2021版新高考数学一轮教师用书：第6章第3节 等比数列及其前n项和
展开第三节 等比数列及其前n项和
[考点要求] 1.理解等比数列的概念．2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式．3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等比数列与指数函数的关系．
(对应学生用书第106页)
1．等比数列的有关概念
(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的数学表达式为＝q(n∈N*，q为非零常数).
(2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即G是a与b的等比中项⇒a，G，b成等比数列⇒G2＝ab．
2．等比数列的有关公式
(1)通项公式：an＝a1qn－1＝amqn－m.
(2)前n项和公式：
Sn＝
等比数列的常用性质
1．在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则am·an＝ap·aq＝a．
2．若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，，{a}，{an·bn}，仍然是等比数列．
3．等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn，其中当公比为－1时，n为偶数时除外．
一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)满足an＋1＝qan(n∈N*，q为常数)的数列{an}为等比数列．( )
(2)G为a，b的等比中项⇔G2＝ab.( )
(3)若{an}为等比数列，bn＝a2n－1＋a2n，则数列{bn}也是等比数列．( )
(4)数列{an}的通项公式是an＝an，则其前n项和为Sn＝.( )
(5)数列{an}为等比数列，则S4，S8－S4，S12－S8成等比数列．( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)× (5)×
二、教材改编
1．在等比数列{an}中，a3＝2，a7＝8，则a5等于( )
A．5 B．±5 C．4 D．±4
C [∵a＝a3a7＝2×8＝16，∴a5＝±4.
又∵a5＝a3q2＞0，∴a5＝4.]
2．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1＝( )
A． B．－ C． D．－
C [∵S3＝a2＋10a1，∴a1＋a2＋a3＝a2＋10a1，∴a3＝9a1，即公比q2＝9，又a5＝a1q4，∴a1＝＝＝.故选C.]
3．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和．若Sn＝126，则n＝________．
6 [∵a1＝2，an＋1＝2an，
∴数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列．
又∵Sn＝126，∴＝126，
解得n＝6.]
4．一种专门占据内存的计算机病毒开机时占据内存1 MB，然后每3秒自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机________秒，该病毒占据内存8 GB(1 GB＝210 MB).
39 [由题意可知，病毒每复制一次所占内存的大小构成一等比数列{an}，
且a1＝2，q＝2，∴an＝2n，
则2n＝8×210＝213，∴n＝13.
即病毒共复制了13次．
∴所需时间为13×3＝39(秒).]
(对应学生用书第106页)
考点1 等比数列的基本运算
等比数列基本量运算的解题策略
(1)等比数列的通项公式与前n项和公式共涉及五个量a1，an，q，n，Sn，已知其中三个就能求另外两个(简称“知三求二”).
(2)运用等比数列的前n项和公式时，注意分q＝1和q≠1两类分别讨论．
1.设Sn为等比数列{an}的前n项和，已知3S3＝a4－2，3S2＝a3－2，则公比q＝( )
A．3 B．4 C．5 D．6
B [因为3S3＝a4－2，3S2＝a3－2，所以两式相减，得3(S3－S2)＝(a4－2)－(a3－2)，
即3a3＝a4－a3，
得a4＝4a3，所以q＝＝4.]
2．(2019·全国卷Ⅰ)记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a1＝，a＝a6，则S5＝________．
[设等比数列的公比为q，由已知a1＝，a＝a6，所以＝q5，又q≠0，所以q＝3，所以S5＝＝＝.]
3．等比数列{an}的各项均为实数，其前n项和为Sn，已知a3＝，S3＝，则a2＝________．
－3或 [法一：(直接法)∵数列{an}是等比数列，
∴当q＝1时，a1＝a2＝a3＝，显然S3＝3a3＝.
当q≠1时，由题意可知
解得q＝－或q＝1(舍去).
∴a2＝＝×(－2)＝－3.
综上可知a2＝－3或.
法二：(优解法)由a3＝得a1＋a2＝3.
∴＋＝3，
即2q2－q－1＝0，
∴q＝－或q＝1.
∴a2＝＝－3或.]
4．(2018·全国卷Ⅲ)等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3.
(1)求{an}的通项公式；
(2)记Sn为{an}的前n项和，若Sm＝63，求m.
[解] (1)设{an}的公比为q，由题设得an＝qn－1.
由已知得q4＝4q2，
解得q＝0(舍去)，q＝－2或q＝2.
故an＝(－2)n－1或an＝2n－1(n∈N＋).
(2)若an＝(－2)n－1，则Sn＝.
由Sm＝63得(－2)m＝－188，
此方程没有正整数解．
若an＝2n－1，则Sn＝2n－1.
由Sm＝63得2m＝64，解得m＝6.
综上，m＝6.
抓住基本量a1, q，借用方程思想求解是解答此类问题的关键，求解中要注意方法的择优．
考点2 等比数列的判定与证明
判定一个数列为等比数列的常见方法
(1)定义法：若＝q(q是不为零的常数)，则数列{an}是等比数列；
(2)等比中项法：若a＝anan＋2(n∈N＋，an≠0)，则数列{an}是等比数列；
(3)通项公式法：若an＝Aqn－1(A，q是不为零的常数)，则数列{an}是等比数列．
设数列{an}中，a1＝1，a2＝，an＋2＝an＋1－an，令bn＝an＋1－an(n∈N*)
(1)证明：数列{bn}是等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
[解] (1)∵an＋2＝an＋1－an，
∴an＋2－an＋1＝(an＋1－an)，而bn＝an＋1－an，
∴bn＋1＝bn，又b1＝a2－a1＝，
∴{bn}是首项为，公比为的等比数列．
(2)由(1)知bn＝×＝，
∴an－an－1＝，
∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝1＋＋＋…＋＝＝3－3·.
[逆向问题] 已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－3n(n∈N*).
(1)求a1，a2，a3的值；
(2)是否存在常数λ，使得{an＋λ}为等比数列？若存在，求出λ的值和通项公式an，若不存在，请说明理由．
[解] (1)当n＝1时，S1＝a1＝2a1－3，解得a1＝3，
当n＝2时，S2＝a1＋a2＝2a2－6，解得a2＝9，
当n＝3时，S3＝a1＋a2＋a3＝2a3－9，解得a3＝21.
(2)假设{an＋λ}是等比数列，则(a2＋λ)2＝(a1＋λ)(a3＋λ)，
即(9＋λ)2＝(3＋λ)(21＋λ)，解得λ＝3.
下面证明{an＋3}为等比数列：
∵Sn＝2an－3n，∴Sn＋1＝2an＋1－3n－3，
∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝2an＋1－2an－3，即2an＋3＝an＋1，
∴2(an＋3)＝an＋1＋3，∴＝2，
∴存在λ＝3，使得数列{an＋3}是首项为a1＋3＝6，公比为2的等比数列．
∴an＋3＝6×2n－1，即an＝3(2n－1)(n∈N*).
(1)证明一个数列为等比数列常用定义法与通项公式法，其他方法只用于选择、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可．
(2)已知等比数列求参数的值，常采用特殊到一般的方法求解，如本例的逆向问题．
[教师备选例题]
设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2.
(1)设bn＝an＋1－2an，证明：数列{bn}是等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
[解] (1)证明：由a1＝1及Sn＋1＝4an＋2，
有a1＋a2＝S2＝4a1＋2.
∴a2＝5，∴b1＝a2－2a1＝3.
又
①－②，得an＋1＝4an－4an－1(n≥2)，
∴an＋1－2an＝2(an－2an－1)(n≥2).
∵bn＝an＋1－2an，∴bn＝2bn－1(n≥2)，
故{bn}是首项为3，公比为2的等比数列．
(2)由(1)知bn＝an＋1－2an＝3·2n－1，
∴－＝，
故是首项为，公差为的等差数列．
∴＝＋(n－1)·＝，
故an＝(3n－1)·2n－2.
(2019·全国卷Ⅱ)已知数列{an}和{bn}满足a1＝1，b1＝0，4an＋1＝3an－bn＋4，4bn＋1＝3bn－an－4.
(1)证明：{an＋bn}是等比数列，{an－bn}是等差数列；
(2)求{an}和{bn}的通项公式．
[解] (1)证明：由题设得4(an＋1＋bn＋1)＝2(an＋bn)，即an＋1＋bn＋1＝(an＋bn).
又因为a1＋b1＝1，所以{an＋bn}是首项为1，公比为的等比数列．
由题设得4(an＋1－bn＋1)＝4(an－bn)＋8，即an＋1－bn＋1＝an－bn＋2.
又因为a1－b1＝1，所以{an－bn}是首项为1，公差为2的等差数列．
(2)由(1)知，an＋bn＝，an－bn＝2n－1.
所以an＝[(an＋bn)＋(an－bn)]＝＋n－，
bn＝[(an＋bn)－(an－bn)]＝－n＋.
考点3 等比数列性质的应用
等比数列性质的应用可以分为3类
(1)通项公式的变形．
(2)等比中项的变形．
(3)前n项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．
(1)[一题多解]已知数列{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10等于( )
A．7 B．5 C．－5 D．－7
(2)设Sn是等比数列{an}的前n项和，若＝3，则＝( )
A．2 B． C． D．1或2
(3)已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________．
(1)D (2)B (3)2 [(1)法一：(基本量法)设数列{an}的公比为q，
则由题意得
所以或
所以a1＋a10＝a1(1＋q9)＝－7.
法二：(性质法)由
解得或
所以或
所以a1＋a10＝a1(1＋q9)＝－7.
(2)设S2＝k，S4＝3k，∵数列{an}为等比数列，∴S2，S4－S2，S6－S4也为等比数列，又S2＝k，S4－S2＝2k，
∴S6－S4＝4k，
∴S6＝7k，∴＝＝，故选B.
(3)由题意，得
解得
所以q＝＝＝2.]
在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，特别关注项an或和Sn的下角标数字间的内在关系，活用性质，减少运算量，提高解题速度．
[教师备选例题]
数列{an}是一个项数为偶数的等比数列，所有项之和是偶数项之和的4倍，前三项之积为64，则此数列的通项公式an＝________.
12× [设此数列{an}的公比为q，由题意，知S奇＋S偶＝4S偶，
所以S奇＝3S偶，所以q＝＝.
又a1a2a3＝64，即a1(a1q)(a1q2)＝aq3＝64，
所以a1q＝4.又q＝，所以a1＝12，所以an＝a1qn－1＝12×.]
1.已知数列{an}是等比数列，若a2＝1，a5＝，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1(n∈N＋)的最小值为( )
A． B．1 C．2 D．3
C [由已知得数列{an}的公比满足q3＝＝，
解得q＝，∴a1＝2，a3＝，故数列{anan＋1}是以2为首项，公比为＝的等比数列，
∴a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝
＝∈，故选C.]
2．等比数列{an}满足an＞0，且a2a8＝4，则log2a1＋log2a2＋log2a3＋…＋log2a9＝________．
9 [由题意可得a2a8＝a＝4，a5＞0，所以a5＝2，则原式＝log2(a1a2…a9)＝9log2a5＝9.]
