题的组成、真命题和假命题的定义；熟练掌握命题的组成和不等式的性质是解题的关键．
8．C
【解析】
【分析】
根据中位数与平均数的意义对每个选项逐一判断即可.
【详解】
解：①解这200名学生参加公益劳动时间的平均数：①（24.5×97+25.5×103）÷200=25.015，一定在24.5-25.5之间，正确；
②由统计表类别栏计算可得，各时间段人数分别为15,60,51,62,12，则中位数在20~30之间，故②正确.
③由统计表计算可得，初中学段栏0≤t＜10的人数在0~15之间，当人数为0时，中位数在20~30之间；当人数为15时，中位数在20~30之间，故③正确.
④由统计表计算可得，高中学段栏各时间段人数分别为0~15，35,15，18,1.当
0≤t＜10时间段人数为0时，中位数在10~20之间；当0≤t＜10时间段人数为15时，中位数在10~20之间，故④错误
【点睛】
本题考查了中位数与平均数，平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
9．1.
【解析】
【分析】
根据分式的值为零的条件即可得出．
【详解】
解：∵分式的值为0，
∴x-1=0且x≠0，
∴x=1．
故答案为1．
【点睛】
本题考查了分式的值为零的条件：当分式的分母不为零，分子为零时，分式的值为零．
10．1.9
【解析】
【分析】
过点C作CD⊥AB的延长线于点D，测量出AB，CD的长，再利用三角形的面积公式即可求出△ABC的面积．
【详解】
解：过点C作CD⊥AB的延长线于点D，如图所示．
经过测量，AB=2.2cm，CD=1.7cm，
（cm2）．
故答案为：1.9．
【点睛】
本题考查了三角形的面积，牢记三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半是解题的关键．
11．①②
【解析】
【分析】
主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形，据此作答．
【详解】
解：长方体主视图，左视图，俯视图都是矩形，
圆柱体的主视图是矩形，左视图是矩形，俯视图是圆，
圆锥的主视图、左视图是等腰三角形，俯视图是带有圆心的圆，
故答案为：①②．
【点睛】
本题主要考查三视图的知识，熟练掌握常见几何体的三视图是解题的关键．
12．45.
【解析】
【分析】
延长AP交格点于D，连接BD，根据勾股定理得到PD2=BD2=1+22=5，PB2=12+32=10，求得PD2+DB2=PB2，于是得到∠PDB=90°，根据三角形外角的性质即可得到结论．
【详解】
解：延长AP交格点于D，连接BD，
则PD2=BD2=1+22=5，PB2=12+32=10，
∴PD2+DB2=PB2，
∴∠PDB=90°，
即△PBD为等腰直角三角形，
∴∠DPB=∠PAB+∠PBA=45°，
故答案为：45．
【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，三角形的外角的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
13．0.
【解析】
【分析】
由点A（a，b）（a＞0，b＞0）在双曲线上，可得k1=ab，由点A与点B关于x轴的对称，可得到点B的坐标，进而表示出k2，然后得出答案．
【详解】
解：∵点A（a，b）（a＞0，b＞0）在双曲线上，
∴k1=ab；
又∵点A与点B关于x轴的对称，
∴B（a，-b）
∵点B在双曲线上，
∴k2=-ab；
∴k1+k2=ab+（-ab）=0；
故答案为：0．
【点睛】
考查反比例函数图象上的点坐标的特征，关于x轴对称的点的坐标的特征以及互为相反数的和为0的性质．
14．12.
【解析】
【分析】
由菱形的性质得出OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，设OA=x，OB=y，由题意得：，解得：，得出AC=2OA=6，BD=2OB=4，即可得出菱形的面积．
【详解】
解：如图1所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，
设OA=x，OB=y，
由题意得：，解得：，
∴AC=2OA=6，BD=2OB=4，
∴菱形ABCD的面积=；
故答案为：12．
【点睛】
本题考查了菱形的性质、正方形的性质、二元一次方程组的应用；熟练掌握正方形和菱形的性质，由题意列出方程组是解题的关键．
15．=
【解析】
【分析】
根据一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个非零常数，那么这组数据的波动情况不变，即方差不变，即可得出答案．
【详解】
解：∵两组数据的平均值分别为91和1，
=
∴
故答案为=
【点睛】
本题考查方差的意义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立，关键是掌握一组数据都加上同一个非零常数，方差不变．
16．①②③
【解析】
【分析】
根据矩形的判定和性质，菱形的判定，正方形的判定，平行四边形的判定定理即可得到结论．
【详解】
解：
①如图，∵四边形ABCD是矩形，连接AC，BD交于O，
过点O直线MP和QN，分别交AB，BC，CD，AD于M，N，P，Q，
则四边形MNPQ是平行四边形，
故当MQ∥PN，PQ∥MN，四边形MNPQ是平行四边形，
故存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；故正确；
②如图，当PM=QN时，四边形MNPQ是菱形，故存在无数个四边形MNPQ是矩形；故正确；
③如图，当PM⊥QN时，存在无数个四边形MNPQ是菱形；故正确；
④当四边形MNPQ是正方形时，MQ=PQ，
则△AMQ≌△DQP，
∴AM=QD，AQ=PD，
∵PD=BM，
∴AB=AD，
∴四边形ABCD是正方形与任意矩形ABCD矛盾，故错误；
故答案为：①②③．
【点睛】
本题考查了矩形的判定和性质，菱形的判定，正方形的判定，平行四边形的判定定理，熟记各定理是解题的关键．
17．
【解析】
【分析】
根据绝对值、零指数幂、特殊角的三角函数值、负指数幂法则计算即可
【详解】
原式=
【点睛】
本题考查零指数幂、特殊角的三角函数值，负指数幂，熟练掌握相关的知识是解题的关键．
18．不等式组的解集为.
【解析】
【分析】
首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集．
【详解】
解：解不等式①得：，∴
解不等式②得：，∴
∴不等式组的解集为
【点睛】
本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19．，此时方程的根为
【解析】
【分析】
直接利用根的判别式≥0得出m的取值范围进而解方程得出答案．
【详解】
解：∵关于x的方程x2-2x+2m-1=0有实数根，
∴b2-4ac=4-4（2m-1）≥0，
解得：m≤1，
∵m为正整数，
∴m=1，
∴此时二次方程为：x2-2x+1=0，
则（x-1）2=0，
解得：x1=x2=1．
【点睛】
此题主要考查了根的判别式，正确得出m的值是解题关键．
20．（1）证明见解析；（2）AO=1。
【解析】
【分析】
（1）由菱形的性质得出AB=AD，AC平分∠BAD，再根据等腰三角形的三线合一即可；
（2）根据菱形的性质和已知条件得出四边形EBDG为平行四边形，得出∠G=∠ABD，再根据tanG=即可求出AO的长．
【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD为菱形 ∴AB=AD，AC平分∠BAD
∵BE=DF， ∴ ， ∴AE=AF
∴△AEF是等腰三角形， ∵AC平分∠BAD， ∴AC⊥EF
（2）解：如图2所示：
∵四边形ABCD为菱形，∴CG∥AB，BO=BD=2，∵EF∥BD
∴四边形EBDG为平行四边形，∴∠G=∠ABD，∴tan∠ABD=tan∠G=
∴tan∠ABD=，∴AO=1
【点睛】
本题考查了菱形的性质、平行线的判定与性质、解直角三角形，等腰三角形的性质等知识；熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
21．（1）17；（2）如图所示，见解析；（3）2.8；（4）①②.
【解析】
【分析】
（1）由国家创新指数得分为69.5以上（含69.5）的国家有17个，即可得出结果；
（2）根据中国在虚线l1的上方，中国的创新指数得分为69.5，找出该点即可；
（3）根据40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图，即可得出结果；
（4）根据40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图，即可判断①②的合理性．
【详解】
解：（1）∵国家创新指数得分为69.5以上（含69.5）的国家有17个，
∴国家创新指数得分排名前40的国家中，中国的国家创新指数得分排名世界第17，
故答案为：17；
（2）如图所示：
（3）由40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图可知，在国家创新指数得分比中国高的国家中，人均国内生产总值的最小值约为2.8万美元；
故答案为：2.8；
（4）由40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图可知，
①相比于点A、B所代表的国家，中国的国家创新指数得分还有一定差距，中国提出“加快建设创新型国家”的战略任务，进一步提高国家综合创新能力；合理；
②相比于点B，C所代表的国家，中国的人均国内生产总值还有一定差距，中国提出“决胜全面建成小康社会”的奋斗日标，进一步提高人均国内生产总值；合理；
故答案为：①②．
【点睛】
本题考查了频数分布直方图、统计图、样本估计总体、近似数和有效数字等知识；读懂频数分布直方图和统计图是解题的关键．
22．依题意画出图形G为⊙O，如图所示,见解析；（1）证明见解析；（2）直线DE与图形G的公共点个数为1个.
【解析】
【分析】
（1）根据线段垂直平分线的性质得出图形G为⊙O，再根据在同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧相等得出；从而得出弦相等即可．
（2）先根据HL得出△CDF≌△CMF，得出DF=MF，从而得出BC为弦DM的垂直平分线，根据圆心角和圆周角之间的关系定理得出∠ABC=∠COD，再证得
DE为⊙O的切线即可
【详解】
如图所示，依题意画出图形G为⊙O，如图所示
（1）证明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，
∴，∴AD=CD
（2）解：∵AD=CD，AD=CM，∴CD=CM.∵DF⊥BC，∴∠DFC=∠CFM=90°
在Rt△CDF和Rt△CMF中
，∴△CDF≌△CMF（HL），∴DF=MF，∴BC为弦DM的垂直平分线
∴BC为⊙O的直径，连接OD
∵∠COD=2∠CBD，∠ABC=2∠CBD，∴∠ABC=∠COD，∴OD∥BE.
又∵DE⊥BA，∴∠DEB=90°，∴∠ODE=90°，即OD⊥DE，∴DE为⊙O的切线.
∴直线DE与图形G的公共点个数为1个.
【点睛】
本题考查了垂直平分线的性质，圆心角和圆周角之间的关系定理，切线的判定，熟练掌握相关的知识是解题的关键．
23．（1）如表所示，见解析；（2）4，5，6；（3）23.
【解析】
【分析】
（1）根据表中的规律即可得到结论；
（2）根据题意列不等式即可得到结论；
（3）根据题意列不等式，即可得到结论．
【详解】
解：（1）
第1天
第2天
第3天
第4天
第5天
第6天
第7天
第1组
x1
x1
x1
第2组
x2
x2
x2
第3组
x3
x3
x3
第4组
x4
x4
x4
（2）∵每天最多背诵14首，最少背诵4首，
∴x1≥4，x3≥4，x4≥4，
∴x1+x3≥8①，
∵x1+x3+x4≤14②，
把①代入②得，x4≤6，
∴4≤x4≤6，
∴x4的所有可能取值为4，5，6，
故答案为：4，5，6；
（3）∵每天最多背诵14首，最少背诵4首，
∴由第2天，第3天，第4天，第5天得，
x1+x2≤14①，x2+x3≤14②，x1+x3+x4≤14③，x2+x4≤14④，
①+②+④-③得，3x2≤28，
，
，
∴7天后，小云背诵的诗词最多为23首，
故答案为：23．
【点睛】
本题考查了规律型：数字的变化类，不等式的应用，正确的理解题意是解题的关键．
24．（1）AD， PC，PD；（2）如图所示，见解析；（3）2.29或3.98
【解析】
【分析】
（1）根据表格中的数据分析即可得出；
（2）根据表格数据在坐标系中描点、连线即可，
（3）根据图形观察结合表中数据即可得出
【详解】
（1）AD， PC，PD；
（2）如图所示，
（3）2.29或3.98
【点睛】
本题考查了函数和函数的图象，根据表格画出函数图象，得出相应的信息是解题的关键
25．（1）直线与轴交点坐标为（0,1）；（2）①整点有（0，-1），（0,0），（1，-1），（1,0），（1,1），（1,2）共6个点，②-1≤k＜0或k=-2.
【解析】
【分析】
（1）令x=0，y=1，直线l与y轴的交点坐标（0，1）；
（2）①当k=2时，A（2，5），B，C（2，-2），在W区域内有6个整数点；②当x=k+1时，y=-k+1，则有k2+2k=0，k=-2，当0＞k≥-1时，W内没有整数点；
【详解】
解：（1）令x=0，y=1，
∴直线l与y轴的交点坐标（0，1）；
（2）由题意，A（k，k2+1），B，C（k，-k），
①当k=2时，A（2，5），B，C（2，-2），
在W区域内有6个整数点：（0，0），（0，-1），（1，0），（1，-1），（1，1），（1，2）；
②直线AB的解析式为y=kx+1，
当x=k+1时，y=-k+1，则有k2+2k=0，
∴k=-2，
当0＞k≥-1时，W内没有整数点，
∴当0＞k≥-1或k=-2时W内没有整数点；
【点睛】
本题考查一次函数图象上点的特征；能够数形结合解题，根据k变化分析W区域内整数点的情况是解题的关键．
26．（1）点B的坐标为；（2）对称轴为直线;（3）当时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点.
【解析】
【分析】
（1）向右平移2个单位长度，得到点；
（2）A与B关于对称轴x=1对称；
（3））①a＞0时，当x=2时，，当时，x=0或x=2，所以函数与AB无交点；②a＜0时，当y=2时，，或当时，；
【详解】
解：（1）∵抛物线与轴交于点A，∴令，得，
∴点A的坐标为，∵点A向右平移两个单位长度，得到点B，
∴点B的坐标为；
（2）∵抛物线过点和点，由对称性可得，抛物线对称轴为
直线，故对称轴为直线
（3）∵对称轴x=1，
∴b-2a，，
①a＞0时，
当x=2时，，当x=0或x=2，
∴函数与AB无交点；
②a＜0时，
当y=2时，，
或当时，；
∴当时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点；
（3）①当时，则，分析图象可得：根据抛物线的对称性，抛物线不可能同时经过点A和点P；也不可能同时经过点B和点Q，所以，此时线段PQ与抛物线没有交点.
②当时，则.
分析图象可得：根据抛物线的对称性，抛物线不可能同时经过点A和点P；但当点Q在点B上方或与点B重合时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点，此时即
综上所述，当时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点.
【点睛】
本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征，数形结合讨论交点是解题的关键．
27．（1）如图所示见解析；（2）见解析；（3）OP=2.证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据题意画出图形即可．
（2）由旋转可得∠MPN=150°，故∠OPN=150°-∠OPM；由∠AOB=30°和三角形内角和180°可得∠OMP=180°-30°-∠OPM=150°-∠OPM，得证．
（3）根据题意画出图形，以ON=QP为已知条件反推OP的长度．由（2）的结论∠OMP=∠OPN联想到其补角相等，又因为旋转有PM=PN，已具备一边一角相等，过点N作NC⊥OB于点C，过点P作PD⊥OA于点D，即可构造出△PDM≌△NCP，进而得PD=NC，DM=CP．此时加上ON=QP，则易证得△OCN≌△QDP，所以OC=QD．再设DM=CP=x，所以OC=OP+PC=2+x，MH=MD+DH=x+1，由于点M、Q关于点H对称，得出DQ=DH+HQ=1+x+1=2+x，得出OC=DQ，再利用SAS得出△OCN≌△QDP即可
【详解】
解：（1）如图1所示为所求．
（2）设∠OPM=α，
∵线段PM绕点P顺时针旋转150°得到线段PN
∴∠MPN=150°，PM=PN
∴∠OPN=∠MPN-∠OPM=150°-α
∵∠AOB=30°
∴∠OMP=180°-∠AOB-∠OPM=180°-30°-α=150°-α
∴∠OMP=∠OPN
（3）OP=2时，总有ON=QP，证明如下：
过点N作NC⊥OB于点C，过点P作PD⊥OA于点D，如图2
∴∠NCP=∠PDM=∠PDQ=90°
∵∠AOB=30°，OP=2
∴DH=OH-OD=1
∵∠OMP=∠OPN
∴180°-∠OMP=180°-∠OPN
即∠PMD=∠NPC
在△PDM与△NCP中
∴△PDM≌△NCP（AAS）
∴PD=NC，DM=CP
设DM=CP=x，则OC=OP+PC=2+x，MH=MD+DH=x+1
∵点M关于点H的对称点为Q
∴HQ=MH=x+1
∴DQ=DH+HQ=1+x+1=2+x
∴OC=DQ
在△OCN与△QDP中
∴△OCN≌△QDP（SAS）
∴ON=QP
【点睛】
本题考查了根据题意画图，旋转的性质，三角形内角和180°，勾股定理，全等三角形的判定和性质，中心对称的性质．第（3）题的解题思路是以ON=QP为条件反推OP的长度，并结合（2）的结论构造全等三角形；而证明过程则以OP=2为条件构造全等证明ON=QP．
28．（1）；（2）①P的纵坐标或；②.
【解析】
【分析】
（1）由三角函数值及等腰直角三角形性质可求得DE=2，最长中内弧即以DE为直径的半圆，的长即以DE为直径的圆周长的一半；
（2）根据三角形中内弧定义可知，圆心一定在DE的中垂线上，，①当时，要注意圆心P在DE上方的中垂线上均符合要求，在DE下方时必须AC与半径PE的夹角∠AEP满足90°≤∠AEP＜135°；②根据题意，t的最大值即圆心P在AC上时求得的t值．
【详解】
解：（1）如图2，
以DE为直径的半圆弧，就是△ABC的最长的中内弧，连接DE，∵∠A=90°，AB=AC=2，D，E分别是AB，AC的中点，，
∴弧；
（2）如图3，由垂径定理可知，圆心一定在线段DE的垂直平分线上，连接DE，作DE垂直平分线FP，作EG⊥AC交FP于G，
①当时，C（2，0），∴D（0，1），E（1，1），，
设由三角形中内弧定义可知，圆心线段DE上方射线FP上均可，∴m≥1，
∵OA=OC，∠AOC=90°
∴∠ACO=45°，
∵DE∥OC
∴∠AED=∠ACO=45°
作EG⊥AC交直线FP于G，FG=EF=
根据三角形中内弧的定义可知，圆心在点G的下方（含点G）直线FP上时也符合要求；
综上所述，或m≥1．
②图4，设圆心P在AC上，
∵P在DE中垂线上，
∴P为AE中点，作PM⊥OC于M，则PM=
，
∵DE∥BC
∴∠ADE=∠AOB=90°，
∵PD=PE，
∴∠AED=∠PDE
∵∠AED+∠DAE=∠PDE+∠ADP=90°，
∴∠DAE=∠ADP
由三角形中内弧定义知，PD≤PM
，AE≤3，即，解得：
【点睛】
此题是一道圆的综合题，考查了圆的性质，弧长计算，直角三角形性质等，给出了“三角形中内弧”新定义，要求学生能够正确理解新概念，并应用新概念解题．
北京市2019年中考数学试题
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
题号
一
二
三
总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题)
请点击修改第I卷的文字说明
评卷人
得分
一、单选题
1．4月24日是中国航天日，1970年的这一天，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一号”成功发射，标志着中国从此进入了太空时代，它的运行轨道，距地球最近点439 000米．将439 000用科学记数法表示应为（ ）
A．0.439×106 B．4.39×106 C．4.39×105 D．139×103
2．下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．正十边形的外角和为（ ）
A．180° B．360° C．720° D．1440°
4．在数轴上，点A，B在原点O的两侧，分别表示数a，2，将点A向右平移1个单位长度，得到点C．若CO=BO，则a的值为（ ）
A．-3 B．-2 C．-1 D．1
5．已知锐角∠AOB如图，（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作，交射线OB于点D，连接CD；
（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交于点M，N；
（3）连接OM，MN．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）
A．∠COM=∠COD B．若OM=MN，则∠AOB=20°
C．MN∥CD D．MN=3CD
6．如果，那么代数式的值为（ ）
A．-3 B．-1 C．1 D．3
7．用三个不等式，，中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
8．某校共有200名学生，为了解本学期学生参加公益劳动的情况，收集了他们参加公益劳动时间（单位：小时）等数据，以下是根据数据绘制的统计图表的一部分．
学 生
类 型
人数
时间
性别
男
7
31
25
30
4
女
8
29
26
32
8
学段
初中
25
36
44
11
高中
下面有四个推断：
①这200名学生参加公益劳动时间的平均数一定在24.5-25.5之间
②这200名学生参加公益劳动时间的中位数在20-30之间
③这200名学生中的初中生参加公益劳动时间的中位数一定在20-30之间
④这200名学生中的高中生参加公益劳动时间的中位数可能在20-30之间
所有合理推断的序号是（ ）
A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④
第II卷（非选择题)
请点击修改第II卷的文字说明
评卷人
得分
二、填空题
9．若分式的值为0，则的值为______.
10．如图，已知△ABC，通过测量、计算得△ABC的面积约为____cm2.（结果保留一位小数）
11．在如图所示的几何体中，其三视图中有矩形的是______.（写出所有正确答案的序号）
12．如图所示的网格是正方形网格，则＝_____°（点A，B，P是网格线交点）.
13．在平面直角坐标系中，点在双曲线上．点关于轴的对称点在双曲线上，则的值为______.
14．把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，则图1中菱形的面积为______．
15．小天想要计算一组数据92，90，94，86，99，85的方差．在计算平均数的过程中，将这组数据中的每一个数都减去90，得到一组新数据2，0，4，4，9，5．记这组新数据的方差为，则______. (填“”，“”或“”)
16．在矩形ABCD中，M，N，P，Q分别为边AB，BC，CD，DA上的点（不与端点重合）．
对于任意矩形ABCD，下面四个结论中，①存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；②存在无数个四边形MNPQ是矩形；③存在无数个四边形MNPQ是菱形；④至少存在一个四边形MNPQ是正方形．所有正确结论的序号是______．
评卷人
得分
三、解答题
17．计算：.
18．解不等式组：
19．关于x的方程有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根．
20．如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E，F分别在AB，AD上，BE=DF，连接EF．
（1）求证：AC⊥EF；
（2）延长EF交CD的延长线于点G，连接BD交AC于点O，若BD=4，tanG=，求AO的长．
21．国家创新指数是反映一个国家科学技术和创新竞争力的综合指数．对国家创新指数得分排名前40的国家的有关数据进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
a．国家创新指数得分的频数分布直方图（数据分成7组：
30≤x＜40，40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）；
b．国家创新指数得分在60≤x＜70这一组的是：61.7 62.4 63.6 65.9 66.4 68.5 69.1 69.3 69.5
c．40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图：
d．中国的国家创新指数得分为69.5.
（以上数据来源于《国家创新指数报告（2018）》）
根据以上信息，回答下列问题：
（1）中国的国家创新指数得分排名世界第______；
（2）在40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图中，包括中国在内的少数几个国家所对应的点位于虚线的上方．请在图中用“”圈出代表中国的点；
（3）在国家创新指数得分比中国高的国家中，人均国内生产总值的最小值约为______万美元；（结果保留一位小数）
（4）下列推断合理的是______．
①相比于点A，B所代表的国家，中国的国家创新指数得分还有一定差距，中国提出“加快建设创新型国家”的战略任务，进一步提高国家综合创新能力；
②相比于点B，C所代表的国家，中国的人均国内生产总值还有一定差距，中国提出“决胜全面建成小康社会”的奋斗目标，进一步提高人均国内生产总值．
22．在平面内，给定不在同一直线上的点A，B，C，如图所示．点O到点A，B，C的距离均等于a（a为常数），到点O的距离等于a的所有点组成图形G，的平分线交图形G于点D，连接AD，CD．
（1）求证：AD=CD；
（2）过点D作DEBA，垂足为E，作DFBC，垂足为F，延长DF交图形G于点M，连接CM．若AD=CM，求直线DE与图形G的公共点个数．
23．小云想用7天的时间背诵若干首诗词，背诵计划如下：
①将诗词分成4组，第i组有首，i =1，2，3，4；
②对于第i组诗词，第i天背诵第一遍，第（）天背诵第二遍，第（）天背诵第三遍，三遍后完成背诵，其它天无需背诵，1，2，3，4；
第1天
第2天
第3天
第4天
第5天
第6天
第7天
第1组
第2组
第3组
第4组
③每天最多背诵14首，最少背诵4首．
解答下列问题：
（1）填入补全上表；
（2）若，，，则的所有可能取值为______；
（3）7天后，小云背诵的诗词最多为______首．
24．如图，P是AB与弦AB所围成的图形的外部的一定点，C是AB上一动点，连接PC交弦AB于点D．
小腾根据学习函数的经验，对线段PC，PD，AD的长度之间的关系进行了探究．
下面是小腾的探究过程，请补充完整：
（1）对于点C在AB上的不同位置，画图、测量，得到了线段PC，PD，AD的长度 的几组值，如下表：
在PC，PD，AD的长度这三个量中，确定______的长度是自变量，______的长度和______的长度都是这个自变量的函数；
（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；
（3）结合函数图象，解决问题：当PC=2PD时，AD的长度约为______cm．
25．在平面直角坐标系中，直线l：与直线，直线分别交于点A，B，直线与直线交于点．
（1）求直线与轴的交点坐标；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记线段围成的区域（不含边界）为．
①当时，结合函数图象，求区域内的整点个数；
②若区域内没有整点，直接写出的取值范围．
26．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上．
（1）求点B的坐标（用含的式子表示）；
（2）求抛物线的对称轴；
（3）已知点，．若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求的取值范围．
27．已知，H为射线OA上一定点，，P为射线OB上一点，M为线段OH上一动点，连接PM，满足为钝角，以点P为中心，将线段PM顺时针旋转，得到线段PN，连接ON．
（1）依题意补全图1；
（2）求证：；
（3）点M关于点H的对称点为Q，连接QP．写出一个OP的值，使得对于任意的点M总有ON=QP，并证明．
28．在△ABC中，，分别是两边的中点，如果上的所有点都在△ABC的内部或边上，则称为△ABC的中内弧．例如，下图中是△ABC的一条中内弧．
（1）如图，在Rt△ABC中，分别是的中点．画出△ABC的最长的中内弧，并直接写出此时的长；
（2）在平面直角坐标系中，已知点，在△ABC中，分别是的中点．
①若，求△ABC的中内弧所在圆的圆心的纵坐标的取值范围；
②若在△ABC中存在一条中内弧，使得所在圆的圆心P在△ABC的内部或边上，直接写出t的取值范围．
参考答案
1．C
【解析】
【分析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】
解：将439000用科学记数法表示为4.39×105．
故选：C．
【点睛】
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
2．C
【解析】
【分析】
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据轴对称图形的概念求解．
【详解】
解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；
B、不是轴对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，故此选项正确；
D、不是轴对称图形，故此选项错误．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3．B
【解析】
【分析】
根据多边的外角和定理进行选择．
【详解】
解：因为任意多边形的外角和都等于360°，
所以正十边形的外角和等于360°，．
故选：B．
【点睛】
本题考查了多边形外角和定理，关键是熟记：多边形的外角和等于360度．
4．A
【解析】
【分析】
根据CO=BO可得点C表示的数为-2，据此可得a=-2-1=-3．
【详解】
解：∵点C在原点的左侧，且CO=BO，
∴点C表示的数为-2，
∴a=-2-1=-3．
故选：A．
【点睛】
本题考查的是数轴，熟知数轴上两点间的距离公式是解答此题的关键．
5．D
【解析】
【分析】
由作图知CM=CD=DN，再利用圆周角定理、圆心角定理逐一判断可得．
【详解】
解：由作图知CM=CD=DN，
∴∠COM=∠COD，故A选项正确；
∵OM=ON=MN，
∴△OMN是等边三角形，
∴∠MON=60°，
∵CM=CD=DN，
∴∠MOA=∠AOB=∠BON=∠MON=20°，故B选项正确；
∵∠MOA=∠AOB=∠BON=20°，
∴∠OCD=∠OCM=80°，
∴∠MCD=160°，
又∠CMN=∠AON=20°，
∴∠MCD+∠CMN=180°，
∴MN∥CD，故C选项正确；
∵MC+CD+DN＞MN，且CM=CD=DN，
∴3CD＞MN，故D选项错误；
故选：D．
【点睛】
本题主要考查作图-复杂作图，解题的关键是掌握圆心角定理和圆周角定理等知识点．
6．D
【解析】
【分析】
原式化简后，约分得到最简结果，把已知等式代入计算即可求出值．
【详解】
解：原式=
∴原式=3，故选D.
【点睛】
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
7．D
【解析】
【分析】
由题意得出3个命题，由不等式的性质再判断真假即可．
【详解】
解：命题①，如果，那么.
∵，∴，∵，∴，整理得，∴该命题是真命题.
命题②，如果那么.
∵∴∵，∴，∴.
∴该命题为真命题.
命题③，如果，那么.
∵∴∵，∴，∴
∴该命题为真命题.
故，选D
【点睛】
本题考查了命题与定理、不等式的性质、命题的组成、真命题和假命题的定义；熟练掌握命题的组成和不等式的性质是解题的关键．
8．C
【解析】
【分析】
根据中位数与平均数的意义对每个选项逐一判断即可.
【详解】
解：①解这200名学生参加公益劳动时间的平均数：①（24.5×97+25.5×103）÷200=25.015，一定在24.5-25.5之间，正确；
②由统计表类别栏计算可得，各时间段人数分别为15,60,51,62,12，则中位数在20~30之间，故②正确.
③由统计表计算可得，初中学段栏0≤t＜10的人数在0~15之间，当人数为0时，中位数在20~30之间；当人数为15时，中位数在20~30之间，故③正确.
④由统计表计算可得，高中学段栏各时间段人数分别为0~15，35,15，18,1.当
0≤t＜10时间段人数为0时，中位数在10~20之间；当0≤t＜10时间段人数为15时，中位数在10~20之间，故④错误
【点睛】
本题考查了中位数与平均数，平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
9．1.
【解析】
【分析】
根据分式的值为零的条件即可得出．
【详解】
解：∵分式的值为0，
∴x-1=0且x≠0，
∴x=1．
故答案为1．
【点睛】
本题考查了分式的值为零的条件：当分式的分母不为零，分子为零时，分式的值为零．
10．1.9
【解析】
【分析】
过点C作CD⊥AB的延长线于点D，测量出AB，CD的长，再利用三角形的面积公式即可求出△ABC的面积．
【详解】
解：过点C作CD⊥AB的延长线于点D，如图所示．
经过测量，AB=2.2cm，CD=1.7cm，
（cm2）．
故答案为：1.9．
【点睛】
本题考查了三角形的面积，牢记三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半是解题的关键．
11．①②
【解析】
【分析】
主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形，据此作答．
【详解】
解：长方体主视图，左视图，俯视图都是矩形，
圆柱体的主视图是矩形，左视图是矩形，俯视图是圆，
圆锥的主视图、左视图是等腰三角形，俯视图是带有圆心的圆，
故答案为：①②．
【点睛】
本题主要考查三视图的知识，熟练掌握常见几何体的三视图是解题的关键．
12．45.
【解析】
【分析】
延长AP交格点于D，连接BD，根据勾股定理得到PD2=BD2=1+22=5，PB2=12+32=10，求得PD2+DB2=PB2，于是得到∠PDB=90°，根据三角形外角的性质即可得到结论．
【详解】
解：延长AP交格点于D，连接BD，
则PD2=BD2=1+22=5，PB2=12+32=10，
∴PD2+DB2=PB2，
∴∠PDB=90°，
即△PBD为等腰直角三角形，
∴∠DPB=∠PAB+∠PBA=45°，
故答案为：45．
【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，三角形的外角的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
13．0.
【解析】
【分析】
由点A（a，b）（a＞0，b＞0）在双曲线上，可得k1=ab，由点A与点B关于x轴的对称，可得到点B的坐标，进而表示出k2，然后得出答案．
【详解】
解：∵点A（a，b）（a＞0，b＞0）在双曲线上，
∴k1=ab；
又∵点A与点B关于x轴的对称，
∴B（a，-b）
∵点B在双曲线上，
∴k2=-ab；
∴k1+k2=ab+（-ab）=0；
故答案为：0．
【点睛】
考查反比例函数图象上的点坐标的特征，关于x轴对称的点的坐标的特征以及互为相反数的和为0的性质．
14．12.
【解析】
【分析】
由菱形的性质得出OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，设OA=x，OB=y，由题意得：，解得：，得出AC=2OA=6，BD=2OB=4，即可得出菱形的面积．
【详解】
解：如图1所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，
设OA=x，OB=y，
由题意得：，解得：，
∴AC=2OA=6，BD=2OB=4，
∴菱形ABCD的面积=；
故答案为：12．
【点睛】
本题考查了菱形的性质、正方形的性质、二元一次方程组的应用；熟练掌握正方形和菱形的性质，由题意列出方程组是解题的关键．
15．=
【解析】
【分析】
根据一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个非零常数，那么这组数据的波动情况不变，即方差不变，即可得出答案．
【详解】
解：∵两组数据的平均值分别为91和1，
=
∴
故答案为=
【点睛】
本题考查方差的意义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立，关键是掌握一组数据都加上同一个非零常数，方差不变．
16．①②③
【解析】
【分析】
根据矩形的判定和性质，菱形的判定，正方形的判定，平行四边形的判定定理即可得到结论．
【详解】
解：
①如图，∵四边形ABCD是矩形，连接AC，BD交于O，
过点O直线MP和QN，分别交AB，BC，CD，AD于M，N，P，Q，
则四边形MNPQ是平行四边形，
故当MQ∥PN，PQ∥MN，四边形MNPQ是平行四边形，
故存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；故正确；
②如图，当PM=QN时，四边形MNPQ是菱形，故存在无数个四边形MNPQ是矩形；故正确；
③如图，当PM⊥QN时，存在无数个四边形MNPQ是菱形；故正确；
④当四边形MNPQ是正方形时，MQ=PQ，
则△AMQ≌△DQP，
∴AM=QD，AQ=PD，
∵PD=BM，
∴AB=AD，
∴四边形ABCD是正方形与任意矩形ABCD矛盾，故错误；
故答案为：①②③．
【点睛】
本题考查了矩形的判定和性质，菱形的判定，正方形的判定，平行四边形的判定定理，熟记各定理是解题的关键．
17．
【解析】
【分析】
根据绝对值、零指数幂、特殊角的三角函数值、负指数幂法则计算即可
【详解】
原式=
【点睛】
本题考查零指数幂、特殊角的三角函数值，负指数幂，熟练掌握相关的知识是解题的关键．
18．不等式组的解集为.
【解析】
【分析】
首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集．
【详解】
解：解不等式①得：，∴
解不等式②得：，∴
∴不等式组的解集为
【点睛】
本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19．，此时方程的根为
【解析】
【分析】
直接利用根的判别式≥0得出m的取值范围进而解方程得出答案．
【详解】
解：∵关于x的方程x2-2x+2m-1=0有实数根，
∴b2-4ac=4-4（2m-1）≥0，
解得：m≤1，
∵m为正整数，
∴m=1，
∴此时二次方程为：x2-2x+1=0，
则（x-1）2=0，
解得：x1=x2=1．
【点睛】
此题主要考查了根的判别式，正确得出m的值是解题关键．
20．（1）证明见解析；（2）AO=1。
【解析】
【分析】
（1）由菱形的性质得出AB=AD，AC平分∠BAD，再根据等腰三角形的三线合一即可；
（2）根据菱形的性质和已知条件得出四边形EBDG为平行四边形，得出∠G=∠ABD，再根据tanG=即可求出AO的长．
【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD为菱形 ∴AB=AD，AC平分∠BAD
∵BE=DF， ∴ ， ∴AE=AF
∴△AEF是等腰三角形， ∵AC平分∠BAD， ∴AC⊥EF
（2）解：如图2所示：
∵四边形ABCD为菱形，∴CG∥AB，BO=BD=2，∵EF∥BD
∴四边形EBDG为平行四边形，∴∠G=∠ABD，∴tan∠ABD=tan∠G=
∴tan∠ABD=，∴AO=1
【点睛】
本题考查了菱形的性质、平行线的判定与性质、解直角三角形，等腰三角形的性质等知识；熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
21．（1）17；（2）如图所示，见解析；（3）2.8；（4）①②.
【解析】
【分析】
（1）由国家创新指数得分为69.5以上（含69.5）的国家有17个，即可得出结果；
（2）根据中国在虚线l1的上方，中国的创新指数得分为69.5，找出该点即可；
（3）根据40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图，即可得出结果；
（4）根据40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图，即可判断①②的合理性．
【详解】
解：（1）∵国家创新指数得分为69.5以上（含69.5）的国家有17个，
∴国家创新指数得分排名前40的国家中，中国的国家创新指数得分排名世界第17，
故答案为：17；
（2）如图所示：
（3）由40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图可知，在国家创新指数得分比中国高的国家中，人均国内生产总值的最小值约为2.8万美元；
故答案为：2.8；
（4）由40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图可知，
①相比于点A、B所代表的国家，中国的国家创新指数得分还有一定差距，中国提出“加快建设创新型国家”的战略任务，进一步提高国家综合创新能力；合理；
②相比于点B，C所代表的国家，中国的人均国内生产总值还有一定差距，中国提出“决胜全面建成小康社会”的奋斗日标，进一步提高人均国内生产总值；合理；
故答案为：①②．
【点睛】
本题考查了频数分布直方图、统计图、样本估计总体、近似数和有效数字等知识；读懂频数分布直方图和统计图是解题的关键．
22．依题意画出图形G为⊙O，如图所示,见解析；（1）证明见解析；（2）直线DE与图形G的公共点个数为1个.
【解析】
【分析】
（1）根据线段垂直平分线的性质得出图形G为⊙O，再根据在同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧相等得出；从而得出弦相等即可．
（2）先根据HL得出△CDF≌△CMF，得出DF=MF，从而得出BC为弦DM的垂直平分线，根据圆心角和圆周角之间的关系定理得出∠ABC=∠COD，再证得
DE为⊙O的切线即可
【详解】
如图所示，依题意画出图形G为⊙O，如图所示
（1）证明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，
∴，∴AD=CD
（2）解：∵AD=CD，AD=CM，∴CD=CM.∵DF⊥BC，∴∠DFC=∠CFM=90°
在Rt△CDF和Rt△CMF中
，∴△CDF≌△CMF（HL），∴DF=MF，∴BC为弦DM的垂直平分线
∴BC为⊙O的直径，连接OD
∵∠COD=2∠CBD，∠ABC=2∠CBD，∴∠ABC=∠COD，∴OD∥BE.
又∵DE⊥BA，∴∠DEB=90°，∴∠ODE=90°，即OD⊥DE，∴DE为⊙O的切线.
∴直线DE与图形G的公共点个数为1个.
【点睛】
本题考查了垂直平分线的性质，圆心角和圆周角之间的关系定理，切线的判定，熟练掌握相关的知识是解题的关键．
23．（1）如表所示，见解析；（2）4，5，6；（3）23.
【解析】
【分析】
（1）根据表中的规律即可得到结论；
（2）根据题意列不等式即可得到结论；
（3）根据题意列不等式，即可得到结论．
【详解】
解：（1）
第1天
第2天
第3天
第4天
第5天
第6天
第7天
第1组
x1
x1
x1
第2组
x2
x2
x2
第3组
x3
x3
x3
第4组
x4
x4
x4
（2）∵每天最多背诵14首，最少背诵4首，
∴x1≥4，x3≥4，x4≥4，
∴x1+x3≥8①，
∵x1+x3+x4≤14②，
把①代入②得，x4≤6，
∴4≤x4≤6，
∴x4的所有可能取值为4，5，6，
故答案为：4，5，6；
（3）∵每天最多背诵14首，最少背诵4首，
∴由第2天，第3天，第4天，第5天得，
x1+x2≤14①，x2+x3≤14②，x1+x3+x4≤14③，x2+x4≤14④，
①+②+④-③得，3x2≤28，
，
，
∴7天后，小云背诵的诗词最多为23首，
故答案为：23．
【点睛】
本题考查了规律型：数字的变化类，不等式的应用，正确的理解题意是解题的关键．
24．（1）AD， PC，PD；（2）如图所示，见解析；（3）2.29或3.98
【解析】
【分析】
（1）根据表格中的数据分析即可得出；
（2）根据表格数据在坐标系中描点、连线即可，
（3）根据图形观察结合表中数据即可得出
【详解】
（1）AD， PC，PD；
（2）如图所示，
（3）2.29或3.98
【点睛】
本题考查了函数和函数的图象，根据表格画出函数图象，得出相应的信息是解题的关键
25．（1）直线与轴交点坐标为（0,1）；（2）①整点有（0，-1），（0,0），（1，-1），（1,0），（1,1），（1,2）共6个点，②-1≤k＜0或k=-2.
【解析】
【分析】
（1）令x=0，y=1，直线l与y轴的交点坐标（0，1）；
（2）①当k=2时，A（2，5），B，C（2，-2），在W区域内有6个整数点；②当x=k+1时，y=-k+1，则有k2+2k=0，k=-2，当0＞k≥-1时，W内没有整数点；
【详解】
解：（1）令x=0，y=1，
∴直线l与y轴的交点坐标（0，1）；
（2）由题意，A（k，k2+1），B，C（k，-k），
①当k=2时，A（2，5），B，C（2，-2），
在W区域内有6个整数点：（0，0），（0，-1），（1，0），（1，-1），（1，1），（1，2）；
②直线AB的解析式为y=kx+1，
当x=k+1时，y=-k+1，则有k2+2k=0，
∴k=-2，
当0＞k≥-1时，W内没有整数点，
∴当0＞k≥-1或k=-2时W内没有整数点；
【点睛】
本题考查一次函数图象上点的特征；能够数形结合解题，根据k变化分析W区域内整数点的情况是解题的关键．
26．（1）点B的坐标为；（2）对称轴为直线;（3）当时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点.
【解析】
【分析】
（1）向右平移2个单位长度，得到点；
（2）A与B关于对称轴x=1对称；
（3））①a＞0时，当x=2时，，当时，x=0或x=2，所以函数与AB无交点；②a＜0时，当y=2时，，或当时，；
【详解】
解：（1）∵抛物线与轴交于点A，∴令，得，
∴点A的坐标为，∵点A向右平移两个单位长度，得到点B，
∴点B的坐标为；
（2）∵抛物线过点和点，由对称性可得，抛物线对称轴为
直线，故对称轴为直线
（3）∵对称轴x=1，
∴b-2a，，
①a＞0时，
当x=2时，，当x=0或x=2，
∴函数与AB无交点；
②a＜0时，
当y=2时，，
或当时，；
∴当时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点；
（3）①当时，则，分析图象可得：根据抛物线的对称性，抛物线不可能同时经过点A和点P；也不可能同时经过点B和点Q，所以，此时线段PQ与抛物线没有交点.
②当时，则.
分析图象可得：根据抛物线的对称性，抛物线不可能同时经过点A和点P；但当点Q在点B上方或与点B重合时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点，此时即
综上所述，当时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点.
【点睛】
本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征，数形结合讨论交点是解题的关键．
27．（1）如图所示见解析；（2）见解析；（3）OP=2.证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据题意画出图形即可．
（2）由旋转可得∠MPN=150°，故∠OPN=150°-∠OPM；由∠AOB=30°和三角形内角和180°可得∠OMP=180°-30°-∠OPM=150°-∠OPM，得证．
（3）根据题意画出图形，以ON=QP为已知条件反推OP的长度．由（2）的结论∠OMP=∠OPN联想到其补角相等，又因为旋转有PM=PN，已具备一边一角相等，过点N作NC⊥OB于点C，过点P作PD⊥OA于点D，即可构造出△PDM≌△NCP，进而得PD=NC，DM=CP．此时加上ON=QP，则易证得△OCN≌△QDP，所以OC=QD．再设DM=CP=x，所以OC=OP+PC=2+x，MH=MD+DH=x+1，由于点M、Q关于点H对称，得出DQ=DH+HQ=1+x+1=2+x，得出OC=DQ，再利用SAS得出△OCN≌△QDP即可
【详解】
解：（1）如图1所示为所求．
（2）设∠OPM=α，
∵线段PM绕点P顺时针旋转150°得到线段PN
∴∠MPN=150°，PM=PN
∴∠OPN=∠MPN-∠OPM=150°-α
∵∠AOB=30°
∴∠OMP=180°-∠AOB-∠OPM=180°-30°-α=150°-α
∴∠OMP=∠OPN
（3）OP=2时，总有ON=QP，证明如下：
过点N作NC⊥OB于点C，过点P作PD⊥OA于点D，如图2
∴∠NCP=∠PDM=∠PDQ=90°
∵∠AOB=30°，OP=2
∴DH=OH-OD=1
∵∠OMP=∠OPN
∴180°-∠OMP=180°-∠OPN
即∠PMD=∠NPC
在△PDM与△NCP中
∴△PDM≌△NCP（AAS）
∴PD=NC，DM=CP
设DM=CP=x，则OC=OP+PC=2+x，MH=MD+DH=x+1
∵点M关于点H的对称点为Q
∴HQ=MH=x+1
∴DQ=DH+HQ=1+x+1=2+x
∴OC=DQ
在△OCN与△QDP中
∴△OCN≌△QDP（SAS）
∴ON=QP
【点睛】
本题考查了根据题意画图，旋转的性质，三角形内角和180°，勾股定理，全等三角形的判定和性质，中心对称的性质．第（3）题的解题思路是以ON=QP为条件反推OP的长度，并结合（2）的结论构造全等三角形；而证明过程则以OP=2为条件构造全等证明ON=QP．
28．（1）；（2）①P的纵坐标或；②.
【解析】
【分析】
（1）由三角函数值及等腰直角三角形性质可求得DE=2，最长中内弧即以DE为直径的半圆，的长即以DE为直径的圆周长的一半；
（2）根据三角形中内弧定义可知，圆心一定在DE的中垂线上，，①当时，要注意圆心P在DE上方的中垂线上均符合要求，在DE下方时必须AC与半径PE的夹角∠AEP满足90°≤∠AEP＜135°；②根据题意，t的最大值即圆心P在AC上时求得的t值．
【详解】
解：（1）如图2，
以DE为直径的半圆弧，就是△ABC的最长的中内弧，连接DE，∵∠A=90°，AB=AC=2，D，E分别是AB，AC的中点，，
∴弧；
（2）如图3，由垂径定理可知，圆心一定在线段DE的垂直平分线上，连接DE，作DE垂直平分线FP，作EG⊥AC交FP于G，
①当时，C（2，0），∴D（0，1），E（1，1），，
设由三角形中内弧定义可知，圆心线段DE上方射线FP上均可，∴m≥1，
∵OA=OC，∠AOC=90°
∴∠ACO=45°，
∵DE∥OC
∴∠AED=∠ACO=45°
作EG⊥AC交直线FP于G，FG=EF=
根据三角形中内弧的定义可知，圆心在点G的下方（含点G）直线FP上时也符合要求；
综上所述，或m≥1．
②图4，设圆心P在AC上，
∵P在DE中垂线上，
∴P为AE中点，作PM⊥OC于M，则PM=
，
∵DE∥BC
∴∠ADE=∠AOB=90°，
∵PD=PE，
∴∠AED=∠PDE
∵∠AED+∠DAE=∠PDE+∠ADP=90°，
∴∠DAE=∠ADP
由三角形中内弧定义知，PD≤PM
，AE≤3，即，解得：
【点睛】
此题是一道圆的综合题，考查了圆的性质，弧长计算，直角三角形性质等，给出了“三角形中内弧”新定义，要求学生能够正确理解新概念，并应用新概念解题．
