2019版二轮复习数学（理·重点生）通用版讲义：第一部分专题三导数的几何意义及简单应用

专题三 导数的几何意义及简单应用



卷Ⅰ
卷Ⅱ
卷Ⅲ
2018
奇函数的定义及利用导数的几何意义求切线方程·T5
利用导数的几何意义求切线方程·T13
利用导数的几何意义求参数值·T14
利用导数讨论函数的单调性·T21(1)
2017
利用导数讨论函数的单调性·T21(1)
导数的运算、利用导数求函数极值·T11
_______
利用导数的极值点求参数·T21(1)
2016
________
导数的计算与几何意义、直线方程、斜率计算公式·T16
函数的奇偶性、利用导数的几何意义求切线方程·T15
利用导数公式直接求导·T21(1)
纵向
把握
趋势
卷Ⅰ3年3考，涉及导数的几何意义以及讨论函数的单调性，其中利用导数求切线方程难度偏小，而用导数讨论函数的单调性难度偏大．预计2019年仍会以解答题的形式考查函数单调性的讨论
卷Ⅱ3年4考，涉及导数的运算、几何意义以及利用导数求函数的极值，题型为选择、填空题，难度适中．预计2019年高考会考查利用导数讨论函数的单调性，难度偏大
卷Ⅲ3年3考，涉及导数公式及导数几何意义的应用，题型多为填空题．预计2019年仍会考查导数几何意义的应用，另外，要重点关注利用导数研究函数的单调性
横向
把握
重点
1.高考对导数的几何意义的考查，多在选择题、填空题中出现，难度较小．
2．高考重点考查导数的应用，即利用导数研究函数的单调性、极值、最值问题，多在选择、填空的后几题中出现，难度中等，有时也出现在解答题第一问．
3．近几年全国卷对定积分及其应用的考查极少，题目一般比较简单，但也不能忽略.




导数的几何意义

[题组全练]

1．(2018·全国卷Ⅰ)设函数f (x)＝x3＋(a－1)x2＋ax，若f (x)为奇函数，则曲线y＝f (x)在点(0,0)处的切线方程为(　　)
A．y＝－2x　　　　　　　　 B．y＝－x
C．y＝2x D．y＝x
解析：选D　∵f (x)＝x3＋(a－1)x2＋ax，
∴f ′(x)＝3x2＋2(a－1)x＋a.
又∵f (x)为奇函数，∴f (－x)＝－f (x)恒成立，
即－x3＋(a－1)x2－ax＝－x3－(a－1)x2－ax恒成立，
∴a＝1，∴f ′(x)＝3x2＋1，∴f ′(0)＝1，
∴曲线y＝f (x)在点(0,0)处的切线方程为y＝x.
2．过点(0，－1)的直线l与曲线y＝ln x相切，则原点到l的距离为(　　)
A．1 B.
C. D.
解析：选C　设切点为(x0，ln x0)．
由y＝ln x，得y′＝，
所以直线l的斜率k＝y′|x＝x0＝，
所以切线方程为y－ln x0＝(x－x0)，
即y＝x＋ln x0－1.
因为切线过点(0，－1)，
则－1＝ln x0－1，
即x0＝1，
所以切线方程为y＝x－1，
即x－y－1＝0，
所以原点到l的距离d＝＝，故选C.
3．(2018·唐山模拟)曲线y＝与其在点(0，－1)处的切线及直线x＝1所围成的封闭图形的面积为(　　)
A．1－ln 2 B．2－2ln 2
C．2ln 2－1 D．ln 2
解析：选C　因为y＝，所以y′＝′＝，则曲线y＝在(0，－1)处的切线的斜率k＝2，切线方程为y＝2x－1，则曲线y＝与其在点(0，－1)处的切线及直线x＝1所围成的封闭图形的面积S＝2x－1－dx＝2x－1－1＋dx＝[x2－2x＋2ln(x＋1)] ＝2ln 2－1.
4．(2018·全国卷Ⅲ)曲线y＝(ax＋1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为－2，则a＝________.
解析：∵y′＝(ax＋a＋1)ex，∴当x＝0时，y′＝a＋1，
∴a＋1＝－2，解得a＝－3.
答案：－3
5．已知曲线y＝x＋ln x在点(1,1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝________.
解析：由y＝x＋ln x，得y′＝1＋，则曲线y＝x＋ln x在点(1,1)处的切线斜率为2，故切线方程为y＝2x－1，与y＝ax2＋(a＋2)x＋1联立，得ax2＋ax＋2＝0，显然a≠0，所以由Δ＝a2－8a＝0⇒a＝8.
答案：8

[系统方法]

1．求过切点切线问题的基本思路
设曲线在(x0，y0)处的切线为l，则根据

2．过非切点的切线的求法
设出切点坐标(x0，f (x0))，先求出在x＝x0处的切线方程，然后把所过点的坐标代入即求出x0，从而得出切线方程．
3．由曲线的切线求参数的方法
已知曲线在某点处的切线求参数的关键是用“方程思想”来破解，先求出函数的导数，从而求出在某点处的导数值；再根据导数的几何意义与已知条件，建立关于参数的方程，通过解方程求出参数的值．


利用导数研究函数的单调性

[多维例析]

角度一　讨论函数的单调性或求函数单调区间
　已知函数f (x)＝x2＋2cos x，g(x)＝ex·(cos x－sin x＋2x－2)，其中e是自然对数的底数．
(1)求函数g(x)的单调区间；
(2)讨论函数h(x)＝g(x)－af (x)(a∈R)的单调性．
[解]　(1)g′(x)＝(ex)′·(cos x－sin x＋2x－2)＋ex(cos x－sin x＋2x－2)′＝ex(cos x－sin x＋2x－2－sin x－cos x＋2)＝2ex(x－sin x)．
记p(x)＝x－sin x，
则p′(x)＝1－cos x.
因为cos x∈[－1,1]，所以p′(x)＝1－cos x≥0，所以函数p(x)在R上单调递增．
而p(0)＝0－sin 0＝0，所以当x0，函数g(x)单调递增．
综上，函数g(x)的单调递减区间为(－∞，0)，单调递增区间为(0，＋∞)．
(2)因为h(x)＝g(x)－af (x)＝ex(cos x－sin x＋2x－2)－a(x2＋2cos x)，
所以h′(x)＝2ex(x－sin x)－a(2x－2sin x)
＝2(x－sin x)(ex－a)．
由(1)知，当x>0时，
p(x)＝x－sin x>0；当x0时，h′(x)>0，函数h(x)单调递增；
x0，
所以x∈(－∞，0)时，ex－a0，函数h(x)单调递增；
x∈(0，ln a)时，ex－a0，函数h(x)单调递增．
综上所述，
当a≤0时，函数h(x)在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减；
当00，分离参数可得a≥在R上恒成立．
设h(x)＝，则h′(x)＝，
由h′(x)>0，得x0，即(－x2＋2)ex>0，
因为ex>0，所以－x2＋2>0，
解得－0.
所以g(x)＝(x＋1)－在(－1,1)上单调递增．
所以g(x)0，所以x2－(a－2)x－a≥0对x∈R都成立．
所以Δ＝(a－2)2＋4a≤0，即a2＋4≤0，这是不可能的．
故函数f (x)不可能在R上单调递减．
2．(2018·合肥质检)已知f (x)＝ln(2x－1)＋(a∈R)．
(1)讨论f (x)的单调性；
(2)若f (x)≤ax恒成立，求a的值．
解：(1)f (x)的定义域为，
f ′(x)＝－＝.
令g(x)＝2x2－2ax＋a，
若2x2－2ax＋a＝0的根的判别式Δ＝4a2－8a≤0，
即当0≤a≤2时，对任意x∈，g(x)≥0恒成立，
即当x∈时，f ′(x)≥0恒成立，
∴f (x)在上单调递增．
若2x2－2ax＋a＝0的根的判别式Δ>0，即当a>2或a0恒成立，
∴f (x)在上单调递增．
②当a>2时，>1，且g＝>0.
记g(x)＝0的两根分别为x1，x2，且x1＝(a－)>，x2＝(a＋)．
∴当x∈∪(x2，＋∞)时，g(x)>0，当x∈(x1，x2)时，g(x)0，当x∈(x1，x2)时，f ′(x)2时，f (x)在和，＋∞上单调递增，在上单调递减．
(2)f (x)≤ax恒成立等价于对任意x∈，f (x)－ax≤0恒成立．
令h(x)＝f (x)－ax＝ln(2x－1)＋－ax，
则h(x)≤0＝h(1)恒成立，
即h(x)在x＝1处取得最大值．
h′(x)＝.
由h′(1)＝0，得a＝1.
当a＝1时，h′(x)＝，
∴当x∈时，h′(x)>0；
当x∈(1，＋∞)时，h′(x)0，求函数f (x)在区间[m,2m]上的最大值．
[解]　(1)因为函数f (x)的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x)＝，
由得0