2021届山东高考数学一轮创新教学案：第2章　第9讲　函数模型及其应用

第9讲　函数模型及其应用

1.七类常见函数模型

2.指数、对数、幂函数模型的性质

续表

3.解函数应用问题的步骤

(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型．

(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型．

(3)解模：求解数学模型，得出数学结论．

(4)还原：将数学问题还原为实际问题．

以上过程用框图表示如下：

1.概念辨析

(1)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝xα(α>0)的增长速度．(　　)

(2)指数函数模型，一般用于解决变化较快，短时间内变化量较大的实际问题．(　　)

(3)对数函数增长模型比较适合于描述增长速度平缓的变化规律．(　　)

答案　(1)√　(2)√　(3)√

2.小题热身

(1)(2019·湖北八校联考)有一组试验数据如表所示：

则最能体现这组数据关系的函数模型是(　　)

A.y＝2x＋1－1  B．y＝x2－1

C.y＝2log2x  D．y＝x3

答案　B

解析　根据表中数据可知，能体现这组数据关系的函数模型是y＝x2－1.

(2)物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，某部门为尽快稳定菜价，提出四种绿色运输方案．据预测，这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是(　　)

答案　B

解析　B中，Q的值随t的变化越来越快．故选B.

(3)某市出租汽车的车费计算方式如下：路程在3 km以内(含3 km)为8.00元；达到3 km后，每增加1 km加收1.40元；达到8 km后，每增加1 km加收2.10元．增加不足1 km按四舍五入计算．某乘客乘坐该种出租车交了44.4元车费，则此乘客乘该出租车行驶的路程可以是(　　)

A.22 km  B．24 km

C.26 km  D．28 km

答案　A

解析　设乘客坐车行驶了x km，根据题意，得

8＋(8－3)×1.4＋(x－8)×2.1＝44.4.

8＋7＋2.1x－16.8＝44.4.

2.1x＝46.2，x＝22.

所以，此乘客乘该出租车行驶的路程是22 km.

(4)有一批材料可以建成200 m长的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成的矩形场地的最大面积为________ m2.(围墙厚度不计)

答案　2500

解析　设围成的矩形的长为x m，则宽为 m，

则S＝x·＝(－x2＋200x)

＝－(x－100)2＋2500.

当x＝100时，Smax＝2500 m2.

题型 一　用函数图象刻画变化过程

1．高为H，满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的体积为v，则函数v＝f(h)的大致图象是(　　)

答案　B

解析　当h＝H时，体积为V，故排除A，C；由H→0过程中，减少相同高度的水，水的体积从开始减少的越来越快到越来越慢，故选B.

2．如图，矩形ABCD的周长为8，设AB＝x(1≤x≤3)，线段MN的两端点在矩形的边上滑动，且MN＝1，当N沿A→D→C→B→A在矩形的边上滑动一周时，线段MN的中点P所形成的轨迹为G，记G围成的区域的面积为y，则函数y＝f(x)的图象大致为(　　)

答案　D

解析　由题意可知点P的轨迹为图中虚线所示，其中四个角均是半径为的扇形．

因为矩形ABCD的周长为8，AB＝x，

则AD＝＝4－x，

所以y＝x(4－x)－＝－(x－2)2＋4－(1≤x≤3)，

显然该函数的图象是二次函数图象的一部分，

且当x＝2时，y＝4－∈(3,4)，故选D.

判断函数图象与实际问题中两变量

变化过程相吻合的两种方法

(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象．如举例说明2.

(2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．如举例说明1.

1．(2019·安阳模拟)如图是张大爷晨练时所走的离家距离(y)与行走时间(x)之间的函数关系图，若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是(　　)

答案　C

解析　根据图象可知在第一段时间张大爷离家距离随时间的增加而增加，在第二段时间内，张大爷离家的距离不变，第三段时间内，张大爷离家的距离随时间的增加而减少，最后回到始点位置，对比各选项，只有C正确.

2.一水池有两个进水口，一个出水口，每个水口的进、出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．

给出以下三个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水，则一定正确的是(　　)

A.①  B．①② 

C．①③  D．①②③

答案　A

解析　由甲、乙两图知，进水速度是出水速度的，所以0点到3点不出水，3点到4点也可能一个进水口进水，一个出水口出水，但总蓄水量降低，4点到6点也可能两个进水口进水，一个出水口出水，一定正确的是①.

题型 二　已知函数模型的实际问题

某校学生研究学习小组发现，学生上课的注意力指标随着听课时间的变化而变化，老师讲课开始时，学生的兴趣激增；接下来学生的兴趣将保持较理想的状态一段时间，随后学生的注意力开始分散．设f(t)表示学生注意力指标．

该小组发现f(t)随时间t(分钟)的变化规律(f(t)越大，表明学生的注意力越集中)如下：

f(t)＝(a>0且a≠1)．

若上课后第5分钟时的注意力指标为140，回答下列问题：

(1)求a的值；

(2)上课后第5分钟和下课前第5分钟比较，哪个时间注意力更集中？并请说明理由；

(3)在一节课中，学生的注意力指标至少达到140的时间能保持多长？

解　(1)由题意得，当t＝5时，f(t)＝140，

即100·a－60＝140，解得a＝4.

(2)因为f(5)＝140，f(35)＝－15×35＋640＝115，

所以f(5)>f(35)，

故上课后第5分钟时比下课前第5分钟时注意力更集中．

(3)①当0<t≤10时，由(1)知，f(t)＝100·4－60≥140，解得5≤t≤10；

②当10<t≤20时，f(t)＝340>140恒成立；

③当20<t≤40时，f(t)＝－15t＋640≥140，

解得20<t≤.

综上所述，5≤t≤.

故学生的注意力指标至少达到140的时间能保持

－5＝分钟.

求解所给函数模型解决实际问题的方法

(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．

(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．

(3)利用该模型求解实际问题．

1.某市家庭煤气的使用量x(m3)和煤气费f(x)(元)满足关系f(x)＝已知某家庭2019年前三个月的煤气费如下表：

若四月份该家庭使用了20 m3的煤气，则其煤气费为(　　)

A.11.5元  B．11元 

C．10.5元  D．10元

答案　A

解析　根据题意可知f(4)＝C＝4，f(25)＝C＋B(25－A)＝14，f(35)＝C＋B(35－A)＝19，解得A＝5，B＝，C＝4，所以f(x)＝所以f(20)＝4＋×(20－5)＝11.5，故选A.

2.某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时．

答案　24

解析　由题意得即所以该食品在33 ℃的保鲜时间是y＝e33k＋b＝(e11k)3·eb＝3×192＝24(小时).

题型 三　构建函数模型的实际问题　

角度1　构造一次函数、二次函数模型

1．(2020·商丘二中检测)如图，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE＝4米，CD＝6米．为了合理利用这块钢板，在五边形ABCDE内截取一个矩形BNPM，使点P在边DE上．

(1)设MP＝x米，PN＝y米，将y表示成x的函数，并求该函数的解析式及定义域；

(2)求矩形BNPM面积的最大值．

解　(1)如图，作PQ⊥AF于点Q，所以PQ＝8－y，EQ＝x－4，

在△EDF中，＝，

所以＝，所以y＝－x＋10，定义域为{x|4≤x≤8}．

(2)设矩形BNPM的面积为S，则S(x)＝xy＝x＝－(x－10)2＋50，所以S(x)是关于x的二次函数，且其图象开口向下，对称轴为直线x＝10，所以当x∈[4,8]时，S(x)单调递增，所以当x＝8时，矩形BNPM的面积取得最大值，最大值为48平方米.

角度2　构造指数函数、对数函数模型

2.某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(　　)

(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)

A.2018年  B．2019年 

C．2020年  D．2021年

答案　B

解析　根据题意，知每年投入的研发资金增长的百分率相同，所以从2015年起，每年投入的研发资金组成一个等比数列{an}，其中首项a1＝130，公比q＝1＋12%＝1.12，所以an＝130×1.12n－1.由130×1.12n－1>200，两边同时取对数，得n－1>，又≈＝3.8，则n>4.8，即a5开始超过200，所以2019年投入的研发资金开始超过200万元，故选B.

3.已知一容器中有A，B两种菌，且在任何时刻A，B两种菌的个数乘积均为定值1010，为了简单起见，科学家用PA＝lg nA来记录A菌个数的资料，其中nA为A菌的个数，现有以下几种说法：

①PA≥1；

②若今天的PA值比昨天的PA值增加1，则今天的A菌个数比昨天的A菌个数多10；

③假设科学家将B菌的个数控制为5万，则此时5<PA<5.5(注：lg 2≈0.3)．

则正确的说法为________．(写出所有正确说法的序号)

答案　③

解析　当nA＝1时，PA＝0，故①错误；若PA＝1，则nA＝10，若PA＝2，则nA＝100，故②错误；设B菌的个数为nB＝5×104，∴nA＝＝2×105，∴PA＝lg nA＝lg 2＋5.又lg 2≈0.3，∴5<PA<5.5，即③正确.

角度3　构造分段函数模型

4.某景区提供自行车出租，该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超出6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x(元)只取整数，并且要求租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y(元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分)．

(1)求函数y＝f(x)的解析式；

(2)试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？

解　(1)当x≤6时，y＝50x－115，

令50x－115>0，解得x>2.3，

∵x为整数，∴3≤x≤6，x∈Z.

当x>6时，y＝[50－3(x－6)]x－115＝－3x2＋68x－115.

令－3x2＋68x－115>0，有3x2－68x＋115<0，结合x为整数得6<x≤20，x∈Z.

∴y＝

(2)对于y＝50x－115(3≤x≤6，x∈Z)，

显然当x＝6时，ymax＝185；

对于y＝－3x2＋68x－115

＝－32＋(6<x≤20，x∈Z)，

当x＝11时，ymax＝270.

∵270>185，∴当每辆自行车的日租金定为11元时，才能使一日的净收入最多.

角度4　构造y＝x＋(a>0)型函数

5.某企业每年需要向自来水厂缴纳水费约4万元，为了缓解供水压力，决定安装一个可使用4年的自动污水净化设备，安装这种净水设备的成本费(单位：万元)与管线、主体装置的占地面积(单位：平方米)成正比，比例系数约为0.2.为了保证正常用水，安装后采用净水装置净水和自来水厂供水互补的用水模式．假设在此模式下，安装后该企业每年向自来水厂缴纳的水费C(单位：万元)与安装的这种净水设备的占地面积x(单位：平方米)之间的函数关系是C(x)＝(x≥0，k为常数)．记y为该企业安装这种净水设备的费用与该企业4年共将消耗的水费之和．

(1)试解释C(0)的实际意义，并建立y关于x的函数关系式并化简；

(2)当x为多少平方米时，y取得最小值，最小值是多少万元？

解　(1)C(0)表示不安装设备时每年缴纳的水费为4万元，

∵C(0)＝＝4，∴k＝1000，

∴y＝0.2x＋×4＝0.2x＋(x≥0)．

(2)y＝0.2(x＋5)＋－1≥2－1＝7，当0.2(x＋5)＝，即x＝15时，ymin＝7，故当x为15平方米时，y取得最小值7万元.

1.解函数应用题的一般步骤

第一步：(审题)弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；

第二步：(建模)将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；

第三步：(解模)求解数学模型，得到数学结论；

第四步：(还原)将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义；

第五步：(反思)对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性.

2.建模的基本原则

(1)在实际问题中，若两个变量之间的关系是直线上升或直线下降或图象为直线(或其一部分)，一般构建一次函数模型，利用一次函数的图象与性质求解．

(2)实际问题中的如面积问题、利润问题、产量问题或其图象为抛物线(或抛物线的一部分)等一般选用二次函数模型，根据已知条件确定二次函数解析式．结合二次函数的图象、最值求法、单调性、零点等知识将实际问题解决．

(3)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车计价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解.

1.国家对某行业征税的规定如下：年收入在280万元及以下部分的税率为p%，超过280万元的部分按(p＋2)%征税．有一公司的实际缴税比例为(p＋0.25)%，则该公司的年收入是(　　)

A.560万元  B．420万元 

C．350万元  D．320万元

答案　D

解析　设该公司的年收入为x万元，纳税额为y万元，则由题意得y＝依题有＝(p＋0.25)%，解得x＝320.故选D.

2.(2019·福建三明联考)用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的，要使存留的污垢不超过1%，则至少要洗的次数是(参考数据：lg 2≈0.3010)(　　)

A.3  B．4 

C．5  D．6

答案　B

解析　设至少要洗x次，则x≤，∴x≥≈3.322，因此至少需要洗4次，故选B.

3．某人准备购置一块占地1800平方米的矩形地块，中间建三个矩形温室大棚，大棚周围均是宽为1米的小路(如图阴影部分所示)，大棚占地面积为S平方米，其中a∶b＝1∶2，若要使S最大，则y＝________.

答案　45

解析　由题可得，xy＝1800，b＝2a，则y＝a＋b＋3＝3a＋3，

∴S＝(x－2)a＋(x－3)b

＝(3x－8)a＝(3x－8)

＝1808－3x－y.

解法一：S＝1808－3x－×

＝1808－(x>0)

≤1808－2

＝1808－240＝1568.

当且仅当3x＝，即x＝40时取等号，S取得最大值．

此时y＝＝45.

所以当x＝40，y＝45时，S取得最大值．

解法二：设S＝f(x)＝1808－(x>0)，

f′(x)＝－3＝，

令f′(x)＝0得x＝40，

当0<x<40时，f′(x)>0，

当x>40时，f′(x)<0.

所以当x＝40时，S取得最大值．此时y＝45，

所以当x＝40，y＝45时，S取得最大值.

　组　基础关

1.某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x之间关系的是(　　)

A.y＝100x  B．y＝50x2－50x＋100

C.y＝50×2x  D．y＝100log2x＋100

答案　C

解析　对于A中的函数，当x＝3或4时，误差较大．对于B中的函数，当x＝4时误差较大．对于C中的函数，当x＝1,2,3时，误差为0，x＝4时，误差为10，误差很小．对于D中的函数，当x＝4时，据函数式得到的结果为300，与实际值790相差很远．综上，只有C中的函数误差最小.

2.据统计，每年到鄱阳湖国家湿地公园越冬的白鹤数量y(只)与时间x(年)近似地满足关系y＝alog3(x＋2)，观察发现2014年(作为第1年)到该湿地公园越冬的白鹤数量为3000只，估计到2020年到该湿地公园越冬的白鹤的数量为(　　)

A.4000只  B．5000只

C.6000只  D．7000只

答案　C

解析　当x＝1时，由3000＝alog3(1＋2)，得a＝3000，所以到2020年冬，即第7年，y＝3000×log3(7＋2)＝6000，故选C.

3.如图所示的四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用容器下面所对的图象表示该容器中水面的高度h和时间t之间的关系，其中正确的有(　　)

A.1个  B．2个 

C．3个  D．4个

答案　C

解析　将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，容器中水面的高度h和时间t之间的关系可以从高度随时间的增长速度上反映出来，①中的增长应该是匀速的，故下面的图象不正确；②中的增长速度是越来越慢的，正确；③中的增长速度是先慢后快，正确；④中的增长速度是先快后慢，也正确，故选C.

4.汽车的“燃油效率”，是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程．如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是(　　)

A.消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米

B.以相同速度行驶相同的路程，三辆汽车中，甲车消耗汽油量最多

C.甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油

D.某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该城市用丙车比用乙车更省油

答案　D

解析　根据图象知消耗1升汽油，乙车最多行驶里程大于5千米，故A错误；以相同速度行驶时，甲车燃油效率最高，因此以相同速度行驶相同路程时，甲车消耗汽油最少，故B错误；甲车以80千米/小时的速度行驶时燃油效率为10千米/升，行驶1小时，里程为80千米，消耗8升汽油，故C错误；最高限速80千米/小时，丙车的燃油效率比乙车高，因此相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，故D正确.

5.(2020·泸州诊断)某位股民买入某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了3次涨停(每次上涨10%)又经历了3次跌停(每次下降10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为(　　)

A.略有盈利  B．无法判断盈亏情况

C.没有盈利也没有亏损  D．略有亏损

答案　D

解析　由题意可得(1＋10%)3(1－10%)3＝0.993≈0.97<1.因此该股民这只股票的盈亏情况为略有亏损.

6.(2019·南充模拟)某地区的绿化面积每年平均比上一年增长18%，经过x年后，绿化面积与原绿化面积之比为y，则y＝f(x)的图象大致为(　　)

答案　D

解析　设某地区起始年的绿化面积为a，因为该地区的绿化面积每年平均比上一年增长18%，所以经过x年后，绿化面积g(x)＝a(1＋18%)x，因为绿化面积与原绿化面积的比值为y，则y＝f(x)＝＝(1＋18%)x＝1.18x，因为y＝1.18x为底数大于1的指数函数，故可排除A，C，当x＝0时，y＝1，可排除B，故选D.

7.某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间满足函数关系式y＝3000＋20x－0.1x2(0<x<240，x∈N*)，若每台产品的售价为25万元，所有生产出来的产品都能卖完，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是(　　)

A.100台  B．120台 

C．150台  D．180台

答案　C

解析　设利润为f(x)万元，则f(x)＝25x－(3000＋20x－0.1x2)＝0.1x2＋5x－3000≥0，得x≥150，所以生产者不亏本时的最低产量为150台．故选C.

8.某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为________．

答案　－1

解析　设年平均增长率为x，则(1＋x)2＝(1＋p)(1＋q)，∴x＝－1.

9.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为________m．

答案　20

解析　设矩形花园的宽为y m，则＝，即y＝40－x，矩形花园的面积S＝x(40－x)＝－x2＋40x＝－(x－20)2＋400，当x＝20 m时，面积最大.

10.某地区居民生活用电分高峰和低谷两个时间段进行计价，该地区电网销售电价表如下：

若某家庭5月份的高峰时间段用电量为200千瓦时，低谷时间段用电量为100千瓦时，则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为________元．(用数字作答)

答案　148.4

解析　据题意有0.568×50＋0.598×150＋0.288×50＋0.318×50＝148.4(元).

　组　能力关

1.国家规定个人稿费纳税办法为：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4000元的按超过部分的14%纳税；超过4000元的按全稿酬的11%纳税．若某人共纳税420元，则这个人的稿费为(　　)

A.3000元  B．3800元 

C．3818元  D．5600元

答案　B

解析　由题意可建立纳税额y关于稿费x的函数解析式为y＝显然稿费应为800<x≤4000，则0.14(x－800)＝420，解得x＝3800.

2.物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是T0，经过一定时间t(单位：min)后的温度是T，则T－Ta＝(T0－Ta)，其中Ta称为环境温度，h称为半衰期，现有一杯用85 ℃热水冲的速溶咖啡，放在21 ℃的房间中，如果咖啡降到37 ℃需要16 min，那么这杯咖啡要从37 ℃降到29 ℃，还需要________ min.

答案　8

解析　由题意知Ta＝21 ℃.令T0＝85 ℃，T＝37 ℃，得37－21＝(85－21)·，∴h＝8.令T0＝37 ℃，T＝29 ℃，则29－21＝(37－21)·，∴t＝8.

3.候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v(单位：m/s)与其耗氧量Q之间的关系为：v＝a＋blog3(其中a，b是实数)．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1 m/s.

(1)求出a，b的值；

(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s，则其耗氧量至少要多少个单位？

解　(1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s，此时耗氧量为30个单位，

故有a＋blog3＝0，即a＋b＝0.

当耗氧量为90个单位时，速度为1 m/s，

故a＋blog3＝1，整理得a＋2b＝1.

解方程组得

(2)由(1)知，v＝a＋blog3＝－1＋log3.

所以要使飞行速度不低于2 m/s，则有v≥2，

所以－1＋log3≥2，

即log3≥3，解得≥27，即Q≥270.

所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s，则其耗氧量至少要270个单位.

　组　素养关

1.(2019·江西七校联考)食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P、种黄瓜的年收入Q与投入a(单位：万元)满足P＝80＋4，Q＝a＋120.设甲大棚的投入为x(单位：万元)，每年两个大棚的总收入为f(x)(单位：万元)．

(1)求f(50)的值；

(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收入f(x)最大？

解　(1)若投入甲大棚50万元，则投入乙大棚150万元，

所以f(50)＝80＋4＋×150＋120＝277.5.

(2)由题知，f(x)＝80＋4＋(200－x)＋120＝－x＋4＋250，

依题意得解得20≤x≤180，

故f(x)＝－x＋4＋250(20≤x≤180)．

令t＝，则t2＝x，t∈[2，6]，

y＝－t2＋4t＋250＝－(t－8)2＋282，

当t＝8，即x＝128时，y取得最大值282，所以投入甲大棚128万元，乙大棚72万元时，总收入最大，且最大收入为282万元.

2.某公司为了实现2020年销售利润1000万元的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：从销售利润达到10万元开始，按销售利润进行奖励，且奖金数额y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金数额不超过5万元，同时奖金数额不超过销售利润的25%.现有三个奖励模型：y＝0.025x，y＝1.003x，y＝ln x＋1，问其中是否有模型能完全符合公司的要求？请说明理由．

(参考数据：1.003538≈5，e＝2.71828……，e8≈2981)

解　由题意，符合公司要求的模型需同时满足：当x∈[10,1000]时，①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y≤x·25%.

(1)对于y＝0.025x，易知满足①，但当x>200时，y>5，不满足公司的要求．

(2)对于y＝1.003x，易知满足①，但当x>538时，y>5，不满足公司的要求．

(3)对于y＝ln x＋1，易知满足①.

当x∈[10,1000]时，y≤ln 1000＋1.

下面证明ln 1000＋1<5.

因为ln 1000＋1－5＝ln 1000－4＝(ln 1000－8)

≈(ln 1000－ln 2981)<0，满足②.

再证明ln x＋1≤x·25%，即2ln x＋4－x≤0.

设F(x)＝2ln x＋4－x，

则F′(x)＝－1＝<0，x∈[10,1000]，

所以F(x)在[10,1000]上为减函数，

F(x)max＝F(10)＝2ln 10＋4－10＝2ln 10－6＝2(ln 10－3)<0，满足③.

综上，奖励模型y＝ln x＋1能完全符合公司的要求.