初中数学湘教版九年级上册4.3 解直角三角形教案设计

这是一份初中数学湘教版九年级上册4.3 解直角三角形教案设计，共4页。教案主要包含了知识与技能，过程与方法，情感态度，教学重点，教学难点，教学说明，归纳结论等内容，欢迎下载使用。

教学目标


【知识与技能】


使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．


【过程与方法】


通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．





【情感态度】


渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．


【教学重点】


直角三角形的解法．


【教学难点】


三角函数在解直角三角形中的灵活运用．


教学过程


一、情景导入，初步认知


1．什么是锐角三角函数？


2．你知道哪些特殊的锐角三角函数值？


【教学说明】通过复习，使学生便于应用．


二、思考探究，获取新知


1．在三角形中共有几个元素？


2．直角三角形ABC中，∠C＝90°，a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢？


(1)边、角之间的关系：


sinA＝eq \f(∠A的对边,斜边)


csA＝eq \f(∠A的邻边,斜边)


tanA＝eq \f(∠A的对边,∠A的邻边)


(2)三边之间的关系：


a2＋b2＝c2(勾股定理)


(3)锐角之间的关系：


∠A＋∠B＝90°.


3．做一做：在直角三角形ABC中，已知两边，你能求出这个直角三角形中其他的元素吗？


4．做一做：在直角三角形ABC中，已知一角一边，你能求出这个直角三角形中其他的元素吗？


5．想一想：在直角三角形ABC中，已知两角，你能求出这个直角三角形中其他的元素吗？


6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，a＝5.求∠B、b、c.


解：∵∠B＝90°－∠A＝60°，


又∵tanB＝eq \f(b,a)，


∴b＝a·tanB＝5·tan60°＝5eq \r(3).


∵sinA＝eq \f(a,c)，


∴c＝eq \f(a,sinA)＝eq \f(5,sin30°)＝10.


【归纳结论】像这样，在直角三角形中，利用已知元素求其余未知元素的过程，叫作解直角三角形．


7．在解直角三角形中，两个已知元素中至少有一条边．


【教学说明】我们已掌握Rt△ABC的边角关系、三边关系、角角关系，利用这些关系，在知道其中的两个元素(至少有一个是边)后，就可求出其余的元素．这样的导语既可以使学生大概了解解直角三角形的概念，同时又陷入思考，为什么两个已知元素中必有一条边呢？激发了学生的学习热情．


三、运用新知，深化理解


1．见教材P122例2.


2．已知在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，c＝8eq \r(3)，∠A＝60°，求∠B、a、b.


解：a＝csin60°＝8eq \r(3)×eq \f(\r(3),2)＝12，


b＝ccs60°＝8eq \r(3)×eq \f(1,2)＝4，∠B＝30°.


3．已知在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，a＝3eq \r(6)，∠A＝30°，求∠B、b、c.


解：∠B＝90°－30°＝60°，


b＝atanB＝3eq \r(6)×eq \r(3)＝9eq \r(2)，


c＝eq \r(a2＋b2)＝eq \r(（3\r(6)）2＋（9\r(2)）2)


＝eq \r(54＋162)＝eq \r(216)＝6eq \r(6).


(另解：由于eq \f(a,c)＝sinA，所以eq \f(a,sinA)＝eq \f(3\r(6),\f(1,2))＝6eq \r(6))．


4．已知在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，c＝eq \r(6)－eq \r(2)，a＝eq \r(3)－1，求∠A、∠B、b.


解：由于eq \f(a,c)＝eq \f(\r(3)－1,\r(6)－\r(2))＝sinA，所以


sinA＝eq \f(\r(3)－1,\r(6)－\r(2))＝eq \f(（\r(3)－1）（\r(6)＋\r(2)）,（\r(6)－\r(2)）（\r(6)＋\r(2)）)


＝eq \f(3\r(2)－\r(6)＋\r(6)－\r(2),4)


＝eq \f(\r(2),2)，


由此可知，∠A＝45°，∠B＝90°－45°＝45°，


且有b＝a＝eq \r(3)－1.


5．已知在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，a＝6，b＝2eq \r(3)，求∠A、∠B、c.


解：由于tanA＝eq \f(a,b)，所以


tanA＝eq \f(6,2\r(3))＝eq \r(3)，


则∠A＝60°，∠B＝90°－60°＝30°，


且有c＝2b＝2×2eq \r(3)＝4eq \r(3).


6．在直角三角形ABC中，锐角A为30°，锐角B的平分线BD的长为8cm，求这个三角形的三条边的长．


解：由已知可得△BCD是含30°的直角三角形，


所以CD＝eq \f(1,2)BD＝eq \f(1,2)×8＝4(cm)，


△ADB是等腰三角形，


所以AD＝BD＝8(cm)，


则有AC＝8＋4＝12(cm)，


BC＝eq \f(AC,tan60°)＝12×eq \f(\r(3),3)＝4eq \r(3)(cm)，


AB＝eq \r(（4\r(3)）2＋122)＝eq \r(48＋144)＝8eq \r(3)(cm)．


7．如图，在三角形纸片ABC中，∠C＝90°，AC＝6，折叠该纸片，使点C落在AB边上的D点处，折痕BE与AC交于点E，若AD＝BD，则折痕BE的长为多少？





分析：先根据图形翻折变换的性质得出BC＝BD，∠BDE＝∠C＝90°，再根据AD＝BD可知AB＝2BC，AE＝BE，故∠A＝30°，由锐角三角函数的定义可求出BC的长，设BE＝x，则CE＝6－x，在Rt△BCE中根据勾股定理即可得出BE的长．


解：∵△BDE是由△BCE翻折而成，


∴BC＝BD，∠BDE＝∠C＝90°，


∵AD＝BD，∴AB＝2BC，AE＝BE，


∴∠A＝30°.在Rt△ABC中，


∵AC＝6，∴BC＝AC·tan30°＝6×eq \f(\r(3),3)＝2eq \r(3)，


设BE＝x，则CE＝6－x，


在Rt△BCE中，


∵BC＝2eq \r(3)，BE＝x，


CE＝6－x，BE2＝CE2＋BC2，


∴x2＝(6－x)2＋(2eq \r(3))2，解得x＝4.


即BE＝4.


【教学说明】解直角三角形是解实际应用题的基础，因此必须使学生熟练掌握．为此，教材配备了针对各种条件的练习，培养学生熟练解直角三角形和运算的能力．


四、师生互动、课堂小结


先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结．教师作以补充．


课后作业


布置作业：教材“习题4.3”中第1、3、4题．


教学反思


解直角三角形的方法很多，灵活多样，学生完全可以自己解决，但例题具有示范作用．因此，此题在处理时，首先，应让学生独立完成，培养其分析问题、解决问题的能力，同时渗透数形结合的思想．其次，教师组织学生比较各种方法中哪些较好，选一种板演．