2021届山东高考数学一轮创新教学案：第6章第1讲不等关系与不等式的性质及一元二次不等式

第六章　不等式

第1讲　不等关系与不等式的性质及一元二次不等式

1.两个实数比较大小的依据

(1)a－b＞0⇔a＞b.

(2)a－b＝0⇔a＝b.

(3)a－b＜0⇔a＜b.

2．不等式的基本性质

(1)对称性：a＞b⇔b＜a.

(2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c.

(3)可加性：a＞b⇒a＋c＞b＋c.

(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc.

(5)加法法则：a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d.

(6)乘法法则：a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd.

(7)乘方法则：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥1)．

(8)开方法则：a＞b＞0⇒＞(n∈N，n≥2)．

3．必记结论

(1)a>b，ab>0⇒<.

(2)a<0<b⇒<.

(3)a>b>0,0<c<d⇒>.

(4)0<a<x<b或a<x<b<0⇒<<.

(5)若a>b>0，m>0，则<；

>(b－m>0)；>；

<(b－m>0)．

4．一元二次函数的三种形式

(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．

(2)顶点式：y＝a2＋(a≠0)．

(3)两根式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．

5．三个二次之间的关系

1．概念辨析

(1)a＞b⇔ac2＞bc2.(　　)

(2)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.(　　)

(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.(　　)

(4)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ＝b2－4ac≤0.(　　)

答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×

2．小题热身

(1)设集合M＝{x|x2－3x－4<0}，N＝{x|0≤x≤5}，则M∩N等于(　　)

A．(0,4]  B．[0,4)

C．[－1,0)  D．(－1,0]

答案　B

解析　因为M＝{x|－1<x<4}，N＝{x|0≤x≤5}，所以M∩N＝[0,4)．

(2)已知a，b，c满足c<b<a，且ac<0，那么下列选项中一定成立的是(　　)

A．ab>ac  B．c(b－a)<0

C．cb2<ab2  D．ac(a－c)>0

答案　A

解析　因为c<b<a，且ac<0，所以a>0，c<0，b的符号不确定，b－a<0，a－c>0，据此判断A成立，B，D不成立，C不一定成立．

(3)设M＝2a(a－2)，N＝(a＋1)(a－3)，则有(　　)

A．M >N  B．M ≥N

C．M<N  D．M≤N

答案　A

解析　M－N＝2a(a－2)－(a＋1)(a－3)＝a2－2a＋3＝(a－1)2＋2>0，故M >N.

(4)已知函数f(x)＝ax2＋ax－1，若对任意实数x，恒有f(x)≤0，则实数a的取值范围是________．

答案　[－4,0]

解析　当a＝0时，f(x)＝－1≤0成立，

当a≠0时，若对∀x∈R，f(x)≤0，

须有

解得－4≤a＜0.

综上知，实数a的取值范围是[－4,0]．

题型 一　不等式性质的应用

1．(2020·辽宁省鞍山一中高三上学期期末)已知条件甲：a>0，条件乙：a>b且>，则甲是乙的(　　)

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

答案　B

解析　由a>0不能推出a>b且>，故甲不是乙的充分条件．若a>b且>，即a>b且>0，则ab<0，所以a>0，b<0.所以由a>b且>能推出a>0.故甲是乙的必要条件．所以甲是乙的必要不充分条件．

2．已知等比数列{an}中，a1>0，q>0，前n项和为Sn，则与的大小关系为________．

答案　<

解析　当q＝1时，＝3，＝5，所以<.

当q>0且q≠1时，

－＝－

＝＝<0，

所以<.

综上可知<.

3．已知二次函数y＝f(x)的图象过原点，且1≤f(－1)≤2,3≤f(1)≤4，求f(－2)的取值范围．

解　由题意知f(x)＝ax2＋bx，则f(－2)＝4a－2b，

由f(－1)＝a－b，f(1)＝a＋b，

设存在实数m，n，使得4a－2b＝m(a＋b)＋n(a－b)，

即4a－2b＝(m＋n)a＋(m－n)b，

所以解得

所以f(－2)＝4a－2b＝(a＋b)＋3(a－b)．

又3≤a＋b≤4,3≤3(a－b)≤6，

所以6≤(a＋b)＋3(a－b)≤10，

即f(－2)的取值范围是[6,10]．

1.判断不等式是否成立的方法

(1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．

(2)在判断一个关于不等式的命题的真假时，可结合不等式的性质，对数函数、指数函数的性质进行判断．

2.比较两个数(式)大小的两种方法

3.求代数式的取值范围

利用不等式性质求某些代数式的取值范围时，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围，是避免错误的有效途径．如举例说明3.

1.若<<0，给出下列不等式：①<；②|a|＋b>0；③a－>b－；④ln a2>ln b2.其中正确的不等式是(　　)

A.①④  B．②③

C．①③  D．②④

答案　C

解析　因为<<0，所以b<a<0，|b|>|a|，所以|a|＋b<0，ln a2<ln b2，由a>b，－>－可推出a－>b－，显然有<0<，综上知，①③正确，②④错误.

2.若a>0，且a≠7，则(　　)

A.77aa<7aa7

B.77aa＝7aa7

C.77aa>7aa7

D.77aa与7aa7的大小不确定

答案　C

解析　显然77aa>0,7aa7>0，

因为＝7·a＝7·－a＝7－a.

当a>7时，0<<1,7－a<0，7－a>1，

当0<a<7时，>1,7－a>0，7－a>1.

综上知77aa>7aa7.

3.若1<α<3，－4<β<2，则α－|β|的取值范围是________．

答案　(－3,3)

解析　∵－4<β<2，∴0≤|β|<4，∴－4<－|β|≤0.

∴－3<α－|β|<3.

题型 二　不等式的解法

1.(2019·黄冈模拟)关于x的不等式ax＋b>0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式(ax＋b)(x－2)<0的解集是(　　)

A.(－∞，1)∪(2，＋∞)  B．(－1,2)

C.(1,2)  D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)

答案　C

解析　因为关于x的不等式ax＋b>0的解集是(1，＋∞)，所以a>0，且－＝1，所以关于x的不等式(ax＋b)(x－2)<0可化为(x－2)<0，即(x－1)(x－2)<0，所以不等式的解集为{x|1<x<2}.

2.解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a∈R)．

解　本题采用分类讨论思想．

原不等式可化为ax2＋(a－2)x－2≥0.

①当a＝0时，原不等式化为x＋1≤0，解得x≤－1.

②当a>0时，原不等式化为(x＋1)≥0，

解得x≥或x≤－1.

③当a<0时，原不等式化为(x＋1)≤0.

当>－1，即a<－2时，解得－1≤x≤；

当＝－1，即a＝－2时，解得x＝－1满足题意；

当<－1，即－2<a<0，解得≤x≤－1.

综上所述，当a＝0时，不等式的解集为{x|x≤－1}；

当a>0时，不等式的解集为；

当－2<a<0时，不等式的解集为；

当a＝－2时，不等式的解集为{－1}；

当a<－2时，不等式的解集为.

1.解一元二次不等式的四个步骤

2.分式不等式的解法

求解分式不等式的关键是对原不等式进行恒等变形，转化为整式不等式(组)求解．

(1)>0(<0)⇔f(x)·g(x)>0(<0)；

(2)≥0(≤0)⇔

3.解含参数的一元二次不等式的一般步骤

1.(2019·江西省重点中学协作体联考)已知命题p：A＝，命题q：B＝{x|x－a<0}．若命题p是命题q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是(　　)

A.(2，＋∞)  B．[2，＋∞)

C.(－∞，1)  D．(－∞，1]

答案　D

解析　由≤0，得≥0，∴

解得x<1或x≥2，∴A＝{x|x<1或x≥2}．又B＝{x|x－a<0}＝{x|x<a}，命题p是命题q的必要不充分条件，∴BA，利用数轴(如图)可得a≤1.

2.已知函数f(x)＝ax2＋bx－a＋2.

(1)若关于x的不等式f(x)>0的解集是(－1,3)，求实数a，b的值；

(2)若b＝2，a>0，解关于x的不等式f(x)>0.

解　(1)由题意，知x＝－1，x＝3是方程ax2＋bx－a＋2＝0的两个根，

代入方程有∴

(2)当b＝2时，f(x)＝ax2＋2x－a＋2＝(ax－a＋2)(x＋1)，∵a>0，

∴f(x)>0可化为(x＋1)>0，

①当≥－1，即a≥1时，

解集为；

②当<－1，即0<a<1时，

解集为.

题型 三　二次不等式中的任意性与存在性　

角度1　任意性与存在性

1.已知函数f(x)＝x2－x＋1.

(1)若f(x)≥0，在R上恒成立，求实数a的取值范围；

(2)若∃x∈[1,2]，f(x)≥2成立，求实数a的取值范围．

解　(1)由题意得f(x)＝x2－x＋1≥0在R上恒成立，

∴Δ＝－4≤0，解得－4≤a≤4，

∴实数a的取值范围为[－4,4]．

(2)由题意得∃x∈[1,2]，x2－x＋1≥2成立，

∴∃x∈[1,2]，≤x－成立．

令g(x)＝x－，x∈[1,2]，

则g(x)在区间[1,2]上单调递增，

∴g(x)max＝g(2)＝，

∴≤，解得a≤3，

∴实数a的取值范围为(－∞，3].

角度2　给定区间上的任意性问题

2.已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)<0成立，则实数m的取值范围是________．

答案　

解析　要满足f(x)＝x2＋mx－1＜0对于任意x∈[m，m＋1]恒成立，

只需即

解得－＜m＜0.

3.设函数f(x)＝mx2－mx－1.若对于x∈[1,3]，f(x)<－m＋5恒成立，求m的取值范围．

解　要使f(x)<－m＋5在x∈[1,3]上恒成立，即

m2＋m－6<0在x∈[1,3]上恒成立．

有以下两种方法：

解法一：令g(x)＝m2＋m－6，x∈[1,3]．

当m>0时，g(x)在[1,3]上是增函数，

所以g(x)max＝g(3)，即7m－6<0，所以m<，

所以0<m<；

当m＝0时，－6<0恒成立；

当m<0时，g(x)在[1,3]上是减函数，

所以g(x)max＝g(1)，即m－6<0，

所以m<6，所以m<0.

综上所述，m的取值范围是.

解法二：因为x2－x＋1＝2＋>0，

又因为m(x2－x＋1)－6<0，所以m<.

因为函数y＝＝

在[1,3]上的最小值为，所以只需m<即可．

所以m的取值范围是.

角度3　给定参数范围的恒成立问题

4.已知a∈[－1,1]时不等式x2＋(a－4)x＋4－2a＞0恒成立，则x的取值范围为(　　)

A.(－∞，2)∪(3，＋∞)

B.(－∞，1)∪(2，＋∞)

C.(－∞，1)∪(3，＋∞)

D.(1,3)

答案　C

解析　把不等式的左端看成关于a的一次函数，

记f(a)＝(x－2)a＋x2－4x＋4，

要使f(a)＞0对于任意的a∈[－1,1]恒成立，

只需f(－1)＝x2－5x＋6＞0，

且f(1)＝x2－3x＋2＞0即可，解不等式组

得x＜1或x＞3.故选C.

形如f(x)≥0(f(x)≤0)恒成立问题的求解思路

(1)x∈R的不等式确定参数的范围时，结合二次函数的图象，利用判别式来求解．如举例说明1(1)．

(2)x∈[a，b]的不等式确定参数范围时，①根据函数的单调性，求其最值，让最值大于等于或小于等于0，从而求参数的范围；②数形结合，利用二次函数在端点a，b处的取值特点确定不等式求范围．如举例说明2,3.

(3)已知参数m∈[a，b]的不等式确定x的范围，要注意变换主元，一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．如举例说明4.

1.若不等式x2＋ax－2>0在区间[1,5]上有解，则a的取值范围是________．

答案　

解析　由Δ＝a2＋8>0，知方程x2＋ax－2＝0恒有两个不等实数根，又知两根之积为负，所以方程x2＋ax－2＝0必有一正根、一负根．于是不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是f(5)>0，解得a>－，故a的取值范围为.

2.函数f(x)＝x2＋ax＋3.

(1)当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；

(2)当x∈[－2,2]时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；

(3)当a∈[4,6]时，f(x)≥0恒成立，求实数x的取值范围．

解　(1)∵当x∈R时，x2＋ax＋3－a≥0恒成立，

需Δ＝a2－4(3－a)≤0，即a2＋4a－12≤0，

∴实数a的取值范围是[－6,2]．

(2)当x∈[－2,2]时，设g(x)＝x2＋ax＋3－a≥0，分如下三种情况讨论(如图所示)：

①如图1，当g(x)的图象恒在x轴上方且满足条件时，有Δ＝a2－4(3－a)≤0，即－6≤a≤2.

②如图2，g(x)的图象与x轴有交点，

但当x∈[－2，＋∞)时，g(x)≥0，

即即

可得解得a∈∅.

③如图3，g(x)的图象与x轴有交点，但当x∈(－∞，2]时，g(x)≥0.

即即

可得∴－7≤a≤－6.

综上，实数a的取值范围是[－7,2]．

(3)令h(a)＝xa＋x2＋3.

当a∈[4,6]时，h(a)≥0恒成立．

只需即

解得x≤－3－或x≥－3＋.

∴实数x的取值范围是(－∞，－3－]∪[－3＋，＋∞).

　组　基础关

1.(2019·潍坊模拟)已知集合A＝{x|x2－2x－3≥0}，B＝{x|－2≤x≤2}，则A∩B＝(　　)

A.[－2，－1]  B．[－1,2]

C.[－1,1]  D．[1,2]

答案　A

解析　A＝{x|x2－2x－3≥0}＝{x|(x－3)(x＋1)≥0}＝{x|x≤－1或x≥3}，又B＝{x|－2≤x≤2}，所以A∩B＝{x|－2≤x≤－1}.

2.若正实数a，b满足a>b，且ln a·ln b>0，则(　　)

A.>  B．a2<b2

C.ab＋1>a＋b  D．lg a＋lg b>0

答案　C

解析　由已知得a>b>1或0<b<a<1，因此必有<，a2>b2，所以A，B错误；又ab>1或0<ab<1，因此lg a＋lg b＝lg (ab)>0或lg (ab)<0，所以D错误；而ab＋1－(a＋b)＝(a－1)(b－1)>0，即ab＋1>a＋b，所以C正确.

3.若角α，β满足－<α<β<π，则α－β的取值范围是(　　)

A.   B.

C.   D.

答案　B

解析　∵－<α<π，－<β<π，∴－π<－β<，

∴－<α－β<.又α<β，∴α－β<0，从而－<α－β<0.

4.设a，b∈[0，＋∞)，A＝＋，B＝，则A，B的大小关系是(　　)

A.A≤B  B．A≥B

C.A<B  D．A>B

答案　B

解析　因为a，b∈[0，＋∞)，所以A＝＋>0，B＝>0，所以A2－B2＝a＋b＋2－(a＋b)＝2≥0，所以A2≥B2，所以A≥B.

5.(2020·广东清远一中月考)关于x的不等式ax－b＜0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式(ax＋b)(x－3)＞0的解集是(　　)

A.(－∞，－1)∪(3，＋∞)

B.(1,3)

C.(－1,3)

D.(－∞，1)∪(3，＋∞)

答案　C

解析　关于x的不等式ax－b＜0的解集是(1，＋∞)，即不等式ax＜b的解集是(1，＋∞)，∴a＝b＜0，∴不等式(ax＋b)(x－3)＞0可化为(x＋1)(x－3)＜0，解得－1＜x＜3，∴所求解集是(－1,3)．故选C.

6.设函数f(x)＝则不等式f(x)>f(1)的解集是(　　)

A.(－3,1)∪(3，＋∞)  B．(－3,1)∪(2，＋∞)

C.(－1,1)∪(3，＋∞)  D．(－∞，－3)∪(1,3)

答案　A

解析　由题意知f(1)＝3，故原不等式可化为

或解得－3<x<1或x>3，所以原不等式的解集为(－3,1)∪(3，＋∞)，故选A.

7.已知函数f(x)＝(ax－1)(x＋b)，如果不等式f(x)>0的解集为(－1,3)，那么不等式f(－2x)<0的解集为(　　)

A.∪

B.

C.∪

D.

答案　A

解析　由f(x)＝(ax－1)(x＋b)>0的解集是(－1,3)，则a<0，故有＝－1，－b＝3，即a＝－1，b＝－3，∴f(x)＝－x2＋2x＋3，∴f(－2x)＝－4x2－4x＋3，由－4x2－4x＋3<0，解得x>或x<－，故不等式f(－2x)<0的解集是∪.

8.已知函数f(x)＝，若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，则实数a的取值范围是________．

答案　(－3，＋∞)

解析　对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立．

等价于x2＋2x＋a>0，即a>－(x＋1)2＋1在[1，＋∞)上恒成立，令g(x)＝－(x＋1)2＋1，则g(x)在[1，＋∞)上单调递减，所以g(x)max＝g(1)＝－3，所以a>－3.

9.若存在x∈[－2,3]，使不等式2x－x2≥a成立，则实数a的取值范围是________．

答案　(－∞，1]

解析　设f(x)＝2x－x2，则当x∈[－2,3]时，f(x)＝－(x－1)2＋1∈[－8,1]，因为存在x∈[－2,3]，使不等式2x－x2≥a成立，所以a≤f(x)max，所以a≤1.

10.设不等式mx2－2x－m＋1<0对于满足|m|≤2的一切m的值都成立，则x的取值范围是________．

答案　

解析　记f(m)＝mx2－2x－m＋1＝(x2－1)m＋1－2x(|m|≤2)，

则f(m)<0恒成立等价于

解得<x<.

　组　能力关

1.(2019·天津市新华中学模拟)已知命题p：>，命题q：∀x∈R，ax2＋ax＋1>0，则p成立是q成立的(　　)

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案　A

解析　求解不等式>可得0<a<4，对于命题q，当a＝0时，命题明显成立；当a≠0时，有

解得0<a<4，即命题q为真时0≤a<4，故p成立是q成立的充分不必要条件.

2.若不等式x2－(a＋1)x＋a≤0的解集是[－4,3]的子集，则a的取值范围是(　　)

A.[－4,1]  B．[－4,3]

C.[1,3]  D．[－1,3]

答案　B

解析　原不等式为(x－a)(x－1)≤0，当a<1时，不等式的解集为[a,1]，此时只要a≥－4即可，即－4≤a<1；当a＝1时，不等式的解为x＝1，此时符合要求；当a>1时，不等式的解集为[1，a]，此时只要a≤3即可，即1<a≤3.综上可得－4≤a≤3.

3.某省每年损失耕地20万亩，每亩耕地价值24000元，为了减少耕地损失，决定按耕地价格的t%征收耕地占用税，这样每年的耕地损失可减少t万亩，为了既减少耕地的损失又保证此项税收一年不少于9000万元，则t的取值范围是(　　)

A.[1,3]  B．[3,5]

C．[5,7]  D．[7,9]

答案　B

解析　由题意知征收耕地占用税后每年损失耕地为万亩，则税收收入为×24000×t%万元，由题意有×24000×t%≥9000，整理得t2－8t＋15≤0，解得3≤t≤5，∴当耕地占用税税率为3%～5%时，既可减少耕地损失又可保证此项税收一年不少于9000万元．∴t的取值范围是3≤t≤5，故选B.

4.(2019·江西临川一中高考模拟)已知函数f(x)＝ln (3－x)，则不等式f(lg x)>0的解集为________．

答案　(1,100)

解析　因为f(x)＝ln (3－x)，则解得0≤x<3，所以定义域为[0,3)，因为f(x)＝ln (3－x)>0等价于解得0<x<2，因为f(lg x)>0，

所以解得1<x<100，所以解集为(1,100).

5.不等式x2＋8y2≥λy(x＋y)对于任意的x，y∈R恒成立，则实数λ的取值范围为________．

答案　[－8,4]

解析　因为x2＋8y2≥λy(x＋y)对于任意的x，y∈R恒成立，所以x2＋8y2－λy(x＋y)≥0对于任意的x，y∈R恒成立，即x2－λyx＋(8－λ)y2≥0恒成立，

由二次不等式的性质可得，

Δ＝λ2y2＋4(λ－8)y2＝y2(λ2＋4λ－32)≤0，

所以(λ＋8)(λ－4)≤0，解得－8≤λ≤4.