2021版高考数学苏教版一轮教师用书：8.2两条直线的位置关系

第二节　两条直线的位置关系

[最新考纲]　1.能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两平行直线间的距离．

1．两条直线平行与垂直的判定

(1)两条直线平行

①对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.

②当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.

(2)两条直线垂直

①如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.

②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2.

2．两条直线的交点的求法

直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，则l1与l2的交点坐标就是方程组的解．

3．三种距离公式

(1)平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝.

特别地，原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝.

(2)点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝.

(3)两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离为d＝.

由一般式方程确定两直线位置关系的方法

一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2. (　　)

(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.

  (　　)

(3) 若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交．

  (　　)

(4) 直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．  (　　)

[答案](1)×　(2)×　(3) √　(4)√

二、教材改编

1．已知点(a,2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a等于(　　)

A.　　B．2－　　C.－1　　D.＋1

C　[由题意得＝1，即|a＋1|＝，

又a>0，∴a＝－1.]

2．已知P(－2，m)，Q(m,4)，且直线PQ垂直于直线x＋y＋1＝0，则m＝        .

1　[由题意知＝1，所以m－4＝－2－m，

所以m＝1.]

3．若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋2y＋5＝0相交于同一点，则m的值为        ．

－9　[由得

所以点(1,2)满足方程mx＋2y＋5＝0，

即m×1＋2×2＋5＝0，所以m＝－9.]

4．已知直线3x＋4y－3＝0与直线6x＋my＋14＝0平行，则它们之间的距离是        ．

2　[由两直线平行可知＝，即m＝8.

∴两直线方程分别为3x＋4y－3＝0和3x＋4y＋7＝0，

则它们之间的距离d＝＝2.]

考点1　两条直线的位置关系

　解决两直线平行与垂直的参数问题要“前思后想”

　1.设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的(　　)

A．充分不必要条件　　　 B．必要不充分条件

C．充要条件   D．既不充分也不必要条件

A　[当a＝1时，显然l1∥l2，

若l1∥l2，则a(a＋1)－2×1＝0，

所以a＝1或a＝－2.

所以a＝1是直线l1与直线l2平行的充分不必要条件．]

2．若直线l1：(a－1)x＋y－1＝0和直线l2：3x＋ay＋2＝0垂直，则实数a的值为(　　)

A.   B.

C.   D.

D　[由已知得3(a－1)＋a＝0，解得a＝.]

3．已知三条直线l1：2x－3y＋1＝0，l2：4x＋3y＋5＝0，l3：mx－y－1＝0不能构成三角形，则实数m的取值集合为(　　)

A.   B.

C.   D.

D　[∵三条直线不能构成一个三角形，

∴①当l1∥l3时，m＝；

②当l2∥l3时，m＝－；

③当l1，l2，l3交于一点时，也不能构成一个三角形，

由得交点为，代入mx－y－1＝0，得m＝－.故选D.]

　直接运用“直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0平行与垂直的充要条件解题”可有效避免不必要的参数讨论．

考点2　两条直线的交点与距离问题

(1)求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．

(2)点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件

①求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式．

②求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等．

 (1)求经过两条直线l1：x＋y－4＝0和l2：x－y＋2＝0的交点，且与直线2x－y－1＝0垂直的直线方程为         

(2)直线l过点P(－1,2)且到点A(2,3)和点B(－4,5)的距离相等，则直线l的方程为        ．

(1)x＋2y－7＝0　(2)x＋3y－5＝0或x＝－1　[(1)由得∴l1与l2的交点坐标为(1,3)．

设与直线2x－y－1＝0垂直的直线方程为x＋2y＋c＝0，

则1＋2×3＋c＝0，∴c＝－7.

∴所求直线方程为x＋2y－7＝0.

(2)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.

由题意知＝，

即|3k－1|＝|－3k－3|，∴k＝－，

∴直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋3y－5＝0.

当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－1，也符合题意．]

 　1.直线系方程的常见类型

(1)过定点P(x0，y0)的直线系方程是：y－y0＝k(x－x0)(k是参数，直线系中未包括直线x＝x0)，也就是平常所提到的直线的点斜式方程；

(2)平行于已知直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程是：Ax＋By＋λ＝0(λ是参数且λ≠C)；

(3)垂直于已知直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程是：Bx－Ay＋λ＝0(λ是参数)；

(4)过两条已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程是：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R，但不包括l2)．

2．动点到两定点距离相等，一般不直接利用两点间距离公式处理，而是转化为动点在以两定点为端点的线段的垂直平分线上，从而简化计算．

[教师备选例题]

1．已知三角形三边所在的直线方程分别为：2x－y＋4＝0，x＋y－7＝0,2x－7y－14＝0，求边2x－7y－14＝0上的高所在的直线方程．

[解]　设所求高所在的直线方程为2x－y＋4＋λ(x＋y－7)＝0，即(2＋λ)x＋(λ－1)y＋(4－7λ)＝0，

可得(2＋λ)×2＋(λ－1)×(－7)＝0，

解得λ＝，

所以所求高所在的直线方程为7x＋2y－19＝0.

2．求过直线2x＋7y－4＝0与7x－21y－1＝0的交点，且和A(－3,1)，B(5,7)等距离的直线方程．

[解]　设所求直线方程为2x＋7y－4＋λ(7x－21y－1)＝0，

即(2＋7λ)x＋(7－21λ)y＋(－4－λ)＝0，

由点A(－3,1)，B(5,7)到所求直线等距离，可得

＝，

整理可得|43λ＋3|＝|113λ－55|，解得λ＝或λ＝，

所以所求的直线方程为21x－28y－13＝0或x＝1.

　1.当0<k<时，直线l1：kx－y＝k－1与直线l2：ky－x＝2k的交点在(　　)

A．第一象限　　　　　 B．第二象限

C．第三象限    D．第四象限

B　[由得

又∵0<k<，∴x＝<0，y＝>0，故直线l1：kx－y＝k－1与直线l2：ky－x＝2k的交点在第二象限．]

2．若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为(　　)

A.   B.

C.   D.

C　[因为＝≠－，所以两直线平行，将直线3x＋4y－12＝0化为6x＋8y－24＝0，由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，即＝，所以|PQ|的最小值为.]

考点3　对称问题

　中心对称问题

　中心对称问题的解法

(1)点关于点：点P(x，y)关于点Q(a，b)的对称点P′(x′，y′)满足

(2)线关于点：直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决．

 　过点P(0,1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为        ．

x＋4y－4＝0　[设l1与l的交点为A(a,8－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a,2a－6)在l2上，代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4,0)在直线l上，所以直线l的方程为x＋4y－4＝0.]

　点关于点的对称问题常常转化为中心对称问题，利用中点坐标公式求解．

　若直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2,1)对称，则直线l2恒过定点(　　)

A．(0,4)   B．(0,2)

C．(－2,4)   D．(4，－2)

B　[直线l1：y＝k(x－4)恒过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)．又由于直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2,1)对称，故直线l2恒过定点(0,2)．]

　轴对称问题

　轴对称问题的解法

(1)点关于线：点A(a，b)关于直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点A′(m，n)，

则有

(2)线关于线：直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．

 (1)已知直线y＝2x是△ABC中角C的平分线所在的直线，若点A，B的坐标分别是(－4,2)，(3,1)，则点C的坐标为(　　)

A．(－2,4)   B．(－2，－4)

C．(2,4)   D．(2，－4)

(2)已知入射光线经过点M(－3,4)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(2,6)，则反射光线所在直线的方程为        ．

(1)C　(2)6x－y－6＝0　[(1)设A(－4,2)关于直线y＝2x的对称点为(x，y)，则

解得∴BC所在直线方程为y－1＝(x－3)，即3x＋y－10＝0.联立解得则C(2,4)．

(2)设点M(－3,4)关于直线l：x－y＋3＝0的对称点为M′(a，b)，则反射光线所在直线过点M′，

所以解得a＝1，b＝0.即M ′(1,0)．

又反射光线经过点N(2,6)，

所以所求直线的方程为＝，

即6x－y－6＝0.]

　在求对称点时，关键是抓住两点：一是两对称点的连线与对称轴垂直；二是两对称点的中心在对称轴上，即抓住“垂直平分”，由“垂直”列出一个方程，由“平分”列出一个方程，联立求解．

　1.若将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m，n)重合，则m＋n＝        .

　[由题意可知纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y＝2x－3，它也是点(7,3)与点(m，n)连线的中垂线，于是

解得

故m＋n＝.]

2．已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：

(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；

(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程；

(3)直线l关于点A对称的直线l′的方程．

[解](1)设A′(x，y)，

则解得即A′.

(2)在直线m上取一点，如M(2,0)，则M(2,0)关于直线l的对称点必在m′上．

设对称点为M′(a，b)，则

解得即M′.

设m与l的交点为N，则由得N(4,3)．

又m′经过点N(4,3)，

∴由两点式得直线m′的方程为9x－46y＋102＝0.

(3)法一：在l：2x－3y＋1＝0上任取两点，如P(1,1)，N(4,3)，则P，N关于点A的对称点P′，N′均在直线l′上．

易知P′(－3，－5)，N′(－6，－7)，由两点式可得l′的方程为2x－3y－9＝0.

法二：设Q(x，y)为l′上任意一点，

则Q(x，y)关于点A(－1，－2)的对称点为Q′(－2－x，－4－y)，

∵Q′在直线l上，∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，

即2x－3y－9＝0.