2019版高中数学二轮复习教师用书：专题七第2讲　小题考法——圆锥曲线的性质

第2讲　小题考法——圆锥曲线的性质一、主干知识要记牢圆锥曲线的定义、标准方程和性质名称椭圆双曲线抛物线定义|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|)|PF|＝|PM|，点F不在直线l上，PM⊥l于M标准方程＋＝1(a>b>0)－＝1(a>0，b>0)y2＝2px(p>0)图形几何性质轴长轴长2a，短轴长2b实轴长2a，虚轴长2b 离心率e＝＝ (0<e<1)e＝＝ (e>1)e＝1渐近线 y＝±x  二、二级结论要用好1．椭圆焦点三角形的3个规律设椭圆方程是＋＝1(a>b>0)，焦点F1(－c,0)，F2(c，0)，点P是椭圆上一点且点P的坐标是(x0，y0)．(1)三角形的三个边长是|PF1|＝a＋ex0，|PF2|＝a－ex0，|F1F2|＝2c，e为椭圆的离心率．(2)如果△PF1F2中∠F1PF2＝α，则这个三角形的面积S△PF1F2＝c|y0|＝b2tan ．(3)椭圆的离心率e＝．2．双曲线焦点三角形的2个结论P(x0，y0)为双曲线－＝1(a>0，b>0)上的点，△PF1F2为焦点三角形．(1)面积公式S＝c|y0|＝r1r2sin θ＝(其中|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，∠F1PF2＝θ)．(2)焦半径若P在右支上，|PF1|＝ex0＋a，|PF2|＝ex0－a；若P在左支上，|PF1|＝－ex0－a，|PF2|＝－ex0＋a．3．抛物线y2＝2px(p>0)焦点弦AB的4个结论(1)xA·xB＝；(2)yA·yB＝－p2；(3)|AB|＝(α是直线AB的倾斜角)；(4)|AB|＝xA＋xB＋p．4．圆锥曲线的通径(1)椭圆通径长为；(2)双曲线通径长为；(3)抛物线通径长为2p．5．圆锥曲线中的最值(1)椭圆上两点间的最大距离为2a(长轴长)．(2)双曲线上两点间的最小距离为2a(实轴长)．(3)椭圆焦半径的取值范围为[a－c，a＋c]，a－c与a＋c分别表示椭圆焦点到椭圆上的点的最小距离与最大距离．(4)抛物线上的点中顶点到抛物线准线的距离最短．三、易错易混要明了1．利用椭圆、双曲线的定义解题时，要注意两种曲线的定义形式及其限制条件．如在双曲线的定义中，有两点是缺一不可的：其一，绝对值；其二，2a＜|F1F2|.如果不满足第一个条件，动点到两定点的距离之差为常数，而不是差的绝对值为常数，那么其轨迹只能是双曲线的一支．2．解决椭圆、双曲线、抛物线问题时，要注意其焦点的位置．3．直线与圆锥曲线相交的必要条件是它们构成的方程组有实数解，消元后得到的方程中要注意：二次项的系数是否为零，判别式Δ≥0的限制．尤其是在应用根与系数的关系解决问题时，必须先有“判别式Δ≥0”；在解决交点、弦长、中点、斜率、对称或存在性问题时都应在“Δ>0”下进行．考点一　圆锥曲线的定义与标准方程求解圆锥曲线标准方程的思路方法(1)定型，即指定类型，也就是确定圆锥曲线的类型、焦点位置，从而设出标准方程．(2)计算，即利用待定系数法求出方程中的a2，b2或p.另外，当焦点位置无法确定时，抛物线常设为y2＝ax或x2＝ay(a≠0)，椭圆常设为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0)，双曲线常设为mx2－ny2＝1(mn>0)．1．(2018·邵阳模拟)设点P是双曲线y2－＝1上一点，A(0，－2)，B(0,2)，|PA|＋|PB|＝8，|PA|＞4，则|PB|＝(　C　)A．2  B．C．3  D．解析　由于|PA|＞4, 所以|PB|＜4, 故|PA|－|PB|＝2a＝2，由于|PA|＋|PB|＝8, 解得|PB|＝3, 故选C．2．(2018·珠海模拟)已知双曲线M：－＝1(a＞0，b＞0)，其焦点F(±c,0)(c＞0)，右顶点A(a,0)到双曲线M的一条渐近线距离为，以点A为圆心，c为半径的圆在y轴所截弦长为8，则双曲线M的方程为(　A　)A．－＝1  B．－＝1C．x2－y2＝9  D．x2－y2＝16解析　因为右顶点A(a，0)到双曲线M的一条渐近线距离为，所以＝.圆的方程为(x－a)2＋y2＝c2，令x＝0得，y＝±b，∴2b＝8.∴b＝4.又因为a2＋b2＝c2，∴c＝5，a＝3，故选A．3．(2018·衡水中学押题卷)已知椭圆＋＝1的两个焦点是F1，F2，点P在该椭圆上，若|PF1|－|PF2|＝2，则△PF1F2的面积是____．解析　由椭圆的方程可知a＝2，c＝，且|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，又|PF1|－|PF2|＝2，所以|PF1|＝3，|PF2|＝1．又|F1F2|＝2c＝2，所以有|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2，即△PF1F2为直角三角形，且∠PF2F1为直角，所以S△PF1F2＝|F1F2||PF2|＝×2×1＝．考点二　圆锥曲线的几何性质1．椭圆、双曲线离心率(离心率范围)的求法求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求的值．2．双曲线的渐近线的求法及用法(1)求法：把双曲线标准方程等号右边的1改为零，分解因式可得．(2)用法：①可得或的值；②利用渐近线方程设所求双曲线的方程．1．(2018·齐鲁名校联考)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的上、下顶点分别为B1、B2，左顶点为A，左焦点为F，若直线AB1与直线B2F互相垂直，则椭圆的离心率为(　C　)A．  B．C．  D．解析　依题意，直线AB1与直线B2F互相垂直，kAB1·kB2F＝·＝－1，∴b2＝ac，a2－c2＝ac，∴e2＋e－1＝0，e＝，故选C．2．(2018·三湘教育联盟联考)已知P(，)为双曲线C：x2－＝1上一点，则点P到双曲线C的渐近线的距离为(　B　)A．  B．或C．  D．或解析　由题意知，3－＝1解得b2＝3，则双曲线C的渐近线方程为x±y＝0，所以P(，)到x±y＝0的距离为或，即或，故选B．3．(2018·郴州二模)已知双曲线－＝－1的一个焦点在直线x＋y＝5上，则双曲线的渐近线方程为(　B　)A．y＝±x  B．y＝±xC．y＝±x  D．y＝±x解析　根据题意，双曲线的方程为－＝1，则其焦点在x轴上，直线x＋y＝5与x轴交点的坐标为(5,0)，则双曲线的焦点坐标为(5,0)，则有9＋m＝25，解可得，m＝16，则双曲线的方程为－＝1，其渐近线方程为y＝±x，故选B．4．(2018·株洲二检)已知双曲线C：－＝1的右焦点为F，其中一条渐近线与圆(x－c)2＋y2＝a2(c2＝a2＋b2，c＞0)交于A，B两点，△ABF为锐角三角形，则双曲线C的离心率的取值范围是(　D　)A． B．(，＋∞)C．(1，)  D．解析　双曲线C：－＝1的右焦点为F(c,0)，一条渐近线方程为bx－ay＝0，圆(x－c)2＋y2＝a2(c2＝a2＋b2，c＞0)的圆心(c,0)，半径为a，渐近线与圆交于A，B两点，△ABF为锐角三角形，可得：a＞＞a，可得a2＞b2＞a2，又c2＝a2＋b2，b2＞a2，可得c2＞a2可得e＞，由a2＞b2可得e＜.所以双曲线C的离心率的取值范围是.故选D．考点三　直线与圆锥曲线的位置关系及简单应用处理圆锥曲线与圆相结合问题的注意点(1)注意圆心、半径和平面几何知识的应用，如直径所对的圆周角为直角，构成了垂直关系；弦心距、半径、弦长的一半构成直角三角形等．(2)注意圆与特殊线的位置关系，如圆的直径与椭圆长轴(短轴)，与双曲线的实轴(虚轴)的关系；圆与过定点的直线、双曲线的渐近线、抛物线的准线的位置关系等．1．(2018·河南联考)已知直线y＝kx＋t与圆x2＋(y＋1)2＝1相切且与抛物线C：x2＝4y交于不同的两点M，N，则实数t的取值范围是(　A　)A．(－∞，－3)∪(0，＋∞)  B．(－∞，－2)∪(0，＋∞)C．(－3,0)  D．(－2,0)解析　因为直线与圆相切，所以＝1，即k2＝t2＋2t.将直线方程代入抛物线方程并整理得x2－4kx－4t＝0，于是Δ＝16k2＋16t＝16(t2＋2t)＋16t>0，解得t>0或t<－3.故选A．2．经过椭圆＋y2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l，交椭圆于A，B两点．设O为坐标原点，则·等于(　B　)A．－3  B．－C．－或－3  D．±解析　依题意，当直线l经过椭圆的右焦点(1,0)时，其方程为y－0＝tan 45°(x－1)，即y＝x－1，代入椭圆方程＋y2＝1并整理得3x2－4x＝0，解得x＝0或x＝，所以两个交点坐标分别为(0，－1)，，∴·＝－，同理，直线 l经过椭圆的左焦点时，也可得·＝－.故·的值为－．3．(2018·湖北联考)抛物线y2＝4x的焦点为F，直线y＝x与该抛物线交于O、A两点(O为坐标原点)，与抛物线的准线交于B点，直线AF与抛物线的另一交点为C，则cos ∠ABC＝____．解析　⇒A(4,4)，⇒B(－1，－1)，AF：y＝(x－1)，⇒C∴∠ABC＝，cos ∠ABC＝．4．(2018·唐山一模)已知P为抛物线y2＝x上异于原点O的点，PQ⊥x轴，垂足为Q，过PQ的中点作x轴的平行线交抛物线于点M，直线QM交y轴于点N，则＝__ __．解析　如图，设P(t2，t)，则Q(t2,0)，PQ中点H.M，∴直线MQ的方程为： y＝(x－t2)，令x＝0，可得yN＝，∴则＝＝．