2020版高考新创新一轮复习数学新课改省份专用讲义：第六章第一节　数列的概念与简单表示

第六章  数列第一节　数列的概念与简单表示突破点一　数列的通项公式1．数列的定义按照一定顺序排列的一列数称为数列．数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项)．2．数列的通项公式如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．3．数列的递推公式如果已知数列{an}的第1项(或前几项)，且任何一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，即an＝f(an－1)(或an＝f(an－1，an－2)等)，那么这个式子叫做数列{an}的递推公式．4．Sn与an的关系已知数列{an}的前n项和为Sn，则an＝这个关系式对任意数列均成立．一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)所有数列的第n项都能使用公式表达．(　　)(2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．(　　)(3)若已知数列{an}的递推公式为an＋1＝，且a2＝1，则可以写出数列{an}的任何一项．(　　)(4)如果数列{an}的前n项和为Sn，则对∀n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.(　　)答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)×  二、填空题1．数列{an}中，a1＝2，且an＋1＝an－1，则a5的值为________．解析：由a1＝2，an＋1＝an－1，得a2＝a1－1＝1－1＝0，a3＝a2－1＝0－1＝－1，a4＝a3－1＝－－1＝－，a5＝a4－1＝－－1＝－.答案：－2．数列{an}定义如下：a1＝1，当n≥2时，an＝若an＝，则n的值为________．解析：困为a1＝1，所以a2＝1＋a1＝2，a3＝＝，a4＝1＋a2＝3，a5＝＝，a6＝1＋a3＝，a7＝＝，a8＝1＋a4＝4，a9＝＝，所以n＝9.答案：93．数列{an}的通项公式an＝，则－3是此数列的第________项．解析：an＝＝＝－，∵－3＝－，∴－3是该数列的第9项．答案：94．已知Sn是数列{an}的前n项和，且Sn＝n2＋1，则数列{an}的通项公式是____________．答案：an＝考法一　利用an与Sn的关系求通项　数列{an}的前n项和Sn与通项an的关系为an＝通过纽带：an＝Sn－Sn－1(n≥2)，根据题目已知条件，消掉an或Sn，再利用特殊形式(累乘或累加)或通过构造成等差数列或者等比数列求解．[例1]　(1)(2019·化州模拟)已知Sn为数列{an}的前n项和，且log2(Sn＋1)＝n＋1，则数列{an}的通项公式为____________．(2)(2019·广州测试)已知数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，且对任意n∈N*，均有an，Sn，a成等差数列，则an＝____________.[解析]　(1)由log2(Sn＋1)＝n＋1，得Sn＋1＝2n＋1，当n＝1时，a1＝S1＝3；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n，所以数列{an}的通项公式为an＝(2)∵an，Sn，a成等差数列，∴2Sn＝an＋a.当n＝1时，2S1＝2a1＝a1＋a.又a1>0，∴a1＝1.当n≥2时，2an＝2(Sn－Sn－1)＝an＋a－an－1－a，∴(a－a)－(an＋an－1)＝0.∴(an＋an－1)(an－an－1)－(an＋an－1)＝0，∴(an＋an－1)(an－an－1－1)＝0，∵an＋an－1>0，∴an－an－1＝1，∴{an}是以1为首项，1为公差的等差数列，∴an＝n(n∈N*)．[答案]　(1)an＝　(2)n[方法技巧]已知Sn求an的3个步骤(1)先利用a1＝S1求出a1；(2)用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式；(3)对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n＝1与n≥2两段来写．　　考法二　利用递推关系求通项　[例2]　(1)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋3n＋2，求数列{an}的通项公式．(2)在数列{an}中，a1＝1，an＝an－1(n≥2)，求数列{an}的通项公式．(3)在数列{an}中a1＝1，an＋1＝3an＋2，求数列{an}的通项公式．(4)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝，求数列{an}的通项公式．[解]　(1)因为an＋1－an＝3n＋2，所以an－an－1＝3n－1(n≥2)，所以an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝(n≥2)．当n＝1时，a1＝2＝×(3×1＋1)，符合上式，所以an＝n2＋.(2)因为an＝an－1(n≥2)，所以an－1＝an－2，…，a2＝a1.由累乘法可得an＝a1···…·＝＝(n≥2)．又a1＝1符合上式，∴an＝.(3)因为an＋1＝3an＋2，所以an＋1＋1＝3(an＋1)，所以＝3，所以数列{an＋1}为等比数列，公比q＝3，又a1＋1＝2，所以an＋1＝2·3n－1，所以an＝2·3n－1－1.(4)∵an＋1＝，a1＝1，∴an≠0，∴＝＋，即－＝，又a1＝1，则＝1，∴是以1为首项，为公差的等差数列．∴＝＋(n－1)×＝＋，∴an＝(n∈N*)．[方法技巧]　典型的递推数列及处理方法递推式方法示例an＋1＝an＋f(n)叠加法a1＝1，an＋1＝an＋2nan＋1＝anf(n)叠乘法a1＝1，＝2nan＋1＝Aan＋B (A≠0,1，B≠0)化为等比数列a1＝1，an＋1＝2an＋1an＋1＝ (A，B，C为常数)化为等差数列a1＝1，an＋1＝1.已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，Sn＝，则a2 019＝(　　)A．2 018　　　　　　　 B．2 019C．4 036  D．4 038解析：选B　由题意知n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－，化为＝，∴＝＝…＝＝1，∴an＝n.则a2 019＝2 019.故选B.2.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，则Sn＝(　　)A．2n－1  B．n－1C.n－1  D．n－1解析：选B　Sn＝2an＋1＝2Sn＋1－2Sn⇒3Sn＝2Sn＋1⇒＝，故数列{Sn}为等比数列，公比是，又S1＝1，所以Sn＝1×n－1＝n－1.故选B.3.已知在数列{an}中，an＋1＝an(n∈N*)，且a1＝4，则数列{an}的通项公式an＝____________.解析：由an＋1＝an，得＝，故＝，＝，…，＝(n≥2)，以上式子累乘得，＝··…···＝.因为a1＝4，所以an＝(n≥2)．因为a1＝4满足上式，所以an＝.答案：4.已知数列{an}满足a1＝2，an－an－1＝n(n≥2，n∈N*)，则an＝____________.解析：由题意可知，a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n(n≥2)，以上式子累加得，an－a1＝2＋3＋…＋n.因为a1＝2，所以an＝2＋(2＋3＋…＋n)＝2＋＝(n≥2)．因为a1＝2满足上式，所以an＝.答案：突破点二　数列的性质数列的分类分类标准类型满足条件按项数分类有穷数列项数有限无穷数列项数无限按项与项间的大小关系分类递增数列an＋1>an其中n∈N*递减数列an＋1<an常数列an＋1＝an按其他标准分类有界数列存在正数M，使|an|≤M摆动数列从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项1．已知数列{an}的通项公式是an＝，那么这个数列是________(填递增或递减)．答案：递增2．设an＝－3n2＋15n－18，则数列{an}中的最大项的值是________．答案：03．已知数列{an}的通项公式为an＝(n＋2)n，则当an取得最大值时，n等于________．答案：5或6考法一　数列的单调性　[例1]　已知数列{an}的通项公式为an＝nn，则数列{an}中的最大项为(　　)A.　　　　　　　　 B．C.  D．[解析]　法一：(作差比较法)an＋1－an＝(n＋1)n＋1－nn＝·n，当n<2时，an＋1－an>0，即an＋1>an；当n＝2时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；当n>2时，an＋1－an<0，即an＋1<an.所以a1<a2＝a3，a3>a4>a5>…>an，所以数列{an}中的最大项为a2或a3，且a2＝a3＝2×2＝.故选A.法二：(作商比较法)＝＝，令>1，解得n<2；令＝1，解得n＝2；令<1，解得n>2.又an>0，故a1<a2＝a3，a3>a4>a5>…>an，所以数列{an}中的最大项为a2或a3，且a2＝a3＝2×2＝.故选A.[答案]　A[方法技巧]求数列最大项或最小项的方法(1)将数列视为函数f(x)当x∈N*时所对应的一列函数值，根据f(x)的类型作出相应的函数图象，或利用求函数最值的方法，求出f(x)的最值，进而求出数列的最大(小)项．(2)通过通项公式an研究数列的单调性，利用(n≥2)确定最大项，利用(n≥2)确定最小项．(3)比较法：①若有an＋1－an＝f(n＋1)－f(n)>0或an>0时，>1，则an＋1>an，即数列{an}是递增数列，所以数列{an}的最小项为a1＝f(1)；②若有an＋1－an＝f(n＋1)－f(n)<0或an>0时，<1，则an＋1<an，即数列{an}是递减数列，所以数列{an}的最大项为a1＝f(1)．　　考法二　数列的周期性　数列的周期性与函数的周期性相类似．求解数列的周期问题时，通常是求出数列的前几项观察规律．确定出数列的一个周期，然后再解决相应的问题．[例2]　(2019·广西南宁二中、柳州高中联考)已知数列2 008,2 009,1，－2 008，…，若这个数列从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2 018项之和S2 018＝________.[解析]　由题意可知an＋1＝an＋an＋2，a1＝2 008，a2＝2 009，a3＝1，a4＝－2 008，∴a5＝－2 009，a6＝－1，a7＝2 008，a8＝2 009，…，∴an＋6＝an，即数列{an}是以6为周期的数列，又a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝0，∴S2 018＝336(a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6)＋(a1＋a2)＝    4 017.[答案]　4 017[方法技巧]周期数列的常见形式与解题方法(1)周期数列的常见形式①利用三角函数的周期性，即所给递推关系中含有三角函数；②相邻多项之间的递推关系，如后一项是前两项的差；③相邻两项的递推关系，等式中一侧含有分式，又较难变形构造出特殊数列．(2)解决此类题目的一般方法根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求有关项的值或者前n项的和．　　1.若数列{an}中，a1＝2，a2＝3，an＋1＝an－an－1(n≥2)，则a2 019＝(　　)A．1  B．－2C．3  D．－3解析：选A　因为an＝an－1－an－2(n≥3)，所以an＋1＝an－an－1＝(an－1－an－2)－an－1＝－an－2，所以an＋3＝－an，所以an＋6＝－an＋3＝an，所以{an}是以6为周期的周期数列．因为2 019＝336×6＋3，所以a2 019＝a3＝a2－a1＝3－2＝1.故选A.2.已知数列{an}满足an＝(n∈N*)，则数列{an}的最小项是第________项．解析：因为an＝，所以数列{an}的最小项必为an<0，即<0,3n－16<0，从而n<.又n∈N*，所以当n＝5时，an的值最小．答案：5