2021高三人教B版数学一轮（经典版）教师用书：第6章第3讲　等比数列及其前n项和

第3讲　等比数列及其前n项和

基础知识整合

1．等比数列的有关概念

(1)定义

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为＝q.

(2)等比中项

如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，即G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G2＝ab(ab≠0)．

2．等比数列的有关公式

(1)通项公式：an＝a1qn－1.

(2)前n项和公式：

Sn＝

等比数列的常用性质

(1)通项公式的推广：an＝am·qn－m(n，m∈N*)．

(2)若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则am·an＝ap·aq＝a.

(3)若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}，，{a}，{an·bn}，(λ≠0)仍然是等比数列．

(4)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk.

(5)a1a2a3…am，am＋1am＋2…a2m，a2m＋1a2m＋2…a3m，…成等比数列(m∈N*)．

(6)若等比数列的项数为2n(n∈N*)，公比为q，奇数项之和为S奇，偶数项之和为S偶，则＝q.

(7)公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn.

(8)等比数列{an}满足或时，{an}是递增数列；满足或时，{an}是递减数列．

1．(2019·全国卷Ⅲ)已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15，且a5＝3a3＋4a1，则a3＝(　　)

A．16  B．8

C．4  D．2

答案　C

解析　由题意知

解得∴a3＝a1q2＝4.故选C.

2．(2019·广西柳州模拟)设等比数列{an}中，公比q＝2，前n项和为Sn，则的值为(　　)

A.  B.

C.  D.

答案　A

解析　S4＝＝15a1，a3＝a1q2＝4a1，∴＝.故选A.

3．若等比数列{an}满足anan＋1＝16n，则公比为(　　)

A．2  B．4

C．8  D．16

答案　B

解析　由anan＋1＝16n，得an＋1·an＋2＝16n＋1.两式相除得，＝＝16，∴q2＝16.∵anan＋1＝16n，可知公比为正数，∴q＝4.

4．(2019·长春模拟)设数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差数列，且a2＝－2，则a7＝(　　)

A．16  B．32

C．64  D．128

答案　C

解析　由题意得Sn＋2＋Sn＋1＝2Sn，得an＋2＋an＋1＋an＋1＝0，即an＋2＝－2an＋1，∴{an}从第二项起是公比为－2的等比数列，∴a7＝a2q5＝64.故选C.

5．已知{an}是等比数列，且an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，那么a3＋a5的值为(　　)

A．5  B．10

C．15  D．20

答案　A

解析　根据等比数列的性质，得a2a4＝a，a4a6＝a，

∴a2a4＋2a3a5＋a4a6＝a＋2a3a5＋a＝(a3＋a5)2.

而a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，∴(a3＋a5)2＝25，

∵an>0，∴a3＋a5＝5.

6．(2019·全国卷Ⅰ)设Sn为等比数列{an}的前n项和．若a1＝，a＝a6，则S5＝________.

答案　

解析　由a＝a6，得(a1q3)2＝a1q5，整理得q＝＝3.∴S5＝＝.

核心考向突破

考向一　等比数列的基本运算　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

例1　(1)(2019·汕头模拟)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，S3＝3a1＋a2，则＝(　　)

A．2  B．3

C．4  D．5

答案　B

解析　设等比数列的公比为q，由题意a1＋a2＋a3＝3a1＋a2得a3＝2a1(a1≠0)，∴q2＝＝2，∴＝＝1＋q2＝3.故选B.

(2)(2018·全国卷Ⅲ)等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3.

①求{an}的通项公式；

②记Sn为{an}的前n项和．若Sm＝63，求m.

解　①设{an}的公比为q，由题设得an＝qn－1.

由已知得q4＝4q2，解得q＝0(舍去)，q＝－2或q＝2.

故an＝(－2)n－1或an＝2n－1.

②若an＝(－2)n－1，则Sn＝.

由Sm＝63得(－2)m＝－188，此方程没有正整数解．

若an＝2n－1，则Sn＝2n－1.

由Sm＝63得2m＝64，解得m＝6.

综上，m＝6.

解决等比数列有关问题的常用思想方法

(1)方程的思想：等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a1和q，问题可迎刃而解．

(2)分类讨论的思想：等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，数列{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，数列{an}的前n项和Sn＝＝.

[即时训练]　1.等比数列{an}中，a1＋a3＝10，a2＋a4＝30，则数列{an}的前5项和S5＝(　　)

A．81  B．90

C．100  D．121

答案　D

解析　∵等比数列{an}中，a1＋a3＝10，a2＋a4＝30，

∴公比q＝＝＝3，∴a1＋9a1＝10，解得a1＝1，∴数列{an}的前5项和S5＝＝121.故选D.

2．(2019·全国卷Ⅰ)记Sn为等比数列{an}的前n项和，若a1＝1，S3＝，则S4＝________.

答案　

解析　设等比数列的公比为q，又a1＝1，则an＝a1qn－1＝qn－1.

∵S3＝，∴a1＋a2＋a3＝1＋q＋q2＝，

即4q2＋4q＋1＝0，∴q＝－，

∴S4＝＝.

3．(2019·安徽皖江名校联考)已知Sn是各项均为正数的等比数列{an}的前n项和，若a2·a4＝16，S3＝7，则a8＝________.

答案　128

解析　∵a2·a4＝a＝16，∴a3＝4(负值舍去)，

∵a3＝a1q2＝4，S3＝7，∴q≠1，S2＝＝＝3，∴3q2－4q－4＝0，解得q＝－或q＝2，∵an>0，∴q＝－舍去，∴q＝2，∴a1＝1，

∴a8＝27＝128.

精准设计考向，多角度探究突破

考向二　等比数列的性质

角度1　　等比数列项的性质　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

例2　(1)(2019·四川绵阳模拟)等比数列{an}的各项均为正数，且a1＋2a2＝4，a＝4a3a7，则a5＝(　　)

A.  B.

C．20  D．40

答案　B

解析　设等比数列的公比为q.由a＝4a3a7，得a＝4a，所以q2＝2＝，解得q＝±.又因为数列的各项均为正数，所以q＝.又因为a1＋2a2＝4，所以a1＋2a1q＝a1＋2a1×＝4，解得a1＝2，所以a5＝a1q4＝2×4＝.故选B.

(2)在等比数列{an}中，公比q>1，a1＋am＝17，a2am－1＝16，且前m项和Sm＝31，则项数m＝________.

答案　5

解析　由等比数列的性质知a1am＝a2am－1＝16，又因为a1＋am＝17，q>1，所以a1＝1，am＝16，Sm＝＝＝＝31，解得q＝2，am＝a1qm－1＝2m－1＝16.所以m＝5.

在等比数列的基本运算问题中，一般是利用通项公式与前n项和公式，建立方程组求解，但如果灵活运用等比数列的性质“若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则有aman＝apaq”，则可减少运算量，解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．

[即时训练]　4.(2019·福建三明模拟)已知数列{an}是各项均为正值的等比数列，且a4a12＋a3a5＝15，a4a8＝5，则a4＋a8＝(　　)

A．15  B.

C．5  D．25

答案　C

解析　∵a4a12＋a3a5＝15，∴a＋a＝15，又a4a8＝5，∴(a4＋a8)2＝a＋a＋2a4a8＝25，又a4＋a8>0，∴a4＋a8＝5.故选C.

5．已知等比数列{an}的前n项积为Tn，若a1＝－24，a4＝－，则当Tn取最大值时，n的值为(　　)

A．2  B．3

C．4  D．6

答案　C

解析　等比数列{an}的前n项积为Tn，

由a1＝－24，a4＝－，

可得q3＝＝，解得q＝，

∴Tn＝a1a2a3…an＝(－24)n·q1＋2＋…＋(n－1)

＝(－24)n·n(n－1)，当Tn取最大值时，可得n为偶数，当n＝2时，T2＝(－24)2·＝192；当n＝4时，T4＝(－24)4·6＝；当n＝6时，T6＝(－24)6·15＝，则T6<T2<T4，又当n>6，且n为偶数时，Tn<T6，故n＝4时，Tn取最大值．故选C.

角度2　　等比数列前n项和的性质

例3　(1)已知各项都是正数的等比数列{an}，Sn为其前n项和，且S3＝10，S9＝70，那么S12＝(　　)

A．150  B．－200

C．150或－200  D．400或－50

答案　A

解析　解法一：由等比数列的性质知S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9是等比数列，∴(S6－10)2＝10(70－S6)，解得S6＝30或－20(舍去)，又(S9－S6)2＝(S6－S3)·(S12－S9)，即402＝20(S12－70)，解得S12＝150.故选A.

解法二：设等比数列的前n项和为Sn＝A－Aqn，则两式相除得1＋q3＋q6＝7，解得q3＝2或－3(舍去)，∴A＝－10.∴S12＝A(1－q12)＝－10×(1－24)＝150.故选A.

(2)已知等比数列{an}的前10项中，所有奇数项之和为85，所有偶数项之和为170，则S＝a3＋a6＋a9＋a12的值为________．

答案　585

解析　设公比为q，由

得∴S＝a3＋a6＋a9＋a12＝a3(1＋q3＋q6＋q9)＝a1q2(1＋q3)(1＋q6)＝585.

(1)等比数列前n项和的性质主要是若Sn≠0，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列．

(2)注意等比数列前n项和公式的变形．当q≠1时，Sn＝＝－·qn，即Sn＝A－Aqn(q≠1)．

(3)利用等比数列的性质可以减少运算量，提高解题速度．解题时，根据题目条件，分析具体的变化特征，即可找到解决问题的突破口．

[即时训练]　6.(2019·云南玉溪模拟)等比数列{an}中，公比q＝2，a1＋a4＋a7＋…＋a97＝11，则数列{an}的前99项的和S99＝(　　)

A．99  B．88

C．77  D．66

答案　C

解析　解法一：由等比数列的性质知a1，a4，a7，…，a97是等比数列且其公比为q3＝8，∴＝11，

∴a1(1－299)＝－77，∴S99＝＝77.故选C.

解法二：令S0＝a1＋a4＋a7＋…＋a97＝11，S′＝a2＋a5＋a8＋…＋a98，S″＝a3＋a6＋a9＋…＋a99.由数列{an}为等比数列，q＝2易知S0，S′，S″成等比数列且公比为2，则S′＝2S0＝22，S″＝2S′＝44，所以S99＝S0＋S′＋S″＝11＋22＋44＝77.故选C.

7．各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2，S3n＝14，则S4n等于(　　)

A．80  B．30

C．26  D．16

答案　B

解析　由题意知公比大于0，由等比数列的性质知Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n，…仍为等比数列．

设S2n＝x，则2，x－2,14－x成等比数列．则(x－2)2＝2×(14－x)，解得x＝6或x＝－4(舍去)．

∴Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n，…是首项为2，公比为2的等比数列．又S3n＝14，∴S4n＝14＋2×23＝30.故选B.

考向三　等比数列的判定与证明　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

例4　(1)(2018·全国卷Ⅰ)已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an，设bn＝.

①求b1，b2，b3；

②判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由；

③求{an}的通项公式．

解　①由条件可得an＋1＝an.

将n＝1代入，得a2＝4a1，而a1＝1，所以a2＝4.

将n＝2代入，得a3＝3a2，所以a3＝12.

从而b1＝1，b2＝2，b3＝4.

②{bn}是首项为1，公比为2的等比数列．由题设条件可得＝，即bn＋1＝2bn，又b1＝1，所以{bn}是首项为1，公比为2的等比数列．

③由②可得＝2n－1，所以an＝n·2n－1.

(2)(2019·安徽江南十校联考)已知Sn是数列{an}的前n项和，且满足Sn－2an＝n－4.

①证明：{Sn－n＋2}为等比数列；

②求数列{Sn}的前n项和Tn.

解　①证明：当n＝1时，a1＝S1，S1－2a1＝1－4，解得a1＝3.

由Sn－2an＝n－4可得Sn－2(Sn－Sn－1)＝n－4(n≥2)，即Sn＝2Sn－1－n＋4，所以Sn－n＋2＝2[Sn－1－(n－1)＋2]．

因为S1－1＋2＝4，所以{Sn－n＋2}是首项为4，公比为2的等比数列．

②由①知Sn－n＋2＝2n＋1，所以Sn＝2n＋1＋n－2，

于是Tn＝(22＋23＋…＋2n＋1)＋(1＋2＋…＋n)－2n＝＋－2n＝.

判定一个数列为等比数列的常用方法

(1)定义法：若＝q(q是常数)，则数列{an}是等比数列．

(2)等比中项法：若a＝anan＋2(n∈N*)，则数列{an}是等比数列．

(3)通项公式法：若an＝Aqn(A，q为常数)，则数列{an}是等比数列．

[即时训练]　8.(2019·全国卷Ⅱ)已知数列{an}和{bn}满足a1＝1，b1＝0,4an＋1＝3an－bn＋4，4bn＋1＝3bn－an－4.

(1)证明：{an＋bn}是等比数列，{an－bn}是等差数列；

(2)求{an}和{bn}的通项公式．

解　(1)证明：由题设得4(an＋1＋bn＋1)＝2(an＋bn)，即an＋1＋bn＋1＝(an＋bn)．

又因为a1＋b1＝1，

所以{an＋bn}是首项为1，公比为的等比数列．

由题设得4(an＋1－bn＋1)＝4(an－bn)＋8，

即an＋1－bn＋1＝an－bn＋2.

又因为a1－b1＝1，

所以{an－bn}是首项为1，公差为2的等差数列．

(2)由(1)知，an＋bn＝，an－bn＝2n－1，

所以an＝[(an＋bn)＋(an－bn)]＝＋n－，

bn＝[(an＋bn)－(an－bn)]＝－n＋.