4.3 解直角三角形

课题
4.3 解直角三角形
授课人
教

学

目

标
知识技能
使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会综合运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．

数学思考
通过实际问题的情境，让学生感受到在生活中解直角三角形知识的实际意义．

问题解决
通过学习解直角三角形，归纳出解直角三角形的两种类型．

情感态度
发展学生的数学应用意识，提高归纳能力，感受解直角三角形的策略．

教学重点
解直角三角形的有关知识．
教学难点
选择恰当的边角关系，解直角三角形．
授课类型
新授课
课时
教具
多媒体
教学活动
教学步骤
师生活动
设计意图
回顾
Rt△ABC中的关系式．(∠C＝90°)

图4－3－5

两锐角的关系：∠A＋∠B＝90°.

三边之间的关系：a2＋b2＝c2.

边角关系：sinA＝eq \f(a,c)，csA＝eq \f(b,c)，tanA＝eq \f(a,b).
学生回忆并回答，为本课的学习提供迁移或类比方法.
活动

一：

创设

情境

导入

新课
【课堂引入】

1.△ABC中，若∠C＝90°，∠A＝30°，c＝10 cm，那么a＝__5__cm，b＝__5_eq \r(3)__cm.

2.若∠A＝40°，c＝10 cm，那么由sinA＝eq \f(a,c)，得a＝c·sinA＝__10·sin40°__，由csA＝eq \f(b,c)，得b＝c·csA＝__10·cs40°__.

3.清明节时，某中学的近千名师生到

龙山烈士陵园祭奠抗战烈士．如图4－3－6，山坡的坡面AB＝200米，坡角∠BAC＝30°，该山坡的高BC为多少米？[答案：100米]

图4－3－6

鼓励学生独立解决问题，让学生初步感受已知一锐角和一边可以求出其他边.
活动

二：

实践

探究

交流新知
【探究1】 (多媒体出示)

1.涉“斜”选“弦”的策略：当已知和所求涉及直角三角形的斜边时，应选择与斜边相关的已知角的正弦、余弦．我们把它叫作涉斜(涉及斜边)选弦(选正弦、余弦)的策略.

[滨州中考] 在Rt△ACB中，∠C＝90°，AB＝10，sinA＝eq \f(3,5)，则BC的长为( A )

A.6 B．7.5 C．8 D．12.5

[解析] 如图4－3－7，∵∠C＝90°，

∴sinA＝eq \f(BC,AB).

图4－3－7

∴BC＝AB·sinA＝10×eq \f(3,5)＝6.

【探究2】 (多媒体出示)

2.无“斜”选“切”的策略：若已知和所求均未涉及斜边，则要选择与斜边无关的边角关系式——正切，这种方法称之为无“斜”(斜边)选“切”(正切)的策略.

图4－3－8

如图4－3－8，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AC＝20 m，则BC的长大约为(结果精确到0.1 m)( B )

A.34.4 m B．34.6 m

C.28.3 m D．17.3 m

[解析] 直接利用tanA＝eq \f(BC,AC)，得BC＝AC·tanA.

∴BC＝AC·tanA＝20 eq \r(3)≈34.6(m).

[活动总结] 涉“斜”选“弦”，无“斜”选“切”．

1.本活动的设计意在引导学生通过自主探究，合作交流，恰当地选择边角关系式，使其对具体问题的认识从形象到抽象，训练学生能从实际问题中抽象出数学知识．旨在培养学生发现问题的意识，提高学生的抽象思维能力，同时也为后续归纳一元二次方程提供材料.

2.还可以根据∠A＝60°，可得∠B＝30°，利用直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出斜边长40 m，再利用勾股定理求出BC.
活动

三：

开放

训练

体现

应用
【应用举例】

例1 在△ABC中，∠C＝90°，AC＝eq \r(6)，BC＝eq \r(2)，解这个直角三角形.

解：AB＝eq \r(AC2＋BC2)＝eq \r(（\r(6)）2＋（\r(2)）2)＝2 eq \r(2).

∵tanA＝eq \f(BC,AC)＝eq \f(\r(2),\r(6))＝eq \f(\r(3),3)，∴∠A＝30°，∠B＝60°.

例2 在△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，∠A＝30°，解这个直角三角形.

解：∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝90°－30°＝60°.

而csA＝eq \f(AC,AB)，∴AB＝eq \f(AC,csA)＝eq \f(10,\f(\r(3),2))＝eq \f(20 \r(3),3).

∵tanA＝eq \f(BC,AC)，∴BC＝tanA·AC＝tan30°×10＝eq \f(10 \r(3),3).

变式在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝72°，AB＝10，则边AC的长约为(精确到0.1)( C )

A.9.1 B．9.5 C．3.1 D．3.5

[解析] 在Rt△ABC中，csA＝eq \f(AC,AB)，∴AC＝AB·csA＝10·cs72°≈3.1.所以选C.
例1主要是已知两边解直角三角形，注意已知两边解直角三角形的方法技巧.

例2及其变式主要是已知一边及一锐角解直角三角形．注意已知一边及一锐角解直角三角形的方法技巧.

【拓展提升】

例3 [南昌中考] 在Rt△ABC中，∠A＝90°，有一个锐角为60°，BC＝6.若点P在直线AC上(不与点A，C重合)，且∠ABP＝30°，则CP的长为__2_eq \r(3)或4_eq \r(3)或6__.

[解析] (1)如图①，∠ABP＝30°，∵∠ABC＝60°，∴∠ACB＝30°.∵BC＝6，∴AB＝3，∴AC＝3 eq \r(3)，在Rt△BAP中，tan30°＝eq \f(AP,AB)，AP＝AB·tan30°＝3×eq \f(\r(3),3)＝eq \r(3)，∴CP＝3 eq \r(3)－eq \r(3)＝2 eq \r(3).

(2)如图②，由图①知AB＝3，又∠ABP＝30°，∴AP＝eq \r(3)，∴CP＝3 eq \r(3)＋eq \r(3)＝4 eq \r(3).

(3)如图③，∵∠ABC＝∠ABP＝30°，∠BAC＝90°，∴∠C＝∠P，∴BC＝BP.∵∠C＝60°，∴△CBP是等边三角形，∴CP＝BC＝6.

图4－3－9
例3是需要画图后解直角三角形的问题，画图时需要分类讨论，注意解答时不要漏解.
活动

四：

课堂

总结

反思
【当堂训练】

1.教材P123练习中的T1，T2，T3.

2.教材P123习题4.3中的T1，T2，T3.

3.补充练习.

(1)在Rt△ABC中，CA＝CB，AB＝9 eq \r(2)，点D在BC边上，连接AD，若tan∠CAD＝eq \f(1,3)，则BD的长为__6__.

图4－3－10

(2)如图4－3－11，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝30°，CD⊥AB，垂足为D，CD＝1，则AB的长为__eq \r(3)＋1__．

图4－3－11
当堂检测，及时反馈学习效果.
【知识网络】

提纲挈领，重点突出.
【教学反思】

①[授课流程反思]

本节课采用清明节登山、测山高作为新课导入，题型新颖，深受学生喜爱，有利于调动学生学习解直角三角形的积极性.

②[讲授效果反思]

解直角三角形是重点，而选择恰当的边角关系式则是难点，为了突破此难点，本节课选择了两个例题让学生探究、讨论，总结出选择边角关系式的策略：有“斜”选“弦”，无“斜”选“切”；避“除”就“乘”，能“正”不“余”．由于有这些例题的引导，学生对于两类型的解直角三角形问题的掌握，应该没有问题，建议把补充练习也安排给成绩中等及以上的学生.

③[师生互动反思]

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④[习题反思]

好题题号_____________________________________

错题题号____________________________________

反思，更进一步提升.