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2019届高三理科数学二轮复习配套教案：第一篇专题一第3讲 不等式与线性规划、计数原理与二项式定理
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第3讲 不等式与线性规划、计数原理与二项式定理
(对应学生用书第6页)
1.(2018·全国Ⅲ卷,理5)x2+5的展开式中x4的系数为( C )
(A)10 (B)20 (C)40 (D)80
解析:x2+5的展开式的通项公式为Tr+1=·(x2)5-r·r=·2r·x10-3r,令10-3r=4,得r=2.故展开式中x4的系数为·22=40.故选C.
2.(2017·全国Ⅲ卷,理4)(x+y)(2x-y)5的展开式中x3y3的系数为( C )
(A)-80 (B)-40 (C)40 (D)80
解析:展开式中含x3y3的项为x·(2x)2·(-y)3+y·(2x)3·(-y)2.故系数为-22+8=40.选C.
3.(2017·全国Ⅱ卷,理6)安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有( D )
(A)12种 (B)18种 (C)24种 (D)36种
解析:先将4项工作分为3组,再排列,共有=36种不同的方法.故选D.
4.(2017·全国Ⅰ卷,理6)1+(1+x)6展开式中x2的系数为( C )
(A)15 (B)20 (C)30 (D)35
解析:因为(1+x)6展开式的通项为Tr+1=xr,
所以1+(1+x)6的x2的系数为+=30.
故选C.
5.(2018·全国Ⅰ卷,理15)从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛,且至少有1位女生入选,则不同的选法共有 种.(用数字填写答案)
解析:法一 按参加的女生人数可分两类:只有1位女生参加有种,有2位女生参加有种,故共有+=2×6+4=16(种).
法二 从2位女生,4位男生中选3人,共有种情况,没有女生参加的情况有种,故共有-=20-4=16(种).
答案:16
6.(2018·全国Ⅰ卷,理13)若x,y满足约束条件则z=3x+2y的最大值为 .
解析:作出满足约束条件的可行域如图阴影部分所示.
由z=3x+2y得y=-x+.
作直线l0:y=-x.
平移直线l0,当直线y=-x+过点(2,0)时,
z取最大值,zmax=3×2+2×0=6.
答案:6
7.(2018·全国Ⅱ卷,理14)若x,y满足约束条件则z=x+y的最大值为 .
解析:由不等式组画出可行域,如图(阴影部分).
x+y取得最大值⇔斜率为-1的直线x+y=z(z看作常数)在y轴上的截距最大,
由图可得直线x+y=z过点C时z取得最大值.
由得点C(5,4),
所以zmax=5+4=9.
答案:9
8.(2016·全国Ⅰ卷,理16)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5 kg,乙材料1 kg,用5个工时;生产一件产品B需要甲材料0.5 kg,乙材料0.3 kg,用3个工时.生产一件产品A的利润为2 100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg,乙材料90 kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为 元.
解析:设生产A产品x件,B产品y件,产品A,B的利润之和为z.则
z=2 100x+900y,画出可行域.
由解得
所以zmax=2 100×60+900×100=216 000,
所以生产产品A、产品B的利润之和的最大值为216 000元.
答案:216 000
1.考查角度
(1)不等式:与集合综合不等式的解法,在解答题中以工具性知识为主考查不等式解法、基本不等式的应用.
(2)线性规划:二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划问题.
(3)计数原理:考查简单的排列组合应用题.
(4)二项式定理:考查二项式的通项公式、二项展开式的系数等简单问题.
2.题型及难易度
(1)题型:选择题、填空题.
(2)难易度:中等难度.
(对应学生用书第6~8页)
不等式
考向1 不等式的性质与解法
【例1】 (1)(2018·陕西西工大附中八模)如果a>b>1,c<0,在不等式①>,②ln(a+c)>ln(b+c),③(a-c)c<(b-c)c,④bea>aeb中,所有正确命题的序号是( )
(A)①②③ (B)①③④
(C)②③④ (D)①②④
(2)(2018·全国名校第三次大联考)不等式x2-2ax-3a2<0(a>0)的解集为 .
解析:(1)因为a>b>1,c<0,
所以可令a=3,b=2,c=-4,
此时ln(a+c)>ln(b+c)不成立,
所以②错误,排除A,C,D,故选B.
(2)因为x2-2ax-3a2<0⇔(x-3a)(x+a)<0,
a>0,-a<3a,
所以不等式的解集为{x|-a
(1)使用不等式的性质时要特别注意性质成立的条件,如不等式两端同时乘以一个数时要看该数取值情况.
(2)解一元二次不等式时首先把二次项系数化为正值,再根据该不等式对应的一元二次方程的实根的情况确定其解集,如含有字母参数需要分类讨论.
考向2 基本不等式
【例2】 (1)(2018·广西柳州市一模)已知圆C1:(x+2a)2+y2=4和圆C2:x2+(y-b)2=1只有一条公切线,若a,b∈R且ab≠0,则+的最小值为( )
(A)2 (B)4 (C)8 (D)9
(2)(2018·天津市滨海新区八校联考)已知a>b>0,且ab=1,那么取最小值时,b= .
解析:(1)由圆的方程可得
C1(-2a,0),r1=2,C2(0,b),r2=1,
由两圆只有一条公切线可知两圆内切,
所以|C1C2|=r1-r2,
即=1,所以4a2+b2=1,
所以+=+
=4+1++≥5+2=9.
当且仅当=时,等号成立,
所以+的最小值为9,故选D.
(2)因为ab=1,a>b>0,
所以==(a-b)+,
≥2=2,
当且仅当a-b=,
即a-b=时,等号成立,即取最小值,
由得-b=.
所以b=或b=(舍去).
答案:(1)D (2)
基本不等式的主要用途是求多元函数的最值,在使用基本不等式时注意如下几点:(1)注意不等式的使用条件,特别是其中等号能否成立.
(2)合理变换求解目标,如常数代换法、换元法等,创造使用基本不等式的条件.
热点训练1:(1)(2018·广东深圳月考)已知函数f(x)=若f(2-a2)>f(a),则实数a的取值范围是( )
(A)(-∞,-2)∪(1,+∞) (B)(-1,1)
(C)(-2,1) (D)(-1,2)
(2)(2018·安徽亳州高三上期末)设x,y为正实数,且满足+=1,下列说法正确的是( )
(A)x+y的最大值为 (B)xy的最小值为2
(C)x+y的最小值为4 (D)xy的最大值为
(3)(2018·浙江温州市一模)已知2a+4b=2(a,b∈R),则a+2b的最大值为 .
解析:(1)因为f(x)=
所以函数f(x)是奇函数,且在R上单调递增,
所以f(2-a2)>f(a)等价于2-a2>a,
即a2+a-2<0,解得-2
(2)x+y=(x+y)+=++≥+,
1=+≥2,得xy≥2,故选B.
(3)因为2a+4b=2a+22b=2≥2,
所以2a+2b≤1=20,a+2b≤0,当a=2b时等号成立,
所以a+2b的最大值为0.
答案:(1)C (2)B (3)0
线性规划
考向1 线性规划问题
【例3】 (1)(2018·浙江省温州市一模)若实数x,y满足约束条件则z=2x+y的取值范围是( )
(A)[3,4] (B)[3,12] (C)[3,9] (D)[4,9]
(2)(2018·四川雅安三诊)已知实数x,y满足条件若目标函数z=mx-y(m≠0)取得最大值时的最优解有无穷多个,则实数m的值为( )
(A)1 (B) (C)- (D)-1
(3)(2018·江西省红色七校联考)设x,y满足约束条件若z=mx+y的最小值为-3,则m的值为 .
解析:
(1)画出
表示的可行域,
由
得A(1,1),
由得B(3,3),
由得C(2,0),
由目标函数几何意义分析可知,
其最值点应在可行域的端点处取得,
将三点的坐标分别代入z=2x+y得3,9,4,
因此z的最小值为3,最大值为9,
故z=2x+y的取值范围是[3,9],故选C.
(2)由约束条件作出可行域如图,
化目标函数z=mx-y为y=mx-z,
因为目标函数z=mx-y(m≠0)取得最大值时的最优解有无穷多个,
所以m=kAB=1.故选A.
(3)画出不等式组表示的可行域,如图所示.
联立解得A(3,-1),
化目标函数z=mx+y为y=-mx+z,
目标函数的最小值就是函数在y轴上截距的最小值,为-3,
由图可知,m<0,使目标函数取得最小值的最优解为A(3,-1),
把A(3,-1)代入z=mx+y=-3,求得m=-.
答案:(1)C (2)A (3)-
(1)线性规划问题中目标函数的几何意义是通过直线在y轴上的截距体现出来的,解题中首先要准确确定其几何意义,再结合已知的平面区域确定其取得最值的点.
(2)线性目标函数取最值的点,一定在线性约束条件确定的区域的顶点或边界上,如果线性目标函数取得最值的点有无穷多个,则说明线性目标函数表示的直线与区域的某条边界重合.
(3)如果约束条件、目标函数中含有参数,则需要把约束条件、目标函数综合起来考虑,确定参数的可能取值或者取值范围.
考向2 非线性规划
【例4】 (1)(2018·安徽安庆二模)已知实数x,y满足则的最大值为( )
(A) (B) (C) (D)
(2)(2018·重庆綦江区5月调研)已知实数x,y满足则的取值范围是( )
(A),11 (B)[3,11]
(C),11 (D)[1,11]
(3)(2018·广西三校联考)设x,y满足约束条件则的最大值为 .
解析:(1)作可行域,如图阴影部分所示.
表示可行域内的点(x,y)与点(-1,0)连线的斜率.
易知A,,B,,C,.
当直线y=k(x+1)与曲线y=相切时,k=,
切点为(1,1),所以切点位于点A,C之间.
因此根据图形可知,
的最大值为.故选D.
(2)根据线性约束条件得到可行域,如图,
=1+,
所以表示点(x,y)与点P(-1,-1)所确定直线的斜率,
由图知,kmin=kPB==,
kmax=kPA==5,
所以的取值范围是,5,
的取值范围是,11.故选C.
(3)画出不等式组表示的平面区域如图所示,
表示的几何意义是点(x,y)到(0,0)的距离,
由图可知,点A到原点的距离最远,由
得==.
答案:(1)D (2)C (3)
非线性规划问题的关键是目标函数的几何意义,主要有两种类型:(1)距离型(已知区域内的点到定点的距离、定直线的距离、定曲线的距离等).
(2)斜率型(区域内的点与定点连线的斜率,可以化为斜率型).
考向3 线性规划的实际应用
【例5】 (1)(2018·山东德州高三上期中)某企业生产A,B,C三种家电,经市场调查决定调整生产方案,计划本季度(按不超过480个工时计算)生产A,B,C三种家电共120台,其中A家电至少生产20台,已知生产A,B,C三种家电每台所需的工时分别为3,4,6,每台的产值分别为20,30,40千元,则按此方案生产,此季度最高产值为( )
(A)3 600千元 (B)3 500千元
(C)4 800千元 (D)480千元
(2)(2018·福建福州高三上期末)某工厂制作仿古的桌子和椅子,需要木工和漆工两道工序.已知生产一把椅子需要木工4个工作时,漆工2个工作时;生产一张桌子需要木工8个工作时,漆工1个工作时.生产一把椅子的利润为1 500元,生产一张桌子的利润为2 000元.该厂每个月木工最多完成8 000个工作时、漆工最多完成 1 300 个工作时.根据以上条件,该厂安排生产每个月所能获得的最大利润是 元.
解析:(1)设本季度生产A家电x台、B家电y台,则生产C家电(120-x-y)台,设总产值为z千元,由题意可列表格:
家电名称
A
B
C
每台所需工时
3
4
6
每台的产值(千元)
20
30
40
则根据题意可得z=20x+30y+40(120-x-y)=4 800-20x-10y,
由题意得x,y满足
即画出可行域如图所示.
目标函数z=4 800-20x-10y可化为y=480-2x-,
由图知,当过A点时y=480-2x-的截距最小,即z取得最大值.
由得即A(20,90).
所以zmax=4 800-20×20-10×90=3 500.故选B.
(2)设每天生产椅子x把,桌子y张,利润总额为p,
目标函数为p=1 500x+2 000y,
则作出可行域,
把直线3x+4y=0向右上方平移,直线经过可行域上的点B时p=1 500x+2 000y取最大值,
解方程组
得B坐标为(200,900),p=1 500×200+2 000×900=2 100 000,所以每天应生产椅子200把,桌子900张才能获得最大利润,最大利润为2 100 000元,故答案为2 100 000.
答案:(1)B (2)2 100 000
解线性规划实际应用题的关键是根据求解目标确定引起求解目标变化的两个量x,y(如本例(2)中引起求解目标变化的是椅子和桌子的数量,这两个数量就是x,y),约束条件、求解目标均要围绕这两个变量列式.
热点训练2:(1)(2018·天津市滨海新区八校联考)若x,y∈R,且则z=3x-y的最小值为( )
(A)6 (B)2 (C)1 (D)不存在
(2)(2018·江西赣州红七校联考)设实数x,y满足则u=-的取值范围为( )
(A),2 (B)-,2
(C)-, (D)-,
(3)(2018·江西南昌三模)现某小型服装厂锁边车间有锁边工10名,杂工15名,有7台电脑机,每台电脑机每天可给12件衣服锁边;有5台普通机,每台普通机每天可给10件衣服锁边.如果一天至少有100件衣服需要锁边,用电脑机每台需配锁边工1名,杂工2名,用普通机每台需要配锁边工1名,杂工1名,用电脑机给一件衣服锁边可获利8元,用普通机给一件衣服锁边可获利6元,则该服装厂锁边车间一天最多可获利 元.
解析:(1)可行域如图,直线y=3x-z过点(1,1)时,
z=3x-y取最小值为2,故选B.
(2)作出可行域,如图,
因为u=-,所以设k=,
则k表示可行域中的点与点(0,0)连线的斜率,
由图知k∈,2,
所以u=k-,k∈,2,
由函数单调递增,可知,u∈-,.故选D.
(3)设每天安排电脑机和普通机各x,y台,
则一天可获利z=12×8x+10×6y=96x+60y,
线性约束条件为画出可行域(如图),
可知当目标函数经过A(5,5)时,zmax=780.
答案:(1)B (2)D (3)780
排列组合
【例6】 (1)(2018·辽宁省实验中学一模)篮球比赛中每支球队的出场阵容由5名队员组成,2017年的NBA篮球赛中,休斯顿火箭队采取了“八人轮换”的阵容,即每场比赛只有8名队员有机会出场,这8名队员中包含两名中锋,两名控球后卫,若要求每一套出场阵容中有且仅有一名中锋,至少包含一名控球后卫,则可供休斯顿火箭队的主教练选择的出场阵容的选择有( )
(A)16种 (B)28种 (C)84种 (D)96种
(2)(2018·河北省衡水押题卷)某校举办了“祖国,你好”的诗歌朗诵比赛.该校高三年级准备从包括甲、乙、丙在内的7名学生中选派4名学生参加,要求甲、乙、丙这3名同学中至少有1人参加,且当这3名同学都参加时,甲和乙的朗诵顺序不能相邻,那么选派的4名学生不同的朗诵顺序的种数为( )
(A)720 (B)768 (C)810 (D)816
(3)(2018·内蒙古包钢一中一模)把5名师范大学的毕业生分配到A,B,C三所学校,每所学校至少一人.其中学数学的两人,学语文的两人,学英语的一人,若A校不招收同一学科的毕业生,则不同的分配方法共有( )
(A)148种 (B)132种
(C)126种 (D)84种
解析:(1)有两种出场方案:
①中锋1人,后卫1人,有=16种出场阵容;
②中锋1人,后卫2人,有=12种出场阵容.
共计28种,故选B.
(2)由题知结果有三种情况.
①甲、乙、丙三名同学全参加,有=96种情况,其中甲、乙相邻的有=48种情况,所以甲、乙、丙三名同学全参加时,甲和乙的朗诵顺序不能相邻顺序有96-48=48种情况;
②甲、乙、丙三名同学恰有一人参加,不同的朗诵顺序有=288种情况;
③甲、乙、丙三名同学恰有二人参加时,不同的朗诵顺序有=432种情况.
则选派的4名学生不同的朗诵顺序有288+432+48=768种情况.故选B.
(3)5名师范大学的毕业生分配到A,B,C三所学校,每所学校至少一人,
当A校选一名时有=5种,另外4人分为(3,1)和(2,2)两组,有·+=14种,
故有5×14=70种;
当A校选两名时有-1-1=8种,另外3人分为(2,1)一组,有=6种,故有8×6=48种;
当A校选三名时有·=4种,另外2人分为(1,1)一组,有=2种,故有4×2=8种.
根据分类计数原理得,A校不招收同一学科的毕业生,则不同的分配方法共有70+48+8=126种,故选C.
(1)解排列组合问题的基本方法为直接法和间接法.
(2)解排列组合题的基本原则是“优先考虑特殊元素和特殊位置”.
(3)几种典型的排列组合问题的解法:①相邻问题“捆绑法”,不相邻问题“插空法”;②定序排列问题、相同元素排列的“选位法”(如6人排成一排,甲乙顺序一定,则只要选两个位置给甲乙即可);③分配问题“先分组、再分配”,特别注意不均匀分组、均匀分组、部分均匀分组的分组方法.
热点训练3:(1)(2018·北京朝阳区二模)现将5张连号的电影票分给甲、乙等5个人,每人一张,且甲、乙分得的电影票连号,则共有不同分法的种数为( )
(A)12 (B)24 (C)36 (D)48
(2)(2018·江西重点中学盟校联考)将A,B,C,D,E这5名同学从左至右排成一排,则A与B相邻且A与C之间恰好有一名同学的排法有( )
(A)18 (B)20 (C)21 (D)22
(3)(2018·北京延庆区一模)某翻译公司为提升员工业务能力,为员工开设了英语、法语、西班牙语和德语四个语种的培训过程,要求每名员工参加且只参加其中两种.无论如何安排,都有至少5名员工参加的培训完全相同.问该公司至少有员工( )
(A)17名 (B)21名 (C)25名 (D)29名
解析:(1)先从四组两张连号票比如(1,2),(2,3),(3,4),(4,5)中取出一组,分给甲乙两人,共有=8种,其余三人有种分法,所以共有8=48(种).故选D.
(2)当A,C之间为B时,共有·=12种;
当A,C之间不为B时,先在A,C间插入D,E中任意一个,
共有=8种.
12+8=20,
所以共有20种不同排法.故选B.
(3)员工可选修的情况共有=6种,
若每个情况下都安排4人时,共有24人,也就是若公司有24名员工时,可以不出现5名员工培训相同的情况,故该公司至少有25名员工.故选C.
二项式定理
【例7】 (1)(2018·安徽省宣城市二模)二项式x-6的展开式中常数项为( )
(A)-15 (B)15 (C)-20 (D)20
(2)(2018·河南省新乡市三模)在x2-4的展开式中,系数为有理数的项为( )
(A)第二项 (B)第三项
(C)第四项 (D)第五项
(3)(2018·湖南省两市九月调研)若(1-3x)2 018=a0+a1x+…+a2 018x2 018,x∈R,则a1·3+a2·32+…+a2 018·32 018的值为( )
(A)22 018-1 (B)82 018-1
(C)22 018 (D)82 018
解析:(1)二项展开式的通项公式:
Tk+1=x6-k·-k=x6-k·(-1)k·
=(-1)k.
要使其为常数,则6-k=0,
即k=4,常数项为T5=(-1)4x0==15.
故选B.
(2)由二项展开式通项公式,得
Tr+1=(x2)4-r·-r
=(-1)r·x8-3r.
当4-2r=0时,r=2,该项系数为有理数,
即展开式中第三项系数为有理数.故选B.
(3)令x=0,得a0=1.
令x=3,得a0+a1·3+a2·32+…+a2 018·32 018
=(1-9)2 018=82 018.
所以a1·3+a2·32+…+a2 018·32 018=82 018-a0
=82 018-1.故选B.
(1)求展开式中特定项或者特定项的系数,主要是根据通项公式,得出该项在展开式中的位置,再通过计算得出该项或该项的系数(注意:展开式中项的系数与二项式系数的区别).
(2)求展开式各项系数之和、某些特定项的系数之和、某些与展开式有关的数值之和的基本思想是通过在二项式及其展开式两端对字母进行特殊赋值,再通过相关计算得出的.
热点训练4:(1)(2018·广西柳州市一模)已知x-n的展开式中第4项的二项式系数为20,则x-n的展开式中的常数项为( )
(A)60 (B)-60 (C)80 (D)-80
(2)(2018·广东省海珠区一模)(x+y)(2x-y)6的展开式中x4y3的系数为( )
(A)-80 (B)-40 (C)40 (D)80
(3)(2018·河南洛阳第三次统考)若(1-2 018x)2 017=a0+a1x+a2x2+…+a2 017x2 017(x∈R),则++…+的值为( )
(A)20182 017 (B)1 (C)0 (D)-1
解析:(1)由题意可得=20,得n=6,
则x-n=x-6的展开式的通项公式为
Tr+1=(-)r,
令6-=0,求得r=4,
可得x-n展开式中的常数项为·4=60.
故选A.
(2)二项式(2x-y)6的展开式的通项公式为Tr+1=
(2x)6-r(-y)r,
当r=2时,T3=·24·x4·y2=240x4y2,
当r=3时,T4=·23·x3·(-y)3=-160x3y3,
所以x4y3的系数为240-160=80.故选D.
(3)根据(1-2 018x)2 017=a0+a1x+a2x2+…+a2 017x2 017(x∈R),
令x=0,可得a0=1.再令x=,
可得1+++…+=0,
故++…+=-1,故选D.
【例1】 (1)(2018·天津十二重点中学联考一)已知a>b>0,则2a++的最小值为 ;
(2)(2018·衡水金卷四省第三次联考)如图,在△ABC中,已知=,P为AD上一点,且满足=m+,若△ABC的面积为,∠ACB=,则的最小值为 .
解析:(1)因为a>b>0,
2a++=a+b+a-b++,
所以a+b+≥2,
当且仅当a+b=时取等号;
a-b+≥2,
当且仅当a-b=时取等号.
所以联立解得
a+b+a-b++≥2+2,
当且仅当时,取“=”,
即2a++取得最小值为2+2.
(2)设=λ,则=+λ=+λ(-)=(1-λ)+λ.
由平面向量基本定理可得解得m=,
所以=+,令||=x,||=y,
则S△ABC=||·||·sin∠ACB=xy=,
所以xy=4,且x>0,y>0,
所以||2=x2+y2+xy=x2+y2+
≥2+=,
当且仅当x2=y2,
即3x=4y,即3||=4||时等号成立.
即||min=.
答案:(1)2+2 (2)
【例2】 (1)(2018·安徽江南十校二模)已知x,y满足z=xy的最小值、最大值分别为a,b,且x2-kx+1≥0对x∈[a,b]恒成立,则k的取值范围为( )
(A)[-2,2] (B)(-∞,2]
(C)[-2,+∞) (D)-∞,
(2)(2018·山西孝义一模)已知不等式组表示的平面区域为D,若函数y=|x-1|+m的图象上存在区域D上的点,则实数m的取值范围是( )
(A)0, (B)-2,
(C)[-2,1] (D)-1,
(3)(2018·河南省新乡市三模)设x,y满足约束条件若的最大值为2,则a的值为( )
(A) (B) (C) (D)
(4)(2018·百校联盟高三摸底)若函数y=log2x的图象上存在点(x,y),满足约束条件则实数m的最大值为 .
解析:
(1)作出表示的平面区域(如图所示),
显然z=xy的最小值为0,
易求的交点A(1,1),
当点(x,y)在线段x+2y=3(0≤x≤1)上时,
z=xy=x-=-x2+x≤1;
当点(x,y)在线段2x+y=3(0≤x≤1)上时,
z=xy=x(3-2x)=-2x2+3x≤;
即a=0,b=;
当x=0时,不等式x2-kx+1=1≥0恒成立,
若x2-kx+1≥0对x∈0,恒成立,
则k≤x+在0,上恒成立,
又x+在(0,1]上单调递减,在1,上单调递增,
即x+min=2,即k≤2.故选B.
(2)作出不等式组表示的平面区域D(如图阴影),
函数y=|x-1|的图象为直线y=x-1保留x轴上方的并把x轴下方的上翻得到,
其图象为关于直线x=1对称的折线,
沿x=1上下平移y=|x-1|的图象,
当经过点B时m取最小值,过点A时m取最大值,
由可解得即B(2,-1),
此时有-1=|2-1|+m,解得m=-2;
由可解得
即A(1,1),此时有1=|1-1|+m,解得m=1.
故实数m的取值范围为[-2,1].
故选C.
(3)
设m=x-y,n=x+y,
得x=,y=,
代入不等式组,得
即
关于n,m的不等式组的可行域如图所示,
==,
也就是表示可行域内点与原点连线的斜率,
由条件知斜率最大值为2,此时=2,
由得
即点,在直线m+n-2a=0上,
所以+-2a=0,所以a=.故选C.
(4)作出不等式组表示的平面区域,得到如图的三角形,
再作出对数函数y=log2x的图象,可得该图象与直线x+y-3=0交于点M(2,1),当该点在区域内时,图象上存在点(x,y)满足不等式组,即m≤1符合题意,即m的最大值为1.
答案:(1)B (2)C (3)D (4)1
【例3】 (1)(2018·浙江宁波5月模拟)
若用红、黄、蓝、绿四种颜色填涂如图方格,要求有公共顶点的两个格子颜色不同,则不同的涂色方案有( )
(A)48种 (B)72种 (C)96种 (D)216种
(2)(2018·安徽合肥二模)如图,给7条线段的5个端点涂色,要求同一条线段的两个端点不能同色,现有4种不同的颜色可供选择,则不同的涂色方法有( )
(A)24种 (B)48种 (C)96种 (D)120种
解析:(1)将方格用A,B,C,D,E,F标记如下:
按照以下顺序涂色,
A:→B:→D:→C:→E:→F:,
所以由乘法分步原理得不同的涂色方案数有
·····=96种,
故选C.
(2)若A,D颜色相同,先涂E有4种涂法,再涂A,D有3种涂法,再涂B有2种涂法,C只有一种涂法,共有4×3×2=24种;若颜色A,D不同,先涂E有4种涂法,再涂A有3种涂法,再涂D有2种涂法,当B和D相同时,C有2种涂法,当B和D不同时,C只有一种涂法,共有4×3×2×(2+1)=72种,根据分类计数原理可得,共有24+72=96种,故选C.
(对应学生用书第6页)
1.(2018·全国Ⅲ卷,理5)x2+5的展开式中x4的系数为( C )
(A)10 (B)20 (C)40 (D)80
解析:x2+5的展开式的通项公式为Tr+1=·(x2)5-r·r=·2r·x10-3r,令10-3r=4,得r=2.故展开式中x4的系数为·22=40.故选C.
2.(2017·全国Ⅲ卷,理4)(x+y)(2x-y)5的展开式中x3y3的系数为( C )
(A)-80 (B)-40 (C)40 (D)80
解析:展开式中含x3y3的项为x·(2x)2·(-y)3+y·(2x)3·(-y)2.故系数为-22+8=40.选C.
3.(2017·全国Ⅱ卷,理6)安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有( D )
(A)12种 (B)18种 (C)24种 (D)36种
解析:先将4项工作分为3组,再排列,共有=36种不同的方法.故选D.
4.(2017·全国Ⅰ卷,理6)1+(1+x)6展开式中x2的系数为( C )
(A)15 (B)20 (C)30 (D)35
解析:因为(1+x)6展开式的通项为Tr+1=xr,
所以1+(1+x)6的x2的系数为+=30.
故选C.
5.(2018·全国Ⅰ卷,理15)从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛,且至少有1位女生入选,则不同的选法共有 种.(用数字填写答案)
解析:法一 按参加的女生人数可分两类:只有1位女生参加有种,有2位女生参加有种,故共有+=2×6+4=16(种).
法二 从2位女生,4位男生中选3人,共有种情况,没有女生参加的情况有种,故共有-=20-4=16(种).
答案:16
6.(2018·全国Ⅰ卷,理13)若x,y满足约束条件则z=3x+2y的最大值为 .
解析:作出满足约束条件的可行域如图阴影部分所示.
由z=3x+2y得y=-x+.
作直线l0:y=-x.
平移直线l0,当直线y=-x+过点(2,0)时,
z取最大值,zmax=3×2+2×0=6.
答案:6
7.(2018·全国Ⅱ卷,理14)若x,y满足约束条件则z=x+y的最大值为 .
解析:由不等式组画出可行域,如图(阴影部分).
x+y取得最大值⇔斜率为-1的直线x+y=z(z看作常数)在y轴上的截距最大,
由图可得直线x+y=z过点C时z取得最大值.
由得点C(5,4),
所以zmax=5+4=9.
答案:9
8.(2016·全国Ⅰ卷,理16)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5 kg,乙材料1 kg,用5个工时;生产一件产品B需要甲材料0.5 kg,乙材料0.3 kg,用3个工时.生产一件产品A的利润为2 100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg,乙材料90 kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为 元.
解析:设生产A产品x件,B产品y件,产品A,B的利润之和为z.则
z=2 100x+900y,画出可行域.
由解得
所以zmax=2 100×60+900×100=216 000,
所以生产产品A、产品B的利润之和的最大值为216 000元.
答案:216 000
1.考查角度
(1)不等式:与集合综合不等式的解法,在解答题中以工具性知识为主考查不等式解法、基本不等式的应用.
(2)线性规划:二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划问题.
(3)计数原理:考查简单的排列组合应用题.
(4)二项式定理:考查二项式的通项公式、二项展开式的系数等简单问题.
2.题型及难易度
(1)题型:选择题、填空题.
(2)难易度:中等难度.
(对应学生用书第6~8页)
不等式
考向1 不等式的性质与解法
【例1】 (1)(2018·陕西西工大附中八模)如果a>b>1,c<0,在不等式①>,②ln(a+c)>ln(b+c),③(a-c)c<(b-c)c,④bea>aeb中,所有正确命题的序号是( )
(A)①②③ (B)①③④
(C)②③④ (D)①②④
(2)(2018·全国名校第三次大联考)不等式x2-2ax-3a2<0(a>0)的解集为 .
解析:(1)因为a>b>1,c<0,
所以可令a=3,b=2,c=-4,
此时ln(a+c)>ln(b+c)不成立,
所以②错误,排除A,C,D,故选B.
(2)因为x2-2ax-3a2<0⇔(x-3a)(x+a)<0,
a>0,-a<3a,
所以不等式的解集为{x|-a
(1)使用不等式的性质时要特别注意性质成立的条件,如不等式两端同时乘以一个数时要看该数取值情况.
(2)解一元二次不等式时首先把二次项系数化为正值,再根据该不等式对应的一元二次方程的实根的情况确定其解集,如含有字母参数需要分类讨论.
考向2 基本不等式
【例2】 (1)(2018·广西柳州市一模)已知圆C1:(x+2a)2+y2=4和圆C2:x2+(y-b)2=1只有一条公切线,若a,b∈R且ab≠0,则+的最小值为( )
(A)2 (B)4 (C)8 (D)9
(2)(2018·天津市滨海新区八校联考)已知a>b>0,且ab=1,那么取最小值时,b= .
解析:(1)由圆的方程可得
C1(-2a,0),r1=2,C2(0,b),r2=1,
由两圆只有一条公切线可知两圆内切,
所以|C1C2|=r1-r2,
即=1,所以4a2+b2=1,
所以+=+
=4+1++≥5+2=9.
当且仅当=时,等号成立,
所以+的最小值为9,故选D.
(2)因为ab=1,a>b>0,
所以==(a-b)+,
≥2=2,
当且仅当a-b=,
即a-b=时,等号成立,即取最小值,
由得-b=.
所以b=或b=(舍去).
答案:(1)D (2)
基本不等式的主要用途是求多元函数的最值,在使用基本不等式时注意如下几点:(1)注意不等式的使用条件,特别是其中等号能否成立.
(2)合理变换求解目标,如常数代换法、换元法等,创造使用基本不等式的条件.
热点训练1:(1)(2018·广东深圳月考)已知函数f(x)=若f(2-a2)>f(a),则实数a的取值范围是( )
(A)(-∞,-2)∪(1,+∞) (B)(-1,1)
(C)(-2,1) (D)(-1,2)
(2)(2018·安徽亳州高三上期末)设x,y为正实数,且满足+=1,下列说法正确的是( )
(A)x+y的最大值为 (B)xy的最小值为2
(C)x+y的最小值为4 (D)xy的最大值为
(3)(2018·浙江温州市一模)已知2a+4b=2(a,b∈R),则a+2b的最大值为 .
解析:(1)因为f(x)=
所以函数f(x)是奇函数,且在R上单调递增,
所以f(2-a2)>f(a)等价于2-a2>a,
即a2+a-2<0,解得-2
(2)x+y=(x+y)+=++≥+,
1=+≥2,得xy≥2,故选B.
(3)因为2a+4b=2a+22b=2≥2,
所以2a+2b≤1=20,a+2b≤0,当a=2b时等号成立,
所以a+2b的最大值为0.
答案:(1)C (2)B (3)0
线性规划
考向1 线性规划问题
【例3】 (1)(2018·浙江省温州市一模)若实数x,y满足约束条件则z=2x+y的取值范围是( )
(A)[3,4] (B)[3,12] (C)[3,9] (D)[4,9]
(2)(2018·四川雅安三诊)已知实数x,y满足条件若目标函数z=mx-y(m≠0)取得最大值时的最优解有无穷多个,则实数m的值为( )
(A)1 (B) (C)- (D)-1
(3)(2018·江西省红色七校联考)设x,y满足约束条件若z=mx+y的最小值为-3,则m的值为 .
解析:
(1)画出
表示的可行域,
由
得A(1,1),
由得B(3,3),
由得C(2,0),
由目标函数几何意义分析可知,
其最值点应在可行域的端点处取得,
将三点的坐标分别代入z=2x+y得3,9,4,
因此z的最小值为3,最大值为9,
故z=2x+y的取值范围是[3,9],故选C.
(2)由约束条件作出可行域如图,
化目标函数z=mx-y为y=mx-z,
因为目标函数z=mx-y(m≠0)取得最大值时的最优解有无穷多个,
所以m=kAB=1.故选A.
(3)画出不等式组表示的可行域,如图所示.
联立解得A(3,-1),
化目标函数z=mx+y为y=-mx+z,
目标函数的最小值就是函数在y轴上截距的最小值,为-3,
由图可知,m<0,使目标函数取得最小值的最优解为A(3,-1),
把A(3,-1)代入z=mx+y=-3,求得m=-.
答案:(1)C (2)A (3)-
(1)线性规划问题中目标函数的几何意义是通过直线在y轴上的截距体现出来的,解题中首先要准确确定其几何意义,再结合已知的平面区域确定其取得最值的点.
(2)线性目标函数取最值的点,一定在线性约束条件确定的区域的顶点或边界上,如果线性目标函数取得最值的点有无穷多个,则说明线性目标函数表示的直线与区域的某条边界重合.
(3)如果约束条件、目标函数中含有参数,则需要把约束条件、目标函数综合起来考虑,确定参数的可能取值或者取值范围.
考向2 非线性规划
【例4】 (1)(2018·安徽安庆二模)已知实数x,y满足则的最大值为( )
(A) (B) (C) (D)
(2)(2018·重庆綦江区5月调研)已知实数x,y满足则的取值范围是( )
(A),11 (B)[3,11]
(C),11 (D)[1,11]
(3)(2018·广西三校联考)设x,y满足约束条件则的最大值为 .
解析:(1)作可行域,如图阴影部分所示.
表示可行域内的点(x,y)与点(-1,0)连线的斜率.
易知A,,B,,C,.
当直线y=k(x+1)与曲线y=相切时,k=,
切点为(1,1),所以切点位于点A,C之间.
因此根据图形可知,
的最大值为.故选D.
(2)根据线性约束条件得到可行域,如图,
=1+,
所以表示点(x,y)与点P(-1,-1)所确定直线的斜率,
由图知,kmin=kPB==,
kmax=kPA==5,
所以的取值范围是,5,
的取值范围是,11.故选C.
(3)画出不等式组表示的平面区域如图所示,
表示的几何意义是点(x,y)到(0,0)的距离,
由图可知,点A到原点的距离最远,由
得==.
答案:(1)D (2)C (3)
非线性规划问题的关键是目标函数的几何意义,主要有两种类型:(1)距离型(已知区域内的点到定点的距离、定直线的距离、定曲线的距离等).
(2)斜率型(区域内的点与定点连线的斜率,可以化为斜率型).
考向3 线性规划的实际应用
【例5】 (1)(2018·山东德州高三上期中)某企业生产A,B,C三种家电,经市场调查决定调整生产方案,计划本季度(按不超过480个工时计算)生产A,B,C三种家电共120台,其中A家电至少生产20台,已知生产A,B,C三种家电每台所需的工时分别为3,4,6,每台的产值分别为20,30,40千元,则按此方案生产,此季度最高产值为( )
(A)3 600千元 (B)3 500千元
(C)4 800千元 (D)480千元
(2)(2018·福建福州高三上期末)某工厂制作仿古的桌子和椅子,需要木工和漆工两道工序.已知生产一把椅子需要木工4个工作时,漆工2个工作时;生产一张桌子需要木工8个工作时,漆工1个工作时.生产一把椅子的利润为1 500元,生产一张桌子的利润为2 000元.该厂每个月木工最多完成8 000个工作时、漆工最多完成 1 300 个工作时.根据以上条件,该厂安排生产每个月所能获得的最大利润是 元.
解析:(1)设本季度生产A家电x台、B家电y台,则生产C家电(120-x-y)台,设总产值为z千元,由题意可列表格:
家电名称
A
B
C
每台所需工时
3
4
6
每台的产值(千元)
20
30
40
则根据题意可得z=20x+30y+40(120-x-y)=4 800-20x-10y,
由题意得x,y满足
即画出可行域如图所示.
目标函数z=4 800-20x-10y可化为y=480-2x-,
由图知,当过A点时y=480-2x-的截距最小,即z取得最大值.
由得即A(20,90).
所以zmax=4 800-20×20-10×90=3 500.故选B.
(2)设每天生产椅子x把,桌子y张,利润总额为p,
目标函数为p=1 500x+2 000y,
则作出可行域,
把直线3x+4y=0向右上方平移,直线经过可行域上的点B时p=1 500x+2 000y取最大值,
解方程组
得B坐标为(200,900),p=1 500×200+2 000×900=2 100 000,所以每天应生产椅子200把,桌子900张才能获得最大利润,最大利润为2 100 000元,故答案为2 100 000.
答案:(1)B (2)2 100 000
解线性规划实际应用题的关键是根据求解目标确定引起求解目标变化的两个量x,y(如本例(2)中引起求解目标变化的是椅子和桌子的数量,这两个数量就是x,y),约束条件、求解目标均要围绕这两个变量列式.
热点训练2:(1)(2018·天津市滨海新区八校联考)若x,y∈R,且则z=3x-y的最小值为( )
(A)6 (B)2 (C)1 (D)不存在
(2)(2018·江西赣州红七校联考)设实数x,y满足则u=-的取值范围为( )
(A),2 (B)-,2
(C)-, (D)-,
(3)(2018·江西南昌三模)现某小型服装厂锁边车间有锁边工10名,杂工15名,有7台电脑机,每台电脑机每天可给12件衣服锁边;有5台普通机,每台普通机每天可给10件衣服锁边.如果一天至少有100件衣服需要锁边,用电脑机每台需配锁边工1名,杂工2名,用普通机每台需要配锁边工1名,杂工1名,用电脑机给一件衣服锁边可获利8元,用普通机给一件衣服锁边可获利6元,则该服装厂锁边车间一天最多可获利 元.
解析:(1)可行域如图,直线y=3x-z过点(1,1)时,
z=3x-y取最小值为2,故选B.
(2)作出可行域,如图,
因为u=-,所以设k=,
则k表示可行域中的点与点(0,0)连线的斜率,
由图知k∈,2,
所以u=k-,k∈,2,
由函数单调递增,可知,u∈-,.故选D.
(3)设每天安排电脑机和普通机各x,y台,
则一天可获利z=12×8x+10×6y=96x+60y,
线性约束条件为画出可行域(如图),
可知当目标函数经过A(5,5)时,zmax=780.
答案:(1)B (2)D (3)780
排列组合
【例6】 (1)(2018·辽宁省实验中学一模)篮球比赛中每支球队的出场阵容由5名队员组成,2017年的NBA篮球赛中,休斯顿火箭队采取了“八人轮换”的阵容,即每场比赛只有8名队员有机会出场,这8名队员中包含两名中锋,两名控球后卫,若要求每一套出场阵容中有且仅有一名中锋,至少包含一名控球后卫,则可供休斯顿火箭队的主教练选择的出场阵容的选择有( )
(A)16种 (B)28种 (C)84种 (D)96种
(2)(2018·河北省衡水押题卷)某校举办了“祖国,你好”的诗歌朗诵比赛.该校高三年级准备从包括甲、乙、丙在内的7名学生中选派4名学生参加,要求甲、乙、丙这3名同学中至少有1人参加,且当这3名同学都参加时,甲和乙的朗诵顺序不能相邻,那么选派的4名学生不同的朗诵顺序的种数为( )
(A)720 (B)768 (C)810 (D)816
(3)(2018·内蒙古包钢一中一模)把5名师范大学的毕业生分配到A,B,C三所学校,每所学校至少一人.其中学数学的两人,学语文的两人,学英语的一人,若A校不招收同一学科的毕业生,则不同的分配方法共有( )
(A)148种 (B)132种
(C)126种 (D)84种
解析:(1)有两种出场方案:
①中锋1人,后卫1人,有=16种出场阵容;
②中锋1人,后卫2人,有=12种出场阵容.
共计28种,故选B.
(2)由题知结果有三种情况.
①甲、乙、丙三名同学全参加,有=96种情况,其中甲、乙相邻的有=48种情况,所以甲、乙、丙三名同学全参加时,甲和乙的朗诵顺序不能相邻顺序有96-48=48种情况;
②甲、乙、丙三名同学恰有一人参加,不同的朗诵顺序有=288种情况;
③甲、乙、丙三名同学恰有二人参加时,不同的朗诵顺序有=432种情况.
则选派的4名学生不同的朗诵顺序有288+432+48=768种情况.故选B.
(3)5名师范大学的毕业生分配到A,B,C三所学校,每所学校至少一人,
当A校选一名时有=5种,另外4人分为(3,1)和(2,2)两组,有·+=14种,
故有5×14=70种;
当A校选两名时有-1-1=8种,另外3人分为(2,1)一组,有=6种,故有8×6=48种;
当A校选三名时有·=4种,另外2人分为(1,1)一组,有=2种,故有4×2=8种.
根据分类计数原理得,A校不招收同一学科的毕业生,则不同的分配方法共有70+48+8=126种,故选C.
(1)解排列组合问题的基本方法为直接法和间接法.
(2)解排列组合题的基本原则是“优先考虑特殊元素和特殊位置”.
(3)几种典型的排列组合问题的解法:①相邻问题“捆绑法”,不相邻问题“插空法”;②定序排列问题、相同元素排列的“选位法”(如6人排成一排,甲乙顺序一定,则只要选两个位置给甲乙即可);③分配问题“先分组、再分配”,特别注意不均匀分组、均匀分组、部分均匀分组的分组方法.
热点训练3:(1)(2018·北京朝阳区二模)现将5张连号的电影票分给甲、乙等5个人,每人一张,且甲、乙分得的电影票连号,则共有不同分法的种数为( )
(A)12 (B)24 (C)36 (D)48
(2)(2018·江西重点中学盟校联考)将A,B,C,D,E这5名同学从左至右排成一排,则A与B相邻且A与C之间恰好有一名同学的排法有( )
(A)18 (B)20 (C)21 (D)22
(3)(2018·北京延庆区一模)某翻译公司为提升员工业务能力,为员工开设了英语、法语、西班牙语和德语四个语种的培训过程,要求每名员工参加且只参加其中两种.无论如何安排,都有至少5名员工参加的培训完全相同.问该公司至少有员工( )
(A)17名 (B)21名 (C)25名 (D)29名
解析:(1)先从四组两张连号票比如(1,2),(2,3),(3,4),(4,5)中取出一组,分给甲乙两人,共有=8种,其余三人有种分法,所以共有8=48(种).故选D.
(2)当A,C之间为B时,共有·=12种;
当A,C之间不为B时,先在A,C间插入D,E中任意一个,
共有=8种.
12+8=20,
所以共有20种不同排法.故选B.
(3)员工可选修的情况共有=6种,
若每个情况下都安排4人时,共有24人,也就是若公司有24名员工时,可以不出现5名员工培训相同的情况,故该公司至少有25名员工.故选C.
二项式定理
【例7】 (1)(2018·安徽省宣城市二模)二项式x-6的展开式中常数项为( )
(A)-15 (B)15 (C)-20 (D)20
(2)(2018·河南省新乡市三模)在x2-4的展开式中,系数为有理数的项为( )
(A)第二项 (B)第三项
(C)第四项 (D)第五项
(3)(2018·湖南省两市九月调研)若(1-3x)2 018=a0+a1x+…+a2 018x2 018,x∈R,则a1·3+a2·32+…+a2 018·32 018的值为( )
(A)22 018-1 (B)82 018-1
(C)22 018 (D)82 018
解析:(1)二项展开式的通项公式:
Tk+1=x6-k·-k=x6-k·(-1)k·
=(-1)k.
要使其为常数,则6-k=0,
即k=4,常数项为T5=(-1)4x0==15.
故选B.
(2)由二项展开式通项公式,得
Tr+1=(x2)4-r·-r
=(-1)r·x8-3r.
当4-2r=0时,r=2,该项系数为有理数,
即展开式中第三项系数为有理数.故选B.
(3)令x=0,得a0=1.
令x=3,得a0+a1·3+a2·32+…+a2 018·32 018
=(1-9)2 018=82 018.
所以a1·3+a2·32+…+a2 018·32 018=82 018-a0
=82 018-1.故选B.
(1)求展开式中特定项或者特定项的系数,主要是根据通项公式,得出该项在展开式中的位置,再通过计算得出该项或该项的系数(注意:展开式中项的系数与二项式系数的区别).
(2)求展开式各项系数之和、某些特定项的系数之和、某些与展开式有关的数值之和的基本思想是通过在二项式及其展开式两端对字母进行特殊赋值,再通过相关计算得出的.
热点训练4:(1)(2018·广西柳州市一模)已知x-n的展开式中第4项的二项式系数为20,则x-n的展开式中的常数项为( )
(A)60 (B)-60 (C)80 (D)-80
(2)(2018·广东省海珠区一模)(x+y)(2x-y)6的展开式中x4y3的系数为( )
(A)-80 (B)-40 (C)40 (D)80
(3)(2018·河南洛阳第三次统考)若(1-2 018x)2 017=a0+a1x+a2x2+…+a2 017x2 017(x∈R),则++…+的值为( )
(A)20182 017 (B)1 (C)0 (D)-1
解析:(1)由题意可得=20,得n=6,
则x-n=x-6的展开式的通项公式为
Tr+1=(-)r,
令6-=0,求得r=4,
可得x-n展开式中的常数项为·4=60.
故选A.
(2)二项式(2x-y)6的展开式的通项公式为Tr+1=
(2x)6-r(-y)r,
当r=2时,T3=·24·x4·y2=240x4y2,
当r=3时,T4=·23·x3·(-y)3=-160x3y3,
所以x4y3的系数为240-160=80.故选D.
(3)根据(1-2 018x)2 017=a0+a1x+a2x2+…+a2 017x2 017(x∈R),
令x=0,可得a0=1.再令x=,
可得1+++…+=0,
故++…+=-1,故选D.
【例1】 (1)(2018·天津十二重点中学联考一)已知a>b>0,则2a++的最小值为 ;
(2)(2018·衡水金卷四省第三次联考)如图,在△ABC中,已知=,P为AD上一点,且满足=m+,若△ABC的面积为,∠ACB=,则的最小值为 .
解析:(1)因为a>b>0,
2a++=a+b+a-b++,
所以a+b+≥2,
当且仅当a+b=时取等号;
a-b+≥2,
当且仅当a-b=时取等号.
所以联立解得
a+b+a-b++≥2+2,
当且仅当时,取“=”,
即2a++取得最小值为2+2.
(2)设=λ,则=+λ=+λ(-)=(1-λ)+λ.
由平面向量基本定理可得解得m=,
所以=+,令||=x,||=y,
则S△ABC=||·||·sin∠ACB=xy=,
所以xy=4,且x>0,y>0,
所以||2=x2+y2+xy=x2+y2+
≥2+=,
当且仅当x2=y2,
即3x=4y,即3||=4||时等号成立.
即||min=.
答案:(1)2+2 (2)
【例2】 (1)(2018·安徽江南十校二模)已知x,y满足z=xy的最小值、最大值分别为a,b,且x2-kx+1≥0对x∈[a,b]恒成立,则k的取值范围为( )
(A)[-2,2] (B)(-∞,2]
(C)[-2,+∞) (D)-∞,
(2)(2018·山西孝义一模)已知不等式组表示的平面区域为D,若函数y=|x-1|+m的图象上存在区域D上的点,则实数m的取值范围是( )
(A)0, (B)-2,
(C)[-2,1] (D)-1,
(3)(2018·河南省新乡市三模)设x,y满足约束条件若的最大值为2,则a的值为( )
(A) (B) (C) (D)
(4)(2018·百校联盟高三摸底)若函数y=log2x的图象上存在点(x,y),满足约束条件则实数m的最大值为 .
解析:
(1)作出表示的平面区域(如图所示),
显然z=xy的最小值为0,
易求的交点A(1,1),
当点(x,y)在线段x+2y=3(0≤x≤1)上时,
z=xy=x-=-x2+x≤1;
当点(x,y)在线段2x+y=3(0≤x≤1)上时,
z=xy=x(3-2x)=-2x2+3x≤;
即a=0,b=;
当x=0时,不等式x2-kx+1=1≥0恒成立,
若x2-kx+1≥0对x∈0,恒成立,
则k≤x+在0,上恒成立,
又x+在(0,1]上单调递减,在1,上单调递增,
即x+min=2,即k≤2.故选B.
(2)作出不等式组表示的平面区域D(如图阴影),
函数y=|x-1|的图象为直线y=x-1保留x轴上方的并把x轴下方的上翻得到,
其图象为关于直线x=1对称的折线,
沿x=1上下平移y=|x-1|的图象,
当经过点B时m取最小值,过点A时m取最大值,
由可解得即B(2,-1),
此时有-1=|2-1|+m,解得m=-2;
由可解得
即A(1,1),此时有1=|1-1|+m,解得m=1.
故实数m的取值范围为[-2,1].
故选C.
(3)
设m=x-y,n=x+y,
得x=,y=,
代入不等式组,得
即
关于n,m的不等式组的可行域如图所示,
==,
也就是表示可行域内点与原点连线的斜率,
由条件知斜率最大值为2,此时=2,
由得
即点,在直线m+n-2a=0上,
所以+-2a=0,所以a=.故选C.
(4)作出不等式组表示的平面区域,得到如图的三角形,
再作出对数函数y=log2x的图象,可得该图象与直线x+y-3=0交于点M(2,1),当该点在区域内时,图象上存在点(x,y)满足不等式组,即m≤1符合题意,即m的最大值为1.
答案:(1)B (2)C (3)D (4)1
【例3】 (1)(2018·浙江宁波5月模拟)
若用红、黄、蓝、绿四种颜色填涂如图方格,要求有公共顶点的两个格子颜色不同,则不同的涂色方案有( )
(A)48种 (B)72种 (C)96种 (D)216种
(2)(2018·安徽合肥二模)如图,给7条线段的5个端点涂色,要求同一条线段的两个端点不能同色,现有4种不同的颜色可供选择,则不同的涂色方法有( )
(A)24种 (B)48种 (C)96种 (D)120种
解析:(1)将方格用A,B,C,D,E,F标记如下:
按照以下顺序涂色,
A:→B:→D:→C:→E:→F:,
所以由乘法分步原理得不同的涂色方案数有
·····=96种,
故选C.
(2)若A,D颜色相同,先涂E有4种涂法,再涂A,D有3种涂法,再涂B有2种涂法,C只有一种涂法,共有4×3×2=24种;若颜色A,D不同,先涂E有4种涂法,再涂A有3种涂法,再涂D有2种涂法,当B和D相同时,C有2种涂法,当B和D不同时,C只有一种涂法,共有4×3×2×(2+1)=72种,根据分类计数原理可得,共有24+72=96种,故选C.
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