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    2021高三人教B版数学一轮(经典版)教师用书:第2章第4讲 幂函数与二次函数

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    4讲 幂函数与二次函数基础知识整合1.幂函数(1)定义:形如yxα的函数称为幂函数,其中底数x是自变量,α为常数.常见的五类幂函数为yxyx2yx3yxyx1.(2)常见的5种幂函数的图象(3)性质幂函数在(0,+)上都有定义.α>0时,幂函数的图象都过点(1,1)(0,0),且在(0,+)上单调递增.α<0时,幂函数的图象都过点(1,1),且在(0,+)上单调递减.2.二次函数的图象和性质 解析式f(x)ax2bxc(a>0)f(x)ax2bxc(a<0)图象定义域(,+)(,+)值域单调性x上单调递减;x上单调递增x上单调递增;x上单调递减对称性函数的图象关于x=-对称 1.幂函数图象特征(1)(0,1)上,幂函数中指数越大,函数图象越接近x(简记为指大图低)(2)(1,+)上,幂函数中指数越大,函数图象越远离x轴.2.二次函数解析式的三种形式(1)一般式:f(x)ax2bxc(a0)(2)顶点式:f(x)a(xm)2n(a0)(3)两根式:f(x)a(xx1)(xx2)(a0)3.一元二次不等式恒成立的条件(1)ax2bxc>0(a0)恒成立的充要条件是a>0Δ<0(2)ax2bxc<0(a0)恒成立的充要条件是a<0Δ<04.二次函数的对称轴二次函数yf(x)对定义域内的所有x,都有f(ax)f(ax)成立的充要条件是函数yf(x)的图象关于直线xa对称(a为常数)5.设f(x)ax2bxc(a>0),则二次函数在闭区间[mn]上的最大、最小值的分布情况(1)若-[mn],则f(x)maxmax{f(m)f(n)}f(x)minf.(2)若-[mn],则f(x)maxmax{f(m)f(n)}f(x)minmin{f(m)f(n)}另外,当二次函数开口向上时,自变量的取值离对称轴越远,则对应的函数值越大;反过来,当二次函数开口向下时,自变量的取值离对称轴越远,则对应的函数值越小.1.已知幂函数f(x)的图象经过点,则f(x)(  )A.偶函数 B.奇函数C.定义域内的增函数 D.定义域内的减函数答案 D解析 设幂函数f(x)xα其图象过点2α2,解得α=-f(x)xf(x)(0,+)上为减函数.故选D2.若函数yx22tx3[1,+)上为增函数,则t的取值范围是(  )At1 Bt1Ct1 Dt1答案 A解析 函数yx22tx3的图象关于直线xt对称,且开口向上,t1.3(2019·河南安阳模拟)已知函数f(x)=-x24xax[0,1],若f(x)有最小值-2,则f(x)的最大值为(  )A1 B0C.-1 D2答案 A解析 f(x)=-x24xa=-(x2)2a4函数f(x)=-x24xa[0,1]上单调递增,x0时,f(x)取得最小值,当x1时,f(x)取得最大值,f(0)a=-2f(1)3a321,故选A4.函数g(x)x22x(x[0,3])的值域是________.答案 [1,3]解析 g(x)(x1)21g(x)ming(1)=-1g(x)maxg(3)3.所求值域为[1,3]5.已知α.若幂函数f(x)xα为奇函数,且在(0,+)上递减,则α________.答案 1解析 幂函数f(x)xα为奇函数,α可取-1,1,3,又f(x)xα(0,+)上递减,α<0,故α=-1.6.若关于x的不等式x24xm对任意x(0,1]恒成立,则m的取值范围为________.答案 (,-3]解析 只需要在x(0,1]时,(x24x)minm即可.因为函数f(x)x24x(0,1]上为减函数,所以当x1时,(x24x)min14=-3,所以m3.核心考向突破考向一 幂函数的图象与性质1 (1)(2019·九江模拟)幂函数f(x)(m24m4)xm26m8(0,+)上为增函数,则m的值为(  )A13 B1C3 D2答案 B解析 由题意知解得m1.故选B(2)若四个幂函数yxayxbyxcyxd,在同一平面直角坐标系中的图象如图所示,则abcd的大小关系是(  )Ad>c>b>aBa>b>c>dCd>c>a>bDa>b>d>c答案 B解析 由幂函数的图象可知在(0,1)上幂函数的指数越大,函数图象越接近x轴,由题图知a>b>c>d,故选B幂函数的图象特征(1)对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域,即x1y1yx分的区域.根据α<0,0<α<1α1α>1的取值确定位置后,其余象限部分由奇偶性决定.(2)在比较幂值的大小时,必须结合幂值的特点,选择适当的函数,借助其单调性进行比较.[即时训练] 1.已知幂函数f(x)(n22n2)xn23n(nZ)的图象关于y轴对称,且在(0,+)上是减函数,则n的值为(  )A.-3 B1C2 D12答案 B解析 由于f(x)为幂函数,所以n22n21,解得n1n=-3,经检验只有n1符合题意.故选B2(2019·昆明模拟)a20.3b30.2c70.1,则abc的大小关系为(  )Aacb BcabCabc Dcba答案 B解析 由已知得a80.1b90.1c70.1,构造幂函数yx0.1x(0,+),根据幂函数的单调性,知cab.考向二 求二次函数的解析式2 已知二次函数f(x)满足f(2)=-1f(1)=-1,且f(x)的最大值是8,试确定此二次函数的解析式.解 解法一:(利用一般式)f(x)ax2bxc(a0)由题意得解得所求二次函数的解析式为f(x)=-4x24x7.解法二:(利用顶点式)f(x)a(xm)2n(a0)f(2)f(1)抛物线的对称轴为x.m.又根据题意函数有最大值8n8.yf(x)a28.f(2)=-1a28=-1,解得a=-4f(x)=-428=-4x24x7.解法三:(利用两根式)由已知f(x)10的两根为x12x2=-1故可设f(x)1a(x2)(x1)(a0)f(x)ax2ax2a1.又函数有最大值f(x)max8,即8.解得a=-4a0(舍去)所求函数的解析式为f(x)=-4x24x7.确定二次函数解析式的方法根据已知条件确定二次函数解析式,一般用待定系数法,选择规律如下:[即时训练] 3.已知二次函数f(x)满足f(1x)f(1x),且f(0)0f(1)1,求f(x)的解析式.解 解法一:(一般式)f(x)ax2bxc(a0)f(x)=-x22x.解法二:(两根式)f(x)图象的对称轴方程为x1f(2)f(0)0f(x)0的两根分别为0,2.可设其解析式为f(x)ax(x2)f(1)1,可得a=-1f(x)=-x(x2)=-x22x.解法三:(顶点式)由已知,可得顶点为(1,1)可设其解析式为f(x)a(x1)21.又由f(0)0,可得a=-1f(x)=-(x1)21=-x22x. 精准设计考向,多角度探究突破考向三 二次函数的图象与性质角度1  二次函数的单调性3 (1)函数f(x)ax22x3在区间[1,3]上为增函数的充要条件是(  )Aa0 Ba<0C0<a Da1答案 D解析 a0时,f(x)为减函数,不符合题意;当a0时,函数f(x)ax22x3图象的对称轴方程为x,要使f(x)在区间[1,3]上为增函数,则解得a1.故选D(2)已知函数f(x)=-2x2bx,若对任意的实数t都有f(4t)f(4t),则f(2)f(4)f(5)的大小关系为(  )Af(5)>f(2)>f(4) Bf(4)>f(5)>f(2)Cf(4)>f(2)>f(5) Df(2)>f(4)>f(5)答案 B解析 因为对任意的实数t都有f(4t)f(4t),所以函数f(x)=-2x2bx的图象关于直线x4对称,所以f(2)f(10),又函数f(x)=-2x2bx的图象开口向下,所以函数f(x)[4,+)上是减函数,因为4<5<10,所以f(4)>f(5)>f(10),即f(4)>f(5)>f(2)(1)对于二次函数的单调性,关键是开口方向与对称轴的位置,若开口方向或对称轴的位置不确定,则需要分类讨论求解.(2)利用二次函数的单调性比较大小,一定要将待比较的两数通过二次函数的对称性转化到同一单调区间上比较.[即时训练] 4.已知函数f(x)x22ax3x[4,6](1)求实数a的取值范围,使yf(x)在区间[4,6]上是单调函数;(2)a1时,求f(|x|)的单调区间.解 (1)由于函数f(x)的图象开口向上,对称轴是x=-a,所以要使f(x)[4,6]上是单调函数,应有-a4或-a6,即a6a4.(2)a1时,f(x)x22x3f(|x|)x22|x|3,此时定义域为x[4,6]f(x)f(|x|)的单调递增区间是(0,6]单调递减区间是[4,0]角度2  二次函数的最值问题4 (1)(2019·南昌模拟)如果函数f(x)x2axa在区间[0,2]上的最大值为1,那么实数a________.答案 1解析 因为函数f(x)x2axa的图象为开口向上的抛物线,所以函数的最大值在区间的端点取得.因为f(0)=-af(2)43a所以解得a1.(2)已知函数f(x)x22x3x[tt2]f(x)的最值;f(x)的最大值为5时,求t的值.解 f(x)x22x3(x1)24,其图象的对称轴为直线x1..t>1,则当xt时,f(x)minf(t)t22t3;当xt2时,f(x)maxf(t2)t22t3..t1<t1,即0<t1,则当x1时,f(x)minf(1)=-4;当xt2时,f(x)maxf(t2)t22t3..t11<t2,即-1<t0,则当x1时,f(x)minf(1)=-4;当xt时,f(x)maxf(t)t22t3..t21,即t1,则当xt时,f(x)maxf(t)t22t3;当xt2时,f(x)minf(t2)t22t3.,可知当t0时,f(x)maxt22t3;当t>0时,f(x)maxt22t3f(x)的最大值为g(t),则g(t)因为g(t)5,所以t=-2t2.故当f(x)的最大值为5时,t2t=-2.二次函数最值问题的类型及求解策略(1)类型:对称轴、区间都是给定的;对称轴动、区间固定;对称轴定、区间变动.(2)求解策略:抓住三点一轴数形结合,三点是指区间两个端点和中点,一轴指的是对称轴,结合配方法,根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成.[即时训练] 5.已知函数f(x)ax22ax1在区间[12]上有最大值4,求实数a的值.解 f(x)a(x1)21a.(1)a0时,函数f(x)在区间[1,2]上的值为常数1,不符合题意,舍去.(2)a>0时,函数f(x)在区间[1,2]上是增函数,最大值为f(2)8a14,解得a.(3)a<0时,函数f(x)在区间[1,2]上是减函数,最大值为f(1)1a4,解得a=-3.综上可知,a的值为或-3.角度3 与二次函数有关的恒成立问题5 (1)(2019·合肥模拟)设函数f(x)mx2mx1,若对于x[1,3]f(x)<m4恒成立,则实数m的取值范围为(  )A(0] BC(0) D答案 D解析 由题意,f(x)<m4对于x[1,3]恒成立即m(x2x1)<5对于x[1,3]恒成立.x[1,3]时,x2x1[1,7]不等式f(x)<m4等价于m<.x3时,取最小值若要不等式m<对于x[1,3]恒成立,则必须满足m<,因此,实数m的取值范围为,故选D(2)已知函数f(x)x22(a2)x4,若x[3,1]f(x)>0恒成立,则实数a的取值范围为________.答案 解析 因为f(x)x22(a2)x4,其图象的对称轴为x=-(a2)x[3,1]f(x)>0恒成立,所以讨论对称轴与区间[3,1]的位置关系得解得a1a<4或-<a<1,所以a的取值范围为.由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键(1)一般有两个解题思路:一是分离参数;二是不分离参数.(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值,至于用哪种方法,关键是看参数是否已分离.这两个思路的依据是:af(x)恒成立af(x)maxaf(x)恒成立af(x)min.[即时训练] 6.已知两函数f(x)8x216xkg(x)2x24x4,其中k为实数.(1)对任意x[3,3],都有f(x)g(x)成立,求k的取值范围;(2)存在x[3,3],使f(x)g(x)成立,求k的取值范围;(3)对任意x1x2[3,3],都有f(x1)g(x2),求k的取值范围.解 (1)h(x)f(x)g(x)6x212x4k,问题转化为x[3,3]时,h(x)0恒成立,故h(x)max0.由二次函数的性质可知h(x)maxh(3)86k,有86k0,得k86.(2)由题意,存在x[3,3],使f(x)g(x)成立,即h(x)f(x)g(x)6x212x4k0x[3,3]时有解,故h(x)min0.由二次函数的性质可知h(x)minh(1)=-10k,有-10k0,得k10.(3)对任意x1x2[3,3],都有f(x1)g(x2)成立,所以f(x)maxg(x)minx[3,3].由二次函数的性质可得f(x)maxf(3)120kg(x)ming(1)2.故有120k2,得k118.

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