2019版数学（文）二轮复习通用版讲义：专题二第一讲小题考法——等差数列与等比数列



[全国卷3年考情分析]


第一讲 小题考法——等差数列与等比数列


考点(一)
数列的递推关系式


主要考查方式有两种：一是利用an与Sn的关系求通项an或前n项和Sn；　二是利用an与an＋1的关系求通项an或前n项和Sn.

[典例感悟]
[典例]　(1)(2018·合肥一模)已知数列{an}的前n项和为Sn，若3Sn＝2an－3n，则a2 018＝(　　)
A．22 018－1　　　　　 B.32 018－6
C.2 018－ D.2 018－
(2)(2018·惠州模拟)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1－2an＝2n(n∈N*)，则数列{an}的通项公式an＝________.
(3)(2018·昆明模拟)在数列{an}中，a1＝5，(an＋1－2)(an－2)＝3(n∈N*)，则该数列的前2 018项的和是________．
[解析]　(1)∵3Sn＝2an－3n，∴当n＝1时，3S1＝3a1＝2a1－3，∴a1＝－3.当n≥2时，3an＝3Sn－3Sn－1＝(2an－3n)－(2an－1－3n＋3)，∴an＝－2an－1－3，∴an＋1＝－2(an－1＋1)，∴数列{an＋1}是以－2为首项，－2为公比的等比数列，∴an＋1＝－2×(－2)n－1＝(－2)n，∴an＝(－2)n－1，∴a2 018＝(－2)2 018－1＝22 018－1.故选A.
(2)an＋1－2an＝2n两边同除以2n＋1，可得－＝，又＝，∴数列是以为首项，为公差的等差数列，∴＝＋(n－1)×＝，∴an＝n·2n－1.
(3)依题意得(an＋1－2)(an－2)＝3，(an＋2－2)·(an＋1－2)＝3，因此an＋2－2＝an－2，即an＋2＝an，所以数列{an}是以2为周期的数列．又a1＝5，因此(a2－2)(a1－2)＝3(a2－2)＝3，故a2＝3，a1＋a2＝8.又因为2 018＝2×1 009，所以该数列的前2 018项的和等于1 009(a1＋a2)＝8 072.
[答案]　(1)A　(2)n·2n－1　(3)8 072
[方法技巧]
由an与Sn的关系求通项公式的注意点
(1)应重视分类讨论思想的应用，分n＝1和n≥2两种情况讨论，特别注意an＝Sn－Sn－1成立的前提是n≥2.
(2)由Sn－Sn－1＝an推得an，当n＝1时，a1也适合，则需统一表示(“合写”)．
(3)由Sn－Sn－1＝an推得an，当n＝1时，a1不适合，则数列的通项公式应分段表示(“分写”)，即an＝
[演练冲关]
1．(2019届高三·洛阳四校联考)已知数列满足条件a1＋a2＋a3＋…＋an＝2n＋5，则数列的通项公式为(　　)
A．an＝2n＋1 B．an＝
C．an＝2n D.an＝2n＋2
解析：选B　由题意可知，数列满足条件a1＋a2＋a3＋…＋an＝2n＋5，则n≥2时，有a1＋a2＋a3＋…＋an－1＝2(n－1)＋5，n≥2，
两式相减可得，＝2n＋5－2(n－1)－5＝2，
∴an＝2n＋1，n≥2，n∈N*.
当n＝1时，＝7，∴a1＝14，
综上可知，数列的通项公式为
an＝
2．已知函数f(x)对任意实数x，y满足f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，若数列{an}的前n项和Sn＝f(n)(n∈N*)且a1＝1，那么a2 018＝(　　)
A．－1 B．1
C．－2 018 D.2 018
解析：选B　法一：∵Sn＝f(n)，∴S2＝2S1＝a1＋a2，∴a2＝1，
∵S3＝S1＋S2＝3，∴a3＝1，
∵S4＝S1＋S3＝4，
∴a4＝1，…，∴a2 018＝1.
法二：令x＝1，y＝n，则Sn＋S1＝Sn＋1.
当n≥2时，Sn－1＋S1＝Sn，
∴Sn＋1－Sn＝Sn－Sn－1，故an＋1＝an，
∵a1＝1，可求出a2＝1，∴a2 018＝1.
3．(2018·全国卷Ⅰ)记Sn为数列{an}的前n项和．若Sn＝2an＋1，则S6＝________.
解析：∵Sn＝2an＋1，
∴当n≥2时，Sn－1＝2an－1＋1，
∴an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，
即an＝2an－1.
当n＝1时，a1＝S1＝2a1＋1，得a1＝－1.
∴数列{an}是首项a1为－1，公比q为2的等比数列，
∴Sn＝＝＝1－2n，
∴S6＝1－26＝－63.
答案：－63
4．已知数列{an}的前n项和为Sn＝3＋2n，则数列{an}的通项公式为________．

解析：当n＝1时，a1＝S1＝3＋2＝5；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3＋2n－(3＋2n－1)＝2n－2n－1＝2n－1.因为当n＝1时，不符合an＝2n－1，所以数列{an}的通项公式为an＝
答案：an＝
考点(二)
等差、等比数列的基本运算


主要考查与等差(比)数列的通项公式、前n项和公式有关的五个基本量间的“知三求二”运算.

[典例感悟]
[典例]　(1)(2017·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为(　　)
A．1　　　　　　　　　 B.2
C．4 D.8
(2)(2018·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝(　　)
A．－12 B．－10
C．10 D.12
(3)(2017·全国卷Ⅲ)设等比数列{an}满足a1＋a2＝－1，a1－a3＝－3，则 a4＝________.
(4)(2019届高三·河南十校联考)已知{an}是公差为1的等差数列，Sn为{an}的前n项和，若S8＝4S4，则a10＝________.
[解析]　(1)设等差数列{an}的公差为d，
则由得
即解得d＝4.
(2)设等差数列{an}的公差为d，由3S3＝S2＋S4，
得3(3a1＋3d)＝2a1＋d＋4a1＋6d，即3a1＋2d＝0.
将a1＝2代入上式，解得d＝－3，
故a5＝a1＋(5－1)d＝2＋4×(－3)＝－10.
(3)设等比数列{an}的公比为q，
则a1＋a2＝a1(1＋q)＝－1，
a1－a3＝a1(1－q2)＝－3，
两式相除，得＝，
解得q＝－2，a1＝1，
所以a4＝a1q3＝－8.
(4)∵{an}是公差为1的等差数列，
∴S8＝8a1＋28，S4＝4a1＋6.
∵S8＝4S4，∴8a1＋28＝4(4a1＋6)，
解得a1＝，
∴a10＝a1＋9d＝＋9＝.
[答案]　(1)C　(2)B　(3)－8　(4)
[方法技巧]
等差(比)数列基本运算的解题思路
(1)设基本量：首项a1和公差d(公比q)．
(2)列、解方程(组)：把条件转化为关于a1和d(或q)的方程(组)，然后求解，注意整体计算，以减少运算量．
[演练冲关]
1．(2018·广西模拟)在等差数列{an}中，已知a2＝2，前7项和S7＝56，则公差d＝(　　)
A．2 B．3
C．－2 D.－3
解析：选B　由题意可得即解得选B.
2．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a2a5＝2a3,2a4＋4a7＝5，则S5＝(　　)
A．29 B．31
C．33 D.36
解析：选B　法一：设等比数列{an}的公比为q，由题意知解得所以S5＝＝31，故选B.
法二：设等比数列{an}的公比为q，由a2a5＝2a3，得a4＝2，又2a4＋4a7＝5，所以a7＝，所以q＝，所以a1＝16，所以S5＝＝31，故选B.
3．(2018·开封模拟)已知数列{an}满足log2an＋1＝1＋log2an(n∈N*)，且a1＋a2＋a3＋…＋a10＝1，则log2(a101＋a102＋…＋a110)＝________.
解析：由log2an＋1＝1＋log2an，可得log2an＋1＝log22an，所以an＋1＝2an，所以数列{an}是以a1为首项，2为公比的等比数列，又a1＋a2＋…＋a10＝1，所以a101＋a102＋…＋a110＝(a1＋a2＋…＋a10)×2100＝2100，所以log2(a101＋a102＋…＋a110)＝log22100＝100.
答案：100

考点(三)
等差、等比数列的性质


主要考查利用等差、等比数列的性质求解基本量及与数列单调性有关的参数范围问题.

[典例感悟]
[典例]　(1)(2018·宜昌模拟)已知－9，a1，a2，－1成等差数列，－9，b1，b2，b3，－1成等比数列，则b2(a1＋a2)等于(　　)
A．30　　　　　　　 B.－30
C．±30 D.15
(2)(2018·四川遂宁一诊)已知数列{an}满足an＝若对于任意的n∈N*都有an>an＋1，则实数λ的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
[解析]　(1)依题意a1＋a2＝－9＋(－1)＝－10，
∵b＝(－9)×(－1)＝9，又b2与－9，－1符号相同，即b2＝－3，∴b2(a1＋a2)＝30.
(2)因为an>an＋1，所以数列{an}是递减数列，所以解得S5，得S7＝S6＋a7S5，所以a70，所以{an}为递减数列，又S13＝＝13a70，所以S12S130，且an＝·qn－1，又S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列，所以2(S5＋a5)＝S3＋a3＋S4＋a4，即2(a1＋a2＋a3＋a4＋2a5)＝a1＋a2＋2a3＋a1＋a2＋a3＋2a4，化简得4a5＝a3，从而4q2＝1，解得q＝±，又q>0，故q＝，an＝，选择A.
二、填空题
13．(2018·重庆模拟)在各项均为正数的等比数列{an}中，若a5＝5，则log5a1＋log5a2＋…＋log5a9＝________.
解析：因为数列{an}是各项均为正数的等比数列，所以由等比数列的性质可得a1·a9＝a2·a8＝a3·a7＝a4·a6＝a＝52，则log5a1＋log5a2＋…＋log5a9＝log5(a1·a2·…·a9)＝log5[(a1·a9)·(a2·a8)·(a3·a7)·(a4·a6)·a5]＝log5a＝log559＝9.
答案：9
14．(2018·天津模拟)数列{an}满足a1＋2a2＋4a3＋…＋2n－1an＝2n－1，且数列{an}的前n项和为Sn，若对任意的n∈N*，都有λ2