2021高三人教B版数学一轮（经典版）教师用书：第3章第5讲 定积分与微积分基本定理
展开第5讲 定积分与微积分基本定理
基础知识整合
1．定积分的定义
如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0<x1<…<xi－1<xi<…<xn＝b将区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间[xi－1，xi]上任取一点ξi(i＝1,2，…，n)，作和式(ξi)Δx＝f(ξi)，当n→∞时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作f(x)dx，即f(x)dx＝ f(ξi)．这里a和b分别叫做积分下限和积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式．
2．定积分的性质
(1)kf(x)dx＝kf(x)dx(k为常数)．
(2)[f1(x)±f2(x)]dx＝f1(x)dx±.
(3)f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx(其中a＜c＜b)．
3．微积分基本定理
如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么f(x)dx＝F(b)－F(a)，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式．
为了方便，常把F(b)－F(a)记成F(x)，即f(x)dx＝F(x)＝F(b)－F(a)．
1．定积分应用的常用结论
当曲边梯形位于x轴上方时，定积分的值为正；当曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值为负；当位于x轴上方的曲边梯形与位于x轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零．
2．函数f(x)在闭区间[－a，a]上连续，则有
(1)若f(x)为偶函数，则f(x)dx＝2f(x)dx.
(2)若f(x)为奇函数，则f(x)dx＝0.
1．已知t是常数，若(2x－2)dx＝8，则t＝( )
A．1 B．－2
C．－2或4 D．4
答案 D
解析 由(2x－2)dx＝8得，(x2－2x)|＝t2－2t＝8，解得t＝4或t＝－2(舍去)．
2．(2019·南昌模拟)若dx＝3＋ln 2(a＞1)，则a的值是( )
A．2 B．3
C．4 D．6
答案 A
解析 由题意可知dx＝(x2＋ln x)|＝a2＋ln a－1＝3＋ln 2，解得a＝2.
3． (1＋cosx)dx等于( )
A．π B．2
C．π－2 D．π＋2
答案 D
解析 (1＋cosx)dx＝2 (1＋cosx)dx＝2(x＋sinx) ＝2＝π＋2.
4．(2019·辽宁鞍山一模)dx＝( )
A．π B．
C． D．0
答案 A
解析 由定积分的几何意义可知，所求的定积分是以原点为圆心、2为半径的圆在第一象限的面积，即
dx＝×π×22＝π.
5．直线l过抛物线C：x2＝4y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于( )
A． B．2
C． D．
答案 C
解析 由已知得l：y＝1，解方程组得交点坐标为(－2，1)，(2,1)．如图阴影部分，由于l与C围成的图形关于y轴对称，
所以所求面积S＝2dx＝2＝2×＝.
6．(2019·南昌模拟)设f(x)＝(e为自然对数的底数)，则f(x)dx的值为________.
答案
解析 f(x)dx＝x2dx＋dx＝x3|＋ln x|＝＋1＝.
核心考向突破
考向一 定积分的计算
例1 计算下列定积分：
(1) (3x2－2x＋1)dx；(2)dx；
(3)|1－x|dx；(4)dx.
解 (1) (3x2－2x＋1)dx＝(x3－x2＋x)|＝24.
(2)因为(ln x)′＝，所以dx＝2dx＝2ln x|＝2(ln 2－ln 1)＝2ln 2.
(3)若1－x≥0，则x≤1，若1－x＜0，则x＞1，于是
|1－x|dx＝(1－x)dx＋(x－1)dx
＝＋＝1.
(4)根据定积分的几何意义，可知dx表示的是圆(x－1)2＋y2＝1的面积的，
故dx＝.
求定积分时应注意的几点
(1)对被积函数要先化简，再求积分．
(2)求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，先分段积分再求和．
(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值号再求积分．
(4)注意用“F′(x)＝f(x)”检验积分的对错．
(5)根据定积分的几何意义可利用面积求定积分．
(6)若f(x)为奇函数，则f(x)dx＝0.
(7)定积分式子中隐含的条件是积分上限大于积分下限．
[即时训练] 1.计算下列定积分：
(1)dx；(2)(2x＋ex)dx；
(3)cosxdx；(4)dx.
解 (1)y＝，∴x2＋y2＝1，y≥0.
∴dx几何意义为个圆的面积．
∴dx＝.
(2)(2x＋ex)dx＝(x2＋ex)|＝1＋e1－1＝e.
(3)因为(sinx)′＝cosx，
所以cosxdx＝sinx|＝sinπ－sin0＝0.
(4)因为(x2)′＝2x，′＝－，所以dx＝2xdx＋dx＝x2|＋＝.
精准设计考向，多角度探究突破 |
考向二 利用定积分求图形的面积 |
角度 求曲线围成平面图形的面积
例2 (2019·榆林模拟)曲线y＝sinx与y＝x 围成的封闭图形的面积为( )
A．1－ B．2－
C． D．2＋
答案 B
解析 当x＝时，sin＝1，×＝1，故已知的两曲线在第一象限的交点坐标为，根据对称性，已知的两曲线在第三象限的交点坐标为，故两曲线所围成的封闭图形的面积为2dx＝2＝2＝2－.
利用定积分求平面图形面积的四个步骤
被积函数较复杂或积分区间不易确定有时可通过转换积分变量进行简化计算．
[即时训练] 2.由抛物线y＝x2－1，直线x＝0，x＝2及x轴围成的图形面积为________.
答案 2
解析 如图所示，由y＝x2－1＝0，得抛物线与x轴的交点分别为(－1,0)和(1,0)．
所以S＝|x2－1|dx
＝(1－x2)dx＋(x2－1)dx
＝＋
＝＋＝2.
角度 已知曲线围成图形的面积求参数
例3 (2020·合肥摸底)由曲线f(x)＝与y轴及直线y＝m(m＞0)围成的图形的面积为，则m的值为( )
A．2 B．3
C．1 D．8
答案 A
解析 由题知曲线f(x)＝与直线y＝m的交点为(m2，m)，则S(m－)dx＝＝m3－m3＝，解得m＝2.
已知曲线围成图形的面积求参数的方法
已知图形的面积求参数．求解此类题的突破口：画图，一般是先画出它的草图；然后确定积分的上、下限，确定被积函数，再由已知条件找到关于参数的方程，从而求出参数的值．
[即时训练] 3.已知函数y＝x2与y＝kx(k>0)的图象所围成的阴影部分的面积为，则k等于( )
A．2 B．1
C．3 D．4
答案 C
解析 由消去y得x2－kx＝0，所以x＝0或x＝k，则阴影部分的面积为(kx－x2)dx＝＝，即k3－k3＝，解得k＝3.
角度 与概率的交汇问题
例4 如图，设D是图中边长分别为1和2的矩形区域，E是D内位于函数y＝(x>0)图象下方的阴影部分区域，向矩形D内随机投掷一点，则所投的点落在阴影部分E的概率是( )
A．ln 2 B．－ln 2
C．1－ln 2 D．＋ln 2
答案 D
解析 由得x＝.
∴S阴影＝×2＋ dx＝1＋ln x＝1－ln ＝1＋ln 2，S矩形＝2×1＝2，故所投的点落在阴影部分E的概率为＝＋ln 2.故选D．
与概率相交汇问题
解决此类问题应先利用定积分求出相应平面图形的面积，再用相应概率公式进行计算．
[即时训练] 4.如图所示，矩形OABC内的阴影部分是由曲线f(x)＝sinx(x∈(0，π))及直线x＝a(a∈(0，π))与x轴围成，向矩形OABC内随机投掷一点，若落在阴影部分的概率为，则a的值是( )
A． B．
C． D．
答案 B
解析 阴影部分的面积为S＝sinxdx＝(－cosx) ＝－cosa－(－cos0)＝1－cosa.
∵点落在阴影部分的概率为P＝＝，
∴cos a＝－，又a∈(0，π)，∴a＝.故选B．
考向三 定积分在物理中的应用
例5 物体A以速度(单位：米/秒)v＝3t2＋1在一直线l上运动，物体B在直线l上，且在物体A的正方前5 m处，同时以速度(单位：米/秒)v＝10t与A同向运动，出发后，物体A追上物体B所用的时间t(单位：秒)为( )
A．3 B．4
C．5 D．6
答案 C
解析 因为物体A在t秒内行驶的路程为(3t2＋1)dt，物体B在t秒内行驶的路程为10tdt，(t3＋t－5t2)′＝3t2＋1－10t，所以(3t2＋1－10t)dt＝(t3＋t－5t2)＝t3＋t－5t2＝5，整理得(t－5)(t2＋1)＝0，解得t＝5.
定积分在物理中的两个应用
(1)变速直线运动的路程：如果变速直线运动物体的速度为v＝v(t)(v(t)≥0)，那么从时刻t＝a到t＝b所经过的路程s＝v(t)dt.
(2)变力做功：一物体在变力F(x)的作用下，沿着与F(x)相同方向从x＝a移动到x＝b时，力F(x)所做的功是W＝F(x)dx.
[即时训练] 5.列车以72 km/h速度行驶，当制动时列车获得加速度a＝－0.4 m/s2，问列车应在进站前多长时间，以及离车站多远处开始制动？
解 因列车停在车站时，速度为0，故应先求出速度的表达式，之后令v＝0，求出t.再根据v和t应用定积分求出路程．
已知列车速度v0＝72 km/h＝20 m/s，列车制动时获得的加速度为a＝－0.4 m/s2.
设列车开始制动到经过t秒后的速度为v，则v＝v0＋at＝20－0.4t，令v＝0，得t＝50 s.
设列车由开始制动到停止时所走的路程是s，则
s＝v(t)dt＝ (20－0.4t)dt＝500 m.
所以列车应在进站前50 s，以及离车站500 m处开始制动．
