2021届山东高考数学一轮创新教学案：第8章　第2讲　两条直线的位置关系

第2讲　两条直线的位置关系

1.两直线的平行、垂直与其斜率的关系

2.三种距离

3.常用的直线系方程

(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)．

(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋m＝0(m∈R)．

(3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.

1.概念辨析

(1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.(　　)

(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.(　　)

(3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交．(　　)

(4)已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，若直线l1⊥l2，则A1A2＋B1B2＝0.(　　)

答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√

2.小题热身

(1)若直线mx＋2y＋m＝0与直线3mx＋(m－1)y＋7＝0平行，则m的值为(　　)

A.7  B．0或7

C．0  D．4

答案　B

解析　∵直线mx＋2y＋m＝0与直线3mx＋(m－1)y＋7＝0平行，∴m(m－1)＝3m×2，∴m＝0或7，经检验，都符合题意．故选B.

(2)原点到直线x＋2y－5＝0的距离是________．

答案　

解析　原点到直线x＋2y－5＝0的距离d＝＝.

(3)经过直线l1：x＋y－5＝0，l2：x－y－1＝0的交点且垂直于直线2x＋y－3＝0的直线方程为________．

答案　x－2y＋1＝0

解析　联立直线l1与l2的方程，得解得所以直线l1与l2的交点坐标为(3,2)，设所求直线的方程为x－2y＋C＝0，将点(3,2)的坐标代入直线方程得3－2×2＋C＝0，解得C＝1，因此，所求的直线方程为x－2y＋1＝0.

(4)已知点P(－1,1)与点Q(3,5)关于直线l对称，则直线l的方程为________．

答案　x＋y－4＝0

解析　∵直线PQ的斜率k1＝1，∴直线l的斜率k2＝－1，又线段PQ的中点坐标为(1,3)，∴直线l的方程为x＋y－4＝0.

题型 一　两条直线的位置关系　

1.若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋2y＋5＝0相交于同一点，则m的值为________．

答案　－9

解析　由得

∴点(1,2)满足方程mx＋2y＋5＝0，

即m×1＋2×2＋5＝0，∴m＝－9.

2.已知两条直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值．

(1)l1⊥l2，且l1过点(－3，－1)；

(2)l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．

解　(1)由已知，得l2的斜率存在，且k2＝1－a.

若k2＝0，则1－a＝0，a＝1.

∵l1⊥l2，直线l1的斜率k1必不存在，即b＝0.

又l1过点(－3，－1)，

∴－3a＋4＝0，即a＝(矛盾)，

∴此种情况不存在，

∴k2≠0，即k1，k2都存在且不为0.

∵k2＝1－a，k1＝，l1⊥l2，

∴k1k2＝－1，即(1－a)＝－1.①

又l1过点(－3，－1)，

∴－3a＋b＋4＝0.②

由①②联立，解得a＝2，b＝2.

(2)∵l2的斜率存在，l1∥l2，

∴直线l1的斜率存在，k1＝k2，即＝1－a，③

又坐标原点到这两条直线的距离相等，

且l1∥l2，∴l1，l2在y轴上的截距互为相反数，

即＝b，④

联立③④，解得或

∴a＝2，b＝－2或a＝，b＝2.

条件探究　将本例中两条直线方程改为“l1：ax＋2y＋6＝0，l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0”，分别求：

(1)当l1∥l2时a的值；

(2)当l1⊥l2时a的值．

解　(1)解法一：当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，

l2：x＝0，l1不平行于l2；

当a＝0时，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1不平行于l2；

当a≠1且a≠0时，

两直线方程可化为l1：y＝－x－3，l2：y＝x－(a＋1)，由l1∥l2可得解得a＝－1.

综上可知，a＝－1.

解法二：由l1∥l2知

即⇒⇒a＝－1.

(2)解法一：当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，l1与l2不垂直，故a＝1不符合；

当a≠1时，l1：y＝－x－3，l2：y＝x－(a＋1)，

由l1⊥l2，得·＝－1⇒a＝.

解法二：∵l1⊥l2，∴A1A2＋B1B2＝0，即a＋2(a－1)＝0，得a＝.

1.已知两直线的斜率存在，判断两直线平行、垂直的方法

(1)两直线平行⇔两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等．

(2)两直线垂直⇔两直线的斜率之积等于－1.

2.由一般式确定两直线位置关系的方法

注意：在判断两直线位置关系时，比例式与，的关系容易记住，在解答选择、填空题时，建议多用比例式来解答．

1.(2019·淮南模拟)设λ∈R，则“λ＝－3”是“直线2λx＋(λ－1)y＝1与直线6x＋(1－λ)y＝4平行”的(　　)

A.充分不必要条件  B．必要不充分条件

C.充要条件  D．既不充分又不必要条件

答案　A

解析　当λ＝－3时，两条直线的方程分别为6x＋4y＋1＝0,3x＋2y－2＝0，此时两条直线平行；若两条直线平行，则2λ·(1－λ)＝－6(1－λ)，所以λ＝－3或λ＝1，经检验，两者均符合，综上，“λ＝－3”是“直线2λx＋(λ－1)y＝1与直线6x＋(1－λ)y＝4平行”的充分不必要条件.

2.(2019·湖北十堰模拟)已知菱形ABCD的顶点A，C的坐标分别为A(－4,7)，C(6，－5)，BC边所在直线过点P(8，－1)．求：

(1)AD边所在直线的方程；

(2)对角线BD所在直线的方程．

解　(1)kBC＝＝2，

∵AD∥BC，∴kAD＝2.

∴AD边所在直线的方程为y－7＝2(x＋4)，

即2x－y＋15＝0.

(2)kAC＝＝－.

∵菱形的对角线互相垂直，

∴BD⊥AC，∴kBD＝.

∵AC的中点(1,1)，也是BD的中点，

∴对角线BD所在直线的方程为y－1＝(x－1)，即5x－6y＋1＝0.

题型 二　距离问题

1.若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，则l1与l2之间的距离为(　　)

A.  B．4 

C.  D．2

答案　C

解析　若l1∥l2，则1×3－a(a－2)＝0，解得a＝－1或3.

经检验a＝3时，两条直线重合，舍去．

所以a＝－1，此时有l1：x－y＋6＝0，

l2：－3x＋3y－2＝0，即x－y＋＝0，

所以l1与l2之间的距离d＝＝.

2.(2019·重庆巴蜀中学模拟)已知曲线y＝在点P(2，4)处的切线与直线l平行且距离为2，则直线l的方程为(　　)

A.2x＋y＋2＝0

B.2x＋y＋2＝0或2x＋y－18＝0

C.2x－y－18＝0

D.2x－y＋2＝0或2x－y－18＝0

答案　B

解析　y′＝＝－，当x＝2时，y′＝－＝－2，因此kl＝－2，则设直线l方程为y＝－2x＋b，即2x＋y－b＝0，由题意知＝2，解得b＝18或b＝－2，所以直线l的方程为2x＋y－18＝0或2x＋y＋2＝0.故选B.

3.已知点A(5,2a－1)，B(a＋1，a－4)，当|AB|取得最小值时，实数a的值是________．

答案　

解析　由题意，得

|AB|＝

＝＝，

所以当a＝时，|AB|取得最小值.

距离问题的常见题型及解题策略

(1)求两条平行线间的距离．要先将直线方程中x，y的对应项系数转化成相等的形式，再利用距离公式求解，也可以转化成点到直线的距离问题．如举例说明1.

(2)解决与点到直线的距离有关的问题．应熟记点到直线的距离公式，若已知点到直线的距离求直线方程，一般考虑待定系数法(如举例说明2)，若待定系数是斜率，必须讨论斜率是否存在．

(3)求两点间的距离．关键是确定两点的坐标，然后代入公式即可，一般用来判断三角形的形状等．

1.若点P在直线3x＋y－5＝0上，且P到直线x－y－1＝0的距离为，则点P的坐标为(　　)

A.(1,2)  B．(2,1)

C.(1,2)或(2，－1)  D．(2,1)或(－1,2)

答案　C

解析　设P(x,5－3x)，则d＝＝，化简得|4x－6|＝2，即4x－6＝±2，解得x＝1或x＝2，故P(1,2)或(2，－1).

2.若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为(　　)

A.   B. 

C.   D.

答案　C

解析　易知直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0平行，所以|PQ|的最小值就是这两条平行线间的距离.6x＋8y＋5＝0可化为3x＋4y＋＝0，则这两条平行线间的距离是＝.

题型 三　对称问题

1.已知入射光线经过点M(－3,4)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(2,6)，则反射光线所在直线的方程为________．

答案　6x－y－6＝0

解析　设点M(－3,4)关于直线l：x－y＋3＝0的对称点为M′(a，b)，则反射光线所在直线过点M′，

所以解得

又反射光线经过点N(2,6)，所以所求直线的方程为＝，即6x－y－6＝0.

2.已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：

(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；

(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程；

(3)直线l关于点A(－1，－2)对称的直线l′的方程．

解　(1)设A′(x，y)，再由已知，得

解得∴A′.

(2)在直线m上取一点，如M(2,0)，则M(2,0)关于直线l的对称点必在m′上．

设对称点为M′(a，b)，则

解得M′.

设m与l的交点为N，

则由得N(4,3)．

又m′经过点N(4,3)，

∴由两点式得直线方程为9x－46y＋102＝0.

(3)解法一：在l：2x－3y＋1＝0上任取两点，

如M(1,1)，N(4,3)，

则M，N关于点A的对称点M′，N′均在直线l′上．

易知M′(－3，－5)，N′(－6，－7)，由两点式可得l′的方程为2x－3y－9＝0.

解法二：设P(x，y)为l′上任意一点，则P(x，y)关于点A(－1，－2)的对称点为P′(－2－x，－4－y)，

∵P′在直线l上，

∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，

即2x－3y－9＝0.

解法三：∵l∥l′，∴设l′的方程为2x－3y＋c＝0(c≠1)，

∴由点到直线的距离公式得

＝，

解得c＝－9或c＝1(舍去)，

∴l′的方程为2x－3y－9＝0.

1.中心对称问题的两个类型及求解方法

(1)点关于点的对称

若点M(x1，y1)及N(x，y)关于P(a，b)对称，则由中点坐标公式得进而求解．

(2)直线关于点的对称，主要求解方法是：

①在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程．如举例说明2(3)．

②求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程．

2.轴对称问题的两个类型及求解方法

(1)点关于直线的对称

若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，由方程组

得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中B≠0，x1≠x2)．如举例说明1,2(1)．

(2)直线关于直线的对称

一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行．

已知直线l：3x－y＋3＝0，求：

(1)点P(4,5)关于l的对称点；

(2)直线x－y－2＝0关于直线l对称的直线方程；

(3)直线l关于(1,2)的对称直线．

解　(1)解法一：设P(x，y)关于直线l：3x－y＋3＝0的对称点为P′(x′，y′)，

∵kPP′·kl＝－1，即×3＝－1.①

又PP′的中点在直线3x－y＋3＝0上，

∴3×－＋3＝0.②

由①②得

把x＝4，y＝5代入③④得x′＝－2，y′＝7，

∴点P(4,5)关于直线l的对称点P′的坐标为(－2,7)．

解法二：设点P(4,5)关于l的对称点为M(m，n)．

∵PM与l垂直，且PM的中点在直线l上，

∴解得

∴点P(4,5)关于l的对称点为(－2,7)．

(2)解法一：用③④分别代换x－y－2＝0中的x，y，得关于l对称的直线方程为

－－2＝0，

化简得7x＋y＋22＝0.

解法二：设直线x－y－2＝0关于直线l对称的直线为l′.

解方程组得即两直线的交点为，则点在直线l′上．

取直线x－y－2＝0上一点Q(2,0)，则点Q(2,0)关于直线l的对称点Q′(a，b)在l′上．

∵QQ′与l垂直，且QQ′的中点在l上．

∴解得

∴Q′，

∴l′的斜率为＝－7，

∴直线l′的方程为y＋＝－7，即7x＋y＋22＝0.

(3)在直线l：3x－y＋3＝0上取点M(0,3)，

设关于(1,2)的对称点M′(x′，y′)，

∴＝1，x′＝2，＝2，y′＝1，∴M′(2,1)．

∵l关于(1,2)的对称直线平行于l，∴k＝3，

∴对称直线方程为y－1＝3×(x－2)，即3x－y－5＝0.

　组　基础关

1.已知过点A(m＋1,0)，B(－5，m)的直线与过点C(－4,3)，D(0,5)的直线平行，则m的值为(　　)

A.－1  B．－2

C．2  D．1

答案　B

解析　由题意得，kAB＝＝，kCD＝＝.由于AB∥CD，即kAB＝kCD，所以＝，所以m＝－2.

2.若直线l1：(m－2)x－y－1＝0与直线l2：3x－my＝0互相平行，则m的值等于(　　)

A.0或－1或3  B．0或3

C.0或－1  D．－1或3

答案　D

解析　当m＝0时，两条直线方程分别化为－2x－y－1＝0,3x＝0，此时两条直线不平行；当m≠0时，由于l1∥l2，则＝，解得m＝－1或3，经验证满足条件．综上，m＝－1或3.故选D.

3.过两直线l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交点和原点的直线方程为(　　)

A.19x－9y＝0  B．9x＋19y＝0

C.19x－3y＝0  D．3x＋19y＝0

答案　D

解析　解法一：解方程组可得两条直线的交点坐标为，又因为所求直线过原点，所以其斜率为－，方程为y＝－x，即3x＋19y＝0.

解法二：根据题意可设所求直线方程为x－3y＋4＋λ(2x＋y＋5)＝0，因为此直线过原点，所以4＋5λ＝0，λ＝－.所以x－3y＋4－(2x＋y＋5)＝0，整理得3x＋19y＝0.

4.(2019·南昌检测)直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线的方程是(　　)

A.3x＋4y＋5＝0  B．3x＋4y－5＝0

C.－3x＋4y－5＝0  D．－3x＋4y＋5＝0

答案　A

解析　在所求直线上任取一点P(x，y)，则点P关于x轴的对称点P′(x，－y)在已知的直线3x－4y＋5＝0上，所以3x－4(－y)＋5＝0，即3x＋4y＋5＝0.

5.若直线l经过点(－1，－2)，且原点到直线l的距离为1，则直线l的方程为(　　)

A.3x－4y－5＝0

B.x＝－1

C.3x－4y－5＝0或y＝－1

D.3x－4y－5＝0或x＝－1

答案　D

解析　当直线l的斜率不存在时，直线方程为x＝－1，满足原点到直线l的距离为1，∴x＝－1.当直线l的斜率存在时，设直线方程为y＋2＝k(x＋1)，即kx－y＋k－2＝0，由原点到直线l的距离为1，∴＝1，解得k＝.从而得直线l的方程为y＋2＝(x＋1)，即3x－4y－5＝0.综上可得，直线l的方程为x＝－1或3x－4y－5＝0.

6.(2019·葫芦岛模拟)当点P(3,2)到直线mx－y＋1－2m＝0的距离最大时，m的值为(　　)

A.3  B．0

C．－1  D．1

答案　C

解析　直线mx－y＋1－2m＝0可化为y＝m(x－2)＋1，故直线过定点Q(2,1)，当PQ和直线垂直时，距离取得最大值，故m·kPQ＝m·＝m·1＝－1，m＝－1.

7.已知直线l被两条直线l1：4x＋y＋3＝0和l2：3x－5y－5＝0截得的线段的中点为P(－1,2)，则直线l的一般式方程为(　　)

A.3x－y＋5＝0  B．3x＋y＋1＝0

C.x－3y＋7＝0  D．x＋3y－5＝0

答案　B

解析　设l与l1的交点坐标为A(a，y1)，l与l2的交点坐标为B(b，y2)，∴y1＝－4a－3，y2＝－1，由中点坐标公式得＝－1，＝2，即a＋b＝－2，(－4a－3)＋＝4，解得a＝－2，b＝0，∴A(－2,5)，B(0，－1)，∴l的方程为3x＋y＋1＝0.

8.点(2,1)关于直线x－y＋1＝0的对称点为________．

答案　(0,3)

解析　设对称点为(x0，y0)，则

解得故所求对称点为(0,3).

9.若两平行直线3x－2y－1＝0,6x＋ay＋c＝0之间的距离为，则实数c的值是________．

答案　2或－6

解析　直线6x＋ay＋c＝0的方程可化为3x＋y＋＝0，

由题意得＝－2且≠－1，解得a＝－4，c≠－2.

根据两平行直线的距离为，得

＝，

所以1＋＝±2，解得c＝2或－6.

10.以A(1,1)，B(3,2)，C(5,4)为顶点的△ABC，其边AB上的高所在的直线方程是________．

答案　2x＋y－14＝0

解析　由A，B两点得kAB＝，则边AB上的高所在直线的斜率为－2，故所求直线方程是y－4＝－2(x－5)，即2x＋y－14＝0.

　组　能力关

1.已知b＞0，直线(b2＋1)x＋ay＋2＝0与直线x－b2y－1＝0垂直，则ab的最小值为(　　)

A.1  B．2

C．2  D．2

答案　B

解析　由已知两直线垂直，得(b2＋1)－ab2＝0，即ab2＝b2＋1，又b＞0，∴ab＝b＋.由基本不等式得b＋≥2 ＝2，当且仅当b＝1时等号成立，∴(ab)min＝2.故选B.

2.两条平行线l1，l2分别过点P(－1,2)，Q(2，－3)，它们分别绕P，Q旋转，但始终保持平行，则l1，l2之间距离的取值范围是(　　)

A.(5，＋∞)  B．(0,5]

C.(，＋∞)  D．(0，]

答案　D

解析　当PQ与平行线l1，l2垂直时，|PQ|为平行线l1，l2间的距离的最大值，为＝，∴l1，l2之间距离的取值范围是(0，]．故选D.

3.已知三条直线2x－3y＋1＝0,4x＋3y＋5＝0，mx－y－1＝0不能构成三角形，则实数m的取值集合为(　　)

A.   B.

C.   D.

答案　D

解析　设l1：2x－3y＋1＝0，l2：4x＋3y＋5＝0，l3：mx－y－1＝0，易知l1与l2交于点A，l3过定点B(0，－1)．因为l1，l2，l3不能构成三角形，所以l1∥l3或l2∥l3或l3过点A.当l1∥l3时，m＝；当l2∥l3时，m＝－；当l3过点A时，m＝－，所以实数m的取值集合为.故选D.

4.(2019·保定模拟)设点P为直线l：x＋y－4＝0上的动点，点A(－2,0)，B(2,0)，则|PA|＋|PB|的最小值为(　　)

A.2  B.

C．2  D.

答案　A

解析　依据题意作出图象如下，

设点B(2,0)关于直线l的对称点为B1(a，b)，则它们的中点坐标为，，且|PB|＝|PB1|，由对称性，

得

解得a＝4，b＝2，所以B1(4,2)，因为|PA|＋|PB|＝|PA|＋|PB1|，所以当A，P，B1三点共线时，|PA|＋|PB|最小，此时最小值为|AB1|＝＝2.

5.已知曲线y＝在点P(1,4)处的切线与直线l平行且两直线之间的距离为，则直线l的方程为________．

答案　4x＋y＋9＝0或4x＋y－25＝0

解析　y′＝－，所以曲线y＝在点P(1,4)处的切线的斜率k＝－＝－4，则切线方程为y－4＝－4(x－1)，即4x＋y－8＝0.所以可设直线l的方程为4x＋y＋C＝0，由＝，得C＝9 或C＝－25，所以所求直线方程为4x＋y＋9＝0或4x＋y－25＝0.

6.在△ABC的顶点A(5,1)，AB边上的中线CM所在直线方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在直线方程为x－2y－5＝0，则直线BC的方程为________．

答案　6x－5y－9＝0

解析　由AC边上的高BH所在直线方程为x－2y－5＝0可以知道kAC＝－2，又A(5,1)，

AC边所在直线方程为2x＋y－11＝0，

联立直线AC与直线CM方程得

解得所以顶点C的坐标为C(4,3)．

设B(x0，y0)，AB的中点M为，

由M在直线2x－y－5＝0上，得2x0－y0－1＝0，

B在直线x－2y－5＝0上，得x0－2y0－5＝0，

联立解得

所以顶点B的坐标为(－1，－3)．

于是直线BC的方程为6x－5y－9＝0.

7.已知直线l：(2a＋b)x＋(a＋b)y＋a－b＝0及点P(3,4)．

(1)证明直线l过某定点，并求该定点的坐标；

(2)当点P到直线l的距离最大时，求直线l的方程．

解　(1)证明：直线l的方程可化为a(2x＋y＋1)＋b(x＋y－1)＝0，由得所以直线l恒过定点(－2,3)．

(2)由(1)知直线l恒过定点A(－2,3)，

当直线l垂直于直线PA时，点P到直线l的距离最大．

又因为直线PA的斜率kPA＝＝，

所以直线l的斜率kl＝－5.

故直线l的方程为y－3＝－5(x＋2)，

即5x＋y＋7＝0.