2020版高考新创新一轮复习数学新课改省份专用讲义：第八章第一节　直线与方程

第八章解析几何第一节　直线与方程突破点一　直线的倾斜角与斜率、两直线的位置关系1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.(2)范围：直线l倾斜角的范围是[0，π)．2．直线的斜率公式(1)定义式：若直线l的倾斜角α≠，则斜率k＝tan_α.(2)两点式：P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率k＝.3．两条直线平行与垂直的判定两条直线平行对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2. 当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2两条直线垂直如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1. 当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2 一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置．(　　)(2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．(　　)(3)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．(　　)(4)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.(　　)(5)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.(　　)答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×二、填空题1．过点M(－1，m)，N(m＋1,4)的直线的斜率等于1，则m的值为________．答案：12．若直线l1：(a－1)x＋y－1＝0和直线l2：3x＋ay＋2＝0垂直，则实数a的值为________．答案：3．(2019·湖南百所中学检测)若直线l1：ax＋y－1＝0与l2：3x＋(a＋2)y＋1＝0平行，则a的值为________．答案：14．直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是________．答案： 考法一　直线的倾斜角与斜率　1．直线都有倾斜角，但不一定都有斜率，二者的关系具体如下：斜率kk＝tan α＞0k＝0k＝tan α＜0不存在倾斜角α锐角0°钝角90° 2．在分析直线的倾斜角和斜率的关系时，要根据正切函数k＝tan α的单调性，如图所示：(1)当α取值在内，由0增大到时，k由0增大并趋向于正无穷大；(2)当α取值在内，由增大到π(α≠π)时，k由负无穷大增大并趋近于0.解决此类问题，常采用数形结合思想．[例1]　(1)(2019·江西五校联考)已知直线l与两条直线y＝1，x－y－7＝0分别交于P，Q两点，线段PQ的中点坐标为(1，－1)，那么直线l的斜率是(　　)A.　　　　　　　　　 B.C．－   D．－(2)(2019·张家口模拟)直线l经过A(2,1)，B(1，－m2)(m∈R)两点，则直线l的倾斜角α的取值范围是(　　)A.   B.C.   D.[解析]　(1)设P(a,1)，Q(b，b－7)，则解得所以P(－2,1)，Q(4，－3)，所以直线l的斜率k＝＝－，故选C.(2)直线l的斜率k＝tan α＝＝m2＋1≥1，所以≤α＜.[答案]　(1)C　(2)C[方法技巧]求直线倾斜角范围的注意事项直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分与两种情况讨论．由正切函数图象可以看出，当α∈时，斜率k∈[0，＋∞)；当α＝时，斜率不存在；当α∈时，斜率k∈(－∞，0)．　　考法二　两直线的位置关系　两直线位置关系的判断方法(1)已知两直线的斜率存在①两直线平行⇔两直线的斜率相等且坐标轴上的截距不相等；②两直线垂直⇔两直线的斜率之积为－1.(2)已知两直线的斜率不存在若两直线的斜率不存在，当两直线在x轴上的截距不相等时，两直线平行；否则两直线重合． [例2]　(1)(2019·武邑中学月考)已知过两点A(－3，m)，B(m,5)的直线与直线3x＋y－1＝0平行，则m的值为(　　)A．3   B．7C．－7   D．－9(2)(2019·安徽六安四校联考)设m∈R，则“m＝0”是“直线l1：(m＋1)x＋(1－m)y－1＝0与直线l2：(m－1)x＋(2m＋1)y＋4＝0垂直”的(　　)A．充分不必要条件   B．必要不充分条件C．充要条件   D．既不充分也不必要条件[解析]　(1)由题可知，＝－3，解得m＝－7，故选C.(2)由直线l1与l2垂直可得(m＋1)(m－1)＋(1－m)·(2m＋1)＝0，解得m＝0或m＝1.所以“m＝0”是“直线l1：(m＋1)x＋(1－m)y－1＝0与直线l2：(m－1)x＋(2m＋1)y＋4＝0垂直”的充分不必要条件．故选A.[答案]　(1)C　(2)A[方法技巧]由一般式方程确定两直线位置关系的方法直线方程l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A＋B≠0) l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A＋B≠0)l1与l2垂直的充要条件A1A2＋B1B2＝0l1与l2平行的充分条件＝≠(A2B2C2≠0)l1与l2相交的充分条件≠(A2B2≠0)l1与l2重合的充分条件＝＝(A2B2C2≠0)[提醒]　当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件．1.已知直线过A(2,4)，B(1，m)两点，且倾斜角为45°，则m＝(　　)A．3   B．－3C．5   D．－1解析：选A　∵直线过A(2,4)，B(1，m)两点，∴直线的斜率为＝4－m.又∵直线的倾斜角为45°，∴直线的斜率为1，即4－m＝1，∴m＝3.故选A. 2.已知倾斜角为θ的直线l与直线x＋2y－3＝0垂直，则cos 2θ的值为(　　)A.   B．－C.   D．－解析：选B　由题意得－·tan θ＝－1，∴tan θ＝2，cos 2θ＝＝＝－，故选B.3.若直线l1：ax－(a＋1)y＋1＝0与直线l2：2x－ay－1＝0垂直，则实数a＝(　　)A．3   B．0C．－3   D．0或－3解析：选D　∵直线l1与直线l2垂直，∴2a＋a(a＋1)＝0，整理得a2＋3a＝0，解得a＝0或a＝－3.故选D.4.设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的(　　)A．充分必要条件   B．必要不充分条件C．充分不必要条件   D．既不充分也不必要条件解析：选C　当a＝1时，直线l1：x＋2y－1＝0与直线l2：x＋2y＋4＝0的斜率都是－，截距不相等，∴两条直线平行，故前者是后者的充分条件；当两条直线平行时，得＝≠，解得a＝－2或a＝1，∴后者不能推出前者，∴前者是后者的充分不必要条件．故选C.突破点二　直线的方程直线方程的五种形式形式几何条件方程适用范围点斜式过一点(x0，y0)，斜率ky－y0＝k(x－x0)与x轴不垂直的直线斜截式纵截距b，斜率ky＝kx＋b与x轴不垂直的直线两点式过两点(x1，y1)，(x2，y2)＝与x轴、y轴均不垂直的直线截距式横截距a，纵截距b＋＝1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式 Ax＋By＋C＝0，A2＋B2≠0平面直角坐标系内所有直线 一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b表示．(　　)(2)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．(　　)(3)不经过原点的直线都可以用＋＝1表示．(　　)答案：(1)×　(2)√　(3)×二、填空题1．过点M(3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为______________．答案：4x＋3y＝0或x＋y＋1＝02．(2019·开封模拟)过点A(－1，－3)，斜率是直线y＝3x斜率的－的直线方程为____________．答案：3x＋4y＋15＝03．已知三角形的三个顶点A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，则BC边上中线所在的直线方程为____________．解析：由已知，得BC的中点坐标为，且直线BC边上的中线过点A，则BC边上中线的斜率k＝－，故BC边上的中线所在直线方程为y＋＝－，即x＋13y＋5＝0.答案：x＋13y＋5＝0考法一　求直线方程　[例1]　(2019·湖北十堰模拟)已知菱形ABCD的顶点A，C的坐标分别为A(－4,7)，C(6，－5)，BC边所在直线过点P(8，－1)．求：(1)AD边所在直线的方程；(2)对角线BD所在直线的方程．[解]　(1)kBC＝＝2，∵AD∥BC，∴kAD＝2.∴AD边所在直线的方程为y－7＝2(x＋4)，即2x－y＋15＝0.(2)kAC＝＝－.∵菱形的对角线互相垂直，∴BD⊥AC，∴kBD＝.∵AC的中点(1,1)，也是BD的中点，∴对角线BD所在直线的方程为y－1＝(x－1)，即5x－6y＋1＝0.[方法技巧]求直线方程的注意事项(1)在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件．(2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应先判断截距是否为零)．　　考法二　与直线方程有关的最值问题　[例2]　(1)已知直线x＋a2y－a＝0(a是正常数)，当此直线在x轴，y轴上的截距和最小时，正数a的值是(　　)A．0　　　　　　　　　　 　B．2C.   D．1(2)若直线x－2y＋b＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b的取值范围是(　　)A．[－2,2]   B．(－∞，－2]∪[2，＋∞)C．[－2,0)∪(0,2]   D．(－∞，＋∞)[解析]　(1)直线x＋a2y－a＝0(a是正常数)在x轴，y轴上的截距分别为a和，此直线在x轴，y轴上的截距和为a＋≥2，当且仅当a＝1时，等号成立．故当直线x＋a2y－a＝0在x轴，y轴上的截距和最小时，正数a的值是1，故选D.(2)令x＝0，得y＝，令y＝0，得x＝－b，所以所求三角形面积为|－b|＝b2，且b≠0，因为b2≤1，所以b2≤4，所以b的取值范围是[－2,0)∪(0,2]．[答案]　(1)D　(2)C[方法技巧]与直线方程有关的最值问题的解题思路(1)借助直线方程，用y表示x或用x表示y；(2)将问题转化成关于x(或y)的函数；(3)利用函数的单调性或基本不等式求最值．　　1.已知直线l过点P(1,3)，且与x轴，y轴的正半轴所围成的三角形的面积等于6，则直线l的方程是(　　)A．3x＋y－6＝0   B．x＋3y－10＝0C．3x－y＝0   D．x－3y＋8＝0解析：选A　设直线l的方程为＋＝1(a＞0，b＞0)．由题意得解得a＝2，b＝6.故直线l的方程为＋＝1，即3x＋y－6＝0.故选A.2.过点M(－3,5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为_________．解析：当直线过原点时，直线方程为y＝－x；当直线不过原点时，设直线方程为＋＝1(a≠0)，即x－y＝a(a≠0)，把(－3,5)代入，得a＝－8，所以直线方程为x－y＋8＝0.故所求直线方程为y＝－x或x－y＋8＝0.答案：y＝－x或x－y＋8＝03.已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，当0＜a＜2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数a＝________.解析：直线l1可写成a(x－2)＝2(y－2)，直线l2可写成2(x－2)＝a2(2－y)，所以直线l1，l2恒过定点P(2,2)，直线l1的纵截距为2－a，直线l2的横截距为a2＋2，所以四边形的面积S＝×2×(2－a)＋×2×(a2＋2)＝a2－a＋4＝2＋.当a＝时，面积最小．答案：突破点三　直线的交点、距离与对称问题1．两条直线的交点2．三种距离类型条件距离公式两点间的距离点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离|P1P2|＝点到直线的距离点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝两平行直线间的距离两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝ 一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交．(　　)(2)点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为.(　　)(3)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．(　　)(4)若点A，B关于直线l：y＝kx＋b(k≠0)对称，则直线AB的斜率等于－，且线段AB的中点在直线l上．(　　)答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)√二、填空题1．已知点(a,2)(a＞0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a的值为________．答案：－12．若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，则l1与l2间的距离为________．答案：3．当0＜k＜时，直线l1：kx－y＝k－1与直线l2：ky－x＝2k的交点在第________象限．答案：二4．(2018·忻州检测)在平面直角坐标系中，点(0,2)与点(4,0)关于直线l对称，则直线l的方程为______________．答案：2x－y－3＝0考法一　距离问题　[例1]　(2019·北京西城期中)已知直线l经过点P(－2，1)．(1)若点Q(－1，－2)到直线l的距离为1，求直线l的方程；(2)若直线l在两坐标轴上截距相等，求直线l的方程．[解]　(1)当直线l的斜率不存在时，即直线l的方程为x＝－2，符合要求；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－1＝k(x＋2)，整理得kx－y＋2k＋1＝0，Q(－1，－2)到直线l的距离d＝＝＝1，解得k＝－，所以直线l的方程为4x＋3y＋5＝0.(2)由题知，直线l的斜率k一定存在且k≠0，故可设直线l的方程为kx－y＋2k＋1＝0，当x＝0时，y＝2k＋1，当y＝0时，x＝－，∴2k＋1＝－，解得k＝－1或－，即直线l的方程为x＋2y＝0或x＋y＋1＝0.[方法技巧]1．解决与点到直线的距离有关的问题应熟记点到直线的距离公式，若已知点到直线的距离求直线方程，一般考虑待定斜率法，此时必须讨论斜率是否存在．2．求两条平行线间的距离要先将直线方程中x，y的对应项系数转化成相等的形式，再利用距离公式求解．也可以转化成点到直线的距离问题．　　 考法二　对称问题　[例2]　已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程；(3)直线l关于点A(－1，－2)对称的直线l′的方程．[解]　(1)设A′(x，y)，由题意知解得所以A′.(2)在直线m上取一点M(2,0)，则M(2,0)关于直线l的对称点M′必在直线m′上．设M′(a，b)，则解得M′.设直线m与直线l的交点为N，则由得N(4,3)．又因为m′经过点N(4,3)，所以由两点式得直线m′的方程为9x－46y＋102＝0.(3)设P(x，y)为l′上任意一点，则P(x，y)关于点A(－1，－2)的对称点为P′(－2－x，－4－y)，因为P′在直线l上，所以2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，即2x－3y－9＝0.[方法技巧]1．中心对称问题的两种类型及求解方法点关于点对称若点M(x1，y1)及N(x，y)关于P(a，b)对称，则由中点坐标公式得进而求解直线关于点对称①在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；②求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程 2．轴对称问题的两种类型及求解方法点关于直线对称若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，由方程组可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中B≠0，x1≠x2)直线关于直线对称①若直线与对称轴平行，则在直线上取一点，求出该点关于轴的对称点，然后用点斜式求解．②若直线与对称轴相交，则先求出交点，然后再取直线上一点，求该点关于轴的对称点，最后由两点式求解 1.“C＝2”是“点(1，)到直线x＋y＋C＝0的距离为3”的(　　)A．充要条件　　　　　　　 　B．充分不必要条件C．必要不充分条件   D．既不充分也不必要条件解析：选B　若点(1，)到直线x＋y＋C＝0的距离为3，则有＝3，解得C＝2或C＝－10，故“C＝2”是“点(1，)到直线x＋y＋C＝0的距离为3”的充分不必要条件，故选B.2.直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线的方程是(　　)A．3x＋4y＋5＝0   B．3x＋4y－5＝0C．－3x＋4y－5＝0   D．－3x＋4y＋5＝0解析：选A　在所求直线上任取一点P(x，y)，则点P关于x轴的对称点P′(x，－y)在已知的直线3x－4y＋5＝0上，所以3x－4(－y)＋5＝0，即3x＋4y＋5＝0，故选A.3.已知l1，l2是分别经过A(1,1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，则直线l1的方程是________________．解析：当直线AB与l1，l2垂直时，l1，l2间的距离最大．因为A(1,1)，B(0，－1)，所以kAB＝＝2，所以两平行直线的斜率为k＝－，所以直线l1的方程是y－1＝－(x－1)，即x＋2y－3＝0.答案：x＋2y－3＝04.若直线l与直线2x－y－2＝0关于直线x＋y－4＝0对称，则直线l的方程为________________．解析：由得即两直线的交点坐标为(2,2)，在直线2x－y－2＝0上取一点A(1,0)，设点A关于直线x＋y－4＝0的对称点的坐标为(a，b)，则解得即点A关于直线x＋y－4＝0的对称点的坐标为(4,3)，则直线l的方程为＝，整理得x－2y＋2＝0.答案：x－2y＋2＝0