2019版二轮复习数学（理·重点生）通用版讲义：第一部分专题十七坐标系与参数方程（选修4－4）

专题十七  坐标系与参数方程(选修4－4)   卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ2018极坐标与直角坐标的互化、曲线方程的求解参数方程与直角坐标方程的互化、参数方程的应用参数方程与普通方程的互化、参数方程的应用2017参数方程与普通方程的互化、点到直线的距离直角坐标与极坐标的互化、动点轨迹方程的求法、三角形面积的最值问题直线的参数方程与极坐标方程、动点轨迹方程的求法2016参数方程与普通方程的互化、极坐标方程与直角坐标方程的互化及应用极坐标方程与直角坐标方程的互化及应用、直线与圆的位置关系参数方程、极坐标方程及点到直线的距离、三角函数的最值纵向把握趋势考题主要考查极坐标与直角坐标的互化、参数方程与普通方程的互化、曲线方程的求解及点到直线距离的应用．预计2019年会以直线与圆为载体考查直线与圆参数方程和极坐标方程的应用考题主要涉及直角坐标方程与参数方程和极坐标方程的互化、轨迹方程的求法、三角形面积的最值问题、直线与圆位置关系的应用，难度适中．预计2019年会以极坐标或参数方程为载体，考查直线与圆的方程及性质横向把握重点1.坐标系与参数方程是高考的选考内容之一，高考考查的重点主要有两个方面：一是简单曲线的极坐标方程；二是参数方程、极坐标方程与曲线的综合应用．2.全国卷对此部分内容的考查以解答题形式出现，难度中等，备考此部分内容时应注意转化思想的应用  极坐标方程及应用 [由题知法] 1．圆的极坐标方程若圆心为M(ρ0，θ0)，半径为r，则圆的方程为：ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ－r2＝0.几个特殊位置的圆的极坐标方程：(1)当圆心位于极点，半径为r：ρ＝r；(2)当圆心位于M(a,0)，半径为a：ρ＝2acos θ；(3)当圆心位于M，半径为a：ρ＝2asin θ.2．直线的极坐标方程若直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴与此直线所成的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．几个特殊位置的直线的极坐标方程：(1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π＋θ0；(2)直线过点M(a,0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a；(3)直线过M且平行于极轴：ρsin θ＝b.　(2019届高三·广州七校第一次联考)已知曲线C的参数方程为(α为参数)，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C的极坐标方程；(2)设l1：θ＝，l2：θ＝，若l1，l2与曲线C相交于异于原点的两点A，B，求△AOB的面积．[解]　(1)∵曲线C的参数方程为(α为参数)，∴曲线C的普通方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.将代入并化简得ρ＝4cos θ＋2sin θ，∴曲线C的极坐标方程为ρ＝4cos θ＋2sin θ.(2)在极坐标系中，曲线C：ρ＝4cos θ＋2sin θ，由得|OA|＝2＋1.同理可得|OB|＝2＋.又∠AOB＝，∴S△AOB＝|OA|·|OB|sin∠AOB＝.∴△AOB的面积为.[类题通法]1．极坐标方程与普通方程的互化技巧(1)巧用极坐标方程两边同乘以ρ或同时平方技巧，将极坐标方程构造成含有ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，然后利用公式代入化简得到普通方程．(2)巧借两角和差公式，转化ρsin(θ±α)或ρ＝cos(θ±α)的结构形式，进而利用互化公式得到普通方程．(3)将直角坐标方程中的x转化为ρcos θ，将y换成ρsin θ，即可得到其极坐标方程．2．求解与极坐标有关的问题的主要方法(1)直接利用极坐标系求解，可与数形结合思想结合使用．(2)转化为直角坐标系，用直角坐标求解．若结果要求的是极坐标，还应将直角坐标化为极坐标． [应用通关] 1．(2019届高三·南宁模拟)已知曲线C1的参数方程为(θ为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sin，直线l的直角坐标方程为y＝x.(1)求曲线C1和直线l的极坐标方程；(2)已知直线l分别与曲线C1、曲线C2相交于异于极点的A，B两点，若A，B的极径分别为ρ1，ρ2，求|ρ2－ρ1|的值．解：(1)由曲线C1的参数方程为(θ为参数)，得曲线C1的普通方程为x2＋(y－1)2＝1，则C1的极坐标方程为ρ＝2sin θ.易知直线l过原点，且倾斜角为，故直线l的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)．(2)曲线C1的极坐标方程为ρ＝2sin θ，直线l的极坐标方程为θ＝，将θ＝代入C1的极坐标方程得ρ1＝1，将θ＝代入C2的极坐标方程得ρ2＝4，∴|ρ2－ρ1|＝3.2．(2018·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y＝k|x|＋2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ－3＝0.(1)求C2的直角坐标方程；(2)若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程．解：(1)由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ得C2的直角坐标方程为(x＋1)2＋y2＝4.(2)由(1)知C2是圆心为A(－1,0)，半径为2的圆．由题设知，C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线．记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为l2.由于点B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点．当l1与C2只有一个公共点时，点A到l1所在直线的距离为2，所以＝2，故k＝－或k＝0.经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；当k＝－时，l1与C2只有一个公共点，l2与C2有两个公共点．当l2与C2只有一个公共点时，点A到l2所在直线的距离为2，所以＝2，故k＝0或k＝.经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；当k＝时，l2与C2没有公共点．综上，所求C1的方程为y＝－|x|＋2. 参数方程及应用 [由题知法]常见的几种曲线的普通方程和参数方程点的轨迹普通方程参数方程直线y－y0＝tan α(x－x0)(t为参数)圆(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2(θ为参数)椭圆＋＝1(a>b>0)(φ为参数)抛物线y2＝2px(t为参数) 　　　已知直线l的参数方程为(t为参数)，圆C的参数方程为(α为参数)．(1)若直线l与圆C的相交弦长不小于，求实数m的取值范围；(2)若点A的坐标为(2,0)，动点P在圆C上，试求线段PA的中点Q的轨迹方程．[解]　(1)由直线l的参数方程为(t为参数)，得直线l的普通方程为y＝mx，由圆C的参数方程为(α为参数)，得圆C的普通方程为x2＋(y－1)2＝1.则圆心(0,1)到直线l的距离d＝，故相交弦长为2 ，所以2 ≥，解得m≤－1或m≥1.所以实数m的取值范围为(－∞，－1]∪[1，＋∞)．(2)设P(cos α，1＋sin α)，Q(x，y)，则x＝(cos α＋2)，y＝(1＋sin α)，消去α，整理可得线段PA的中点Q的轨迹方程为(x－1)2＋2＝.[类题通法]1．参数方程化为普通方程消去参数的方法(1)代入消参法：将参数解出来代入另一个方程消去参数，直线的参数方程通常用代入消参法．(2)三角恒等式法：利用sin2α＋cos2α＝1消去参数，圆的参数方程和椭圆的参数方程都是运用三角恒等式法．(3)常见消参数的关系式：①t·＝1；②2－2＝4；③2＋2＝1.2．与参数方程有关问题的求解方法(1)过定点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线参数方程的标准形式为(t为参数)，|t|等于直线上的点P到点P0(x0，y0)的距离．若直线上任意两点P1，P2对应的参数分别为t1，t2，则|P1P2|＝|t1－t2|，P1P2的中点对应的参数为(t1＋t2)．(2)解决与直线、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程的互化，主要是通过互化解决与圆锥曲线上动点有关的问题，如最值、范围等． [应用通关] 1．(2018·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)．(1)求C和l的直角坐标方程；(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率．解：(1)曲线C的直角坐标方程为＋＝1.当cos α≠0时，l的直角坐标方程为y＝tan α·x＋2－tan α，当cos α＝0时，l的直角坐标方程为x＝1.(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程(1＋3cos2α)t2＋4(2cos α＋sin α)t－8＝0.①因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内，所以①有两个解，设为t1，t2，则t1＋t2＝0.又由①得t1＋t2＝－，故2cos α＋sin α＝0，于是直线l的斜率k＝tan α＝－2.2．(2018·石家庄质检)在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(t为参数)，在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρcos＝－.(1)求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；(2)设直线l与x轴，y轴分别交于A，B两点，点P是圆C上任意一点，求A，B两点的极坐标和△PAB面积的最小值．解：(1)由消去参数t，得(x＋5)2＋(y－3)2＝2，所以圆C的普通方程为(x＋5)2＋(y－3)2＝2.由ρcos＝－，得ρcos θ－ρsin θ＝－2，所以直线l的直角坐标方程为x－y＋2＝0.(2)直线l与x轴，y轴的交点分别为A(－2,0)，B(0,2)，化为极坐标为A(2，π)，B，设点P的坐标为(－5＋cos t,3＋sin t)，则点P到直线l的距离为d＝＝.所以dmin＝＝2，又|AB|＝2.所以△PAB面积的最小值是S＝×2×2＝4. 极坐标方程与参数方程的综合问题 [由题知法] 　　　(2018·郑州第一次质量预测)在平面直角坐标系xOy中，直线l过点(1,0)，倾斜角为α，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρ＝.(1)写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；(2)若α＝，设直线l与曲线C交于A，B两点，求△AOB的面积．[解]　(1)由题意可得直线l的参数方程为(t为参数)．∵曲线C的极坐标方程为ρ＝，∴ρsin2θ＝8cos θ，∴ρ2sin2θ＝8ρcos θ，即曲线C的直角坐标方程为y2＝8x.(2)法一：当α＝时，直线l的参数方程为(t为参数)，代入y2＝8x可得t2－8t－16＝0，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝8，t1t2＝－16，∴|AB|＝|t1－t2|＝＝8.又点O到直线AB的距离d＝1×sin＝，∴S△AOB＝×|AB|×d＝×8×＝2.法二：当α＝时，直线l的方程为y＝x－1，设M(1,0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得y2－8y－8＝0，则y1＋y2＝8，y1y2＝－8，∴S△AOB＝|OM||y1－y2|＝×1×＝×＝×4＝2.[类题通法]　解极坐标方程与参数方程综合问题的策略(1)对于参数方程或极坐标方程应用不够熟练的情况下，我们可以先化成直角坐标的普通方程，这样思路可能更加清晰．(2)对于一些运算比较复杂的问题，用参数方程计算会比较简捷．(3)利用极坐标方程解决问题时，要注意题目所给的限制条件及隐含条件．[应用通关] 1．(2018·合肥第一次质量检测)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(θ为参数)，在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ－2cos θ＝0.(1)求曲线C2的直角坐标方程；(2)若曲线C1上有一动点M，曲线C2上有一动点N，求|MN|的最小值．解：(1)由ρ－2cos θ＝0得ρ2－2ρcos θ＝0.∵ρ2＝x2＋y2，ρcos θ＝x，∴x2＋y2－2x＝0，即曲线C2的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1.(2)由(1)可知，圆C2的圆心为C2(1,0)，半径为1.设曲线C1上的动点M(3cos θ，2sin θ)，由动点N在圆C2上可得|MN|min＝|MC2|min－1.∵|MC2|＝＝，∴当cos θ＝时，|MC2|min＝，∴|MN|min＝|MC2|min－1＝－1.2．(2018·陕西质检)在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为(t＞0，α为参数)．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin＝3.(1)当t＝1时，求曲线C上的点到直线l的距离的最大值；(2)若曲线C上的所有点都在直线l的下方，求实数t的取值范围．解：(1)由ρsin＝3，得ρsin θ＋ρcos θ＝3，把x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入，得直线l的直角坐标方程为x＋y－3＝0，当t＝1时，曲线C的参数方程为(α为参数)，消去参数得曲线C的普通方程为x2＋y2＝1，∴曲线C为圆，且圆心为O，半径r＝1，则点O到直线l的距离d＝＝，∴曲线C上的点到直线l的距离的最大值为1＋.(2)∵曲线C上的所有点均在直线l的下方，∴对任意的α∈R，tcos α＋sin α－3＜0恒成立，即cos(α－φ)＜3恒成立，∴ ＜3，又t＞0，∴0＜t＜2.∴实数t的取值范围为(0,2)．[专题跟踪检测](对应配套卷P207)1．(2018·全国卷Ⅲ)在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为(θ为参数)，过点(0，－)且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．(1)求α的取值范围；(2)求AB中点P的轨迹的参数方程．解：(1)⊙O的直角坐标方程为x2＋y2＝1.当α＝时，l与⊙O交于两点．当α≠时，记tan α＝k，则l的方程为y＝kx－.l与⊙O交于两点需满足<1，解得k<－1或k>1，即α∈或α∈.综上，α的取值范围是.(2)l的参数方程为（t为参数，<α<）.设A，B，P对应的参数分别为tA，tB，tP，则tP＝，且tA，tB满足t2－2tsin α＋1＝0.于是tA＋tB＝2sin α，tP＝sin α.又点P的坐标(x，y)满足所以点P的轨迹的参数方程是（α为参数，<α<）.2．(2018·开封模拟)在直角坐标系xOy中，直线C1的参数方程为(t为参数)，圆C2：(x－2)2＋y2＝4，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C1，C2的极坐标方程和交点A的坐标(非坐标原点)；(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，设C2与C3的交点为B(非坐标原点)，求△OAB的最大面积．解：(1)由(t为参数)，得曲线C1的普通方程为y＝xtan α，故曲线C1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)．将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入(x－2)2＋y2＝4，得C2的极坐标方程为ρ＝4cos θ.故交点A的坐标为(4cos α，α)(也可写出直角坐标)．(2)由题意知，点B的极坐标为.∴S△OAB＝＝，当sin＝－1时，(S△OAB)max＝2＋2，故△OAB的最大面积是2＋2.3．(2018·辽宁五校协作体联考)极坐标系的极点为直角坐标系xOy的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同．已知曲线C的极坐标方程为ρ＝2sin θ，θ∈.(1)求曲线C的直角坐标方程；(2)在曲线C上求一点D，使它到直线l：(t为参数)的距离最短，写出D点的直角坐标．解：(1)由ρ＝2sin θ，可得ρ2＝2ρsin θ，∴曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0.(2)由直线l的参数方程为(t为参数)，消去t得l的普通方程为x＋y－5＝0，由(1)得曲线C的圆心为(0,1)，半径为1，又点(0,1)到直线l的距离为＝2＞1，所以曲线C与l相离．因为点D在曲线C上，所以可设D(cos α，1＋sin α)，则点D到直线l的距离d＝＝，当sin＝1时，点D到直线l的距离d最短，此时α＝，故点D的直角坐标为.4．(2019届高三·昆明调研)在平面直角坐标系xOy中，已知倾斜角为α的直线l过点A(2,1)．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为ρ＝2sin θ，直线l与曲线C分别交于P，Q两点．(1)写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；(2)若|PQ|2＝|AP|·|AQ|，求直线l的斜率k.解：(1)直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＝2y.(2)将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，得t2＋(4cos α)t＋3＝0，由Δ＝(4cos α)2－4×3＞0，得cos2α＞，则t1＋t2＝－4cos α，t1·t2＝3，由参数的几何意义知，|AP|＝|t1|，|AQ|＝|t2|，|PQ|＝|t1－t2|，由题意知，(t1－t2)2＝t1·t2，则(t1＋t2)2＝5t1·t2，得(－4cos α)2＝5×3，解得cos2α＝，满足cos2α＞，所以sin2α＝，tan2α＝，所以直线l的斜率k＝tan α＝±.5．已知曲线C：(α为参数)和定点A(0，)，F1，F2是此曲线的左、右焦点，以坐标原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求直线AF2的极坐标方程；(2)经过点F1且与直线AF2垂直的直线l交曲线C于M，N两点，求||MF1|－|NF1||的值．解：(1)曲线C：可化为＋＝1，故曲线C为椭圆，则焦点F1(－1,0)，F2(1,0)．所以经过点A(0，)和F2(1,0)的直线AF2的方程为x＋＝1，即x＋y－＝0，所以直线AF2的极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝.(2)由(1)知，直线AF2的斜率为－，因为l⊥AF2，所以直线l的斜率为，即倾斜角为30°，所以直线l的参数方程为(t为参数)，代入椭圆C的方程中，得13t2－12t－36＝0.则t1＋t2＝.因为点M，N在点F1的两侧，所以||MF1|－|NF1||＝|t1＋t2|＝.6．(2018·潍坊模拟)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ＝sin θ(ρ≥0,0≤θ＜π)．(1)写出曲线C1的极坐标方程，并求C1与C2交点的极坐标；(2)射线θ＝β与曲线C1，C2分别交于点A，B(A，B异于原点)，求的取值范围．解：(1)由题意可得曲线C1的普通方程为x2＋(y－2)2＝4，把x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入，得曲线C1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，联立得4sin θcos2θ＝sin θ，此时0≤θ＜π，①当sin θ＝0时，θ＝0，ρ＝0，得交点的极坐标为(0,0)；②当sin θ≠0时，cos2θ＝，得cos θ＝±，当cos θ＝时，θ＝，ρ＝2，得交点的极坐标为，当cos θ＝－时，θ＝，ρ＝2，得交点的极坐标为，∴C1与C2交点的极坐标为(0,0)，，.(2)将θ＝β代入C1的极坐标方程中，得ρ1＝4sin β，代入C2的极坐标方程中，得ρ2＝，∴＝＝4cos2β.∵≤β≤，∴1≤4cos2β≤3，∴的取值范围为[1,3]．7．(2018·福州模拟)在平面直角坐标系xOy中，曲线C：(α为参数，t＞0)．在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l：ρcos ＝. (1)若l与曲线C没有公共点，求t的取值范围；(2)若曲线C上存在点到l的距离的最大值为＋，求t的值．解：(1)因为直线l的极坐标方程为ρcos＝，即ρcos θ＋ρsin θ＝2，所以直线l的直角坐标方程为x＋y＝2.因为曲线C的参数方程为(α为参数，t＞0)，所以曲线C的普通方程为＋y2＝1(t＞0)，由消去x，得(1＋t2)y2－4y＋4－t2＝0，所以Δ＝16－4(1＋t2)(4－t2)＜0，又t＞0，所以0＜t＜，故t的取值范围为(0，)．(2)由(1)知直线l的直角坐标方程为x＋y－2＝0，故曲线C上的点(tcos α，sin α)到l的距离d＝，故d的最大值为，由题设得＝＋，解得t＝±.又t＞0，所以t＝.8．(2019届高三·成都诊断)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(α为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)．在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，过极点O的射线与曲线C相交于不同于极点的点A，且点A的极坐标为(2，θ)，其中θ∈.(1)求θ的值；(2)若射线OA与直线l相交于点B，求|AB|的值．解：(1)由题意知，曲线C的普通方程为x2＋(y－2)2＝4，∵x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，∴曲线C的极坐标方程为(ρcos θ)2＋(ρsin θ－2)2＝4，即ρ＝4sin θ.由ρ＝2，得sin θ＝，∵θ∈，∴θ＝.(2)易知直线l的普通方程为x＋y－4＝0，∴直线l的极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ－4＝0.又射线OA的极坐标方程为θ＝(ρ≥0)，联立解得ρ＝4.∴点B的极坐标为，∴|AB|＝|ρB－ρA|＝4－2＝2.