2019版数学（理）二轮复习通用版讲义：专题五第一讲小题考法——直线与圆



[全国卷3年考情分析]

第一讲 小题考法——直线与圆

考点(一) 直线的方程

主要考查直线方程、两条直线的位置关系及三个距离公式的应用.

[典例感悟]
[典例]　(1)“ab＝4”是“直线2x＋ay－1＝0与直线bx＋2y－2＝0平行”的(　　)
A．充要条件　　　　　 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
(2)过直线l1：x－2y＋3＝0与直线l2：2x＋3y－8＝0的交点，且到点P(0,4)距离为2的直线方程为(　　)
A．y＝2 B．4x－3y＋2＝0
C．x＝2 D．y＝2或4x－3y＋2＝0
[解析]　(1)因为两直线平行，所以2×2－ab＝0，可得ab＝4，必要性成立，又当a＝1，b＝4时，满足ab＝4，但是两直线重合，充分性不成立，故选C.
(2)由得∴l1与l2的交点为(1,2)．当所求直线斜率不存在，即直线方程为x＝1时，显然不满足题意．
当所求直线斜率存在时，设该直线方程为y－2＝k(x－1)，即kx－y＋2－k＝0，
∵点P(0,4)到直线的距离为2，
∴2＝，∴k＝0或k＝.
∴直线方程为y＝2或4x－3y＋2＝0.
[答案]　(1)C　(2)D
[方法技巧]
直线方程问题的2个关注点
(1)求解两条直线平行的问题时，在利用A1B2－A2B1＝0建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的情况．
(2)求直线方程时应根据条件选择合适的方程形式，同时要考虑直线斜率不存在的情况．
[演练冲关]
1．(2018·洛阳模拟)已知直线l1：x＋my－1＝0，l2：nx＋y－p＝0，则“m＋n＝0”是“l1⊥l2”的(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选C　①若m＋n＝0，当m＝n＝0时，直线l1：x－1＝0与直线l2：y－p＝0互相垂直；当m＝－n≠0时，直线l1的斜率为－，直线l2的斜率为－n，∵－·(－n)＝－·m＝－1，∴l1⊥l2.②当l1⊥l2时，若m＝0，l1：x－1＝0，则n＝0，此时m＋n＝0；若m≠0，则－·(－n)＝－1，即－n＝m，有m＋n＝0.故选C.
2．若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，则l1与l2间的距离为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B　由l1∥l2，得(a－2)a＝1×3，且a×2a≠3×6，解得a＝－1，所以l1：x－y＋6＝0，l2：x－y＋＝0，所以l1与l2间的距离d＝＝.
3．直线x＋2y－3＝0与直线ax＋4y＋b＝0关于点A(1,0)对称，则b＝________.
解析：因为两直线关于点A(1,0)对称，在直线x＋2y－3＝0上取两点M(1,1)，N(5，－1)，M，N关于点A(1,0)对称的点分别为M′(1，－1)，N′(－3,1)，则M′(1，－1)，N′(－3,1)都在直线ax＋4y＋b＝0上，即解得a＝b＝2.
答案：2
考点(二) 圆 的 方 程


主要考查圆的方程的求法，常涉及弦长公式、直线与圆相切等问题.
[典例感悟]
[典例]　(1)已知三点A(1,0)，B(0，)，C(2，)，则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为(　　)
A.　　　　　　　　　 B.
C. D.
(2)已知圆C的圆心是直线x－y＋1＝0与x轴的交点，且圆C与直线x＋y＋3＝0相切，则圆C的方程为____________________．
[解析]　(1)设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，
∴∴
∴△ABC外接圆的圆心为，故△ABC外接圆的圆心到原点的距离为 ＝.
(2)易知直线x－y＋1＝0与x轴的交点为(－1,0)，
即圆C的圆心坐标为(－1,0)．
因为直线x＋y＋3＝0与圆C相切，
所以圆心(－1,0)到直线x＋y＋3＝0的距离等于半径r，即r＝＝，
所以圆C的方程为(x＋1)2＋y2＝2.
[答案]　(1)B　(2)(x＋1)2＋y2＝2

[方法技巧]
圆的方程的2种求法
待定系
数法
①根据题意，选择方程形式(标准方程或一般方程)；
②根据条件列出关于a，b，r或D、E、F的方程组；
③解出a，b，r或D、E、F，代入所选的方程中即可
几何法
在求圆的方程过程中，常利用圆的一些性质或定理直接求出圆心和半径，进而可写出标准方程．常用的几何性质有：
①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；
②圆心在任一弦的中垂线上；
③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心在一条直线上

[演练冲关]
1．(2018·长沙模拟)与圆(x－2)2＋y2＝4关于直线y＝x对称的圆的方程是(　　)
A．(x－)2＋(y－1)2＝4
B．(x－)2＋(y－)2＝4
C．x2＋(y－2)2＝4
D．(x－1)2＋(y－)2＝4
解析：选D　圆与圆关于直线对称，则圆的半径相同，只需圆心关于直线对称即可．由题意知已知圆的圆心坐标为(2,0)，半径为2，设所求圆的圆心坐标为(a，b)，
则解得
所以所求圆的圆心坐标为(1，)，半径为2.
从而所求圆的方程为(x－1)2＋(y－)2＝4.
2．(2018·广州模拟)若一个圆的圆心是抛物线x2＝4y的焦点，且该圆与直线y＝x＋3相切，则该圆的标准方程是________________．
解析：抛物线x2＝4y的焦点为(0,1)，即圆心为(0,1)，设该圆的标准方程是x2＋(y－1)2＝r2(r＞0)，因为该圆与直线y＝x＋3相切，所以r＝＝，故该圆的标准方程是x2＋(y－1)2＝2.
答案：x2＋(y－1)2＝2
3．(2018·惠州调研)圆心在直线x－2y＝0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为2，则圆C的标准方程为________________．
解析：设圆心坐标为(a，b)，半径为r.由已知又圆心(a，b)到y轴、x轴的距离分别为|a|，|b|，所以|a|＝r，|b|2＋3＝r2.综上，解得a＝2，b＝1，r＝2，所以圆心坐标为(2,1)，圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.
答案：(x－2)2＋(y－1)2＝4
4．已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．
解析：由二元二次方程表示圆的条件可得a2＝a＋2≠0，解得a＝2或－1.当a＝2时，方程为4x2＋4y2＋4x＋8y＋10＝0，即x2＋y2＋x＋2y＋＝0，配方得2＋(y＋1)2＝－＜0，不表示圆；当a＝－1时，方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，配方得(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，则圆心坐标为(－2，－4)，半径是5.
答案：(－2，－4)　5
考点(三) 直线与圆的位置关系


主要考查直线与圆位置关系的判断、根据直线与圆的位置关系解决弦长问题、参数问题或与圆有关的最值范围问题.

[典例感悟]
[典例]　(1)(2019届高三·齐鲁名校联考)已知圆x2－2x＋y2－2my＋2m－1＝0，当圆的面积最小时，直线y＝x＋b与圆相切，则b＝(　　)
A．±1　　　　　　　　 B．1
C．± D.
(2)(2018·全国卷Ⅲ)直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是(　　)
A．[2,6] B．[4,8]
C．[，3] D．[2，3]
(3)已知点P(x，y)在圆x2＋(y－1)2＝1上运动，则的最大值与最小值分别为________．
[解析]　(1)由题意可知，圆x2－2x＋y2－2my＋2m－1＝0化为标准形式为(x－1)2＋(y－m)2＝m2－2m＋2，圆心为(1，m)，半径r＝，当圆的面积最小时，半径r＝1，此时m＝1，即圆心为(1,1)，由直线和圆相切的条件可知＝1，解得b＝±.故选C.
(2)设圆(x－2)2＋y2＝2的圆心为C，半径为r，点P到直线x＋y＋2＝0的距离为d，
则圆心C(2,0)，r＝，
所以圆心C到直线x＋y＋2＝0的距离为＝2，
可得dmax＝2＋r＝3，dmin＝2－r＝.
由已知条件可得|AB|＝2，
所以△ABP面积的最大值为|AB|·dmax＝6，
△ABP面积的最小值为|AB|·dmin＝2.
综上，△ABP面积的取值范围是[2,6]．
(3)设＝k，则k表示点P(x，y)与点A(2,1)连线的斜率．当直线PA与圆相切时，k取得最大值与最小值．设过(2,1)的直线方程为y－1＝k(x－2)，即kx－y＋1－2k＝0.由＝1，解得k＝±.
[答案]　(1)C　(2)A　(3)，－
[方法技巧]
1．直线(圆)与圆位置关系问题的求解思路
(1)研究直线与圆的位置关系主要通过将圆心到直线的距离同半径做比较实现，两圆位置关系的判断依据是两圆心距离与两半径差与和的大小关系．
(2)直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立关于切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式．过圆外一点求解切线段长的问题，可先求出圆心到圆外点的距离，再结合半径利用勾股定理计算．
2．与圆有关最值问题的求解策略
处理与圆有关的最值问题时，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，利用转化思想和数形结合思想求解．与圆有关的最值问题，常见类型及解题思路如下：
常见类型
解题思路
圆的面积最小问题
转化为求半径最小问题
圆上的点到圆外的点(直
线)的距离的最值
应先求圆心到圆外的点(直线)的距离，再加上半径或减去半径求得最值
μ＝型
转化为动直线斜率的最值问题
t＝ax＋by型
转化为动直线截距的最值问题，或用三角代换求解
m＝(x－a)2＋(y－b)2型
转化为动点与定点的距离的平方的最值问题

[演练冲关]
1．(2018·宁夏银川九中模拟)直线l：kx＋y＋4＝0(k∈R)是圆C：x2＋y2＋4x－4y＋6＝0的一条对称轴，过点A(0，k)作斜率为1的直线m，则直线m被圆C所截得的弦长为(　　)
A. B.
C. D．2
解析：选C　圆C：x2＋y2＋4x－4y＋6＝0，即(x＋2)2＋(y－2)2＝2，表示以C(－2,2)为圆心，为半径的圆．由题意可得，直线l：kx＋y＋4＝0经过圆心C(－2,2)，所以－2k＋2＋4＝0，解得k＝3，所以点A(0,3)，故直线m的方程为y＝x＋3，即x－y＋3＝0，则圆心C到直线m的距离d＝＝，所以直线m被圆C所截得的弦长为2× ＝.故选C.
2．(2018·江苏苏州二模)已知直线l1：x－2y＝0的倾斜角为α，倾斜角为2α的直线l2与圆M：x2＋y2＋2x－2y＋F＝0交于A，C两点，其中A(－1,0)，B，D在圆M上，且位于直线l2的两侧，则四边形ABCD的面积的最大值是________．
解析：由题意知，tan α＝，则tan 2α＝＝.
直线l2过点A(－1,0)，则l2：y＝(x＋1)，即4x－3y＋4＝0，
又A是圆M上的点，则(－1)2＋2×(－1)＋F＝0，得F＝1，
圆M的标准方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圆心M(－1,1)，
其到l2的距离d＝＝.
则|AC|＝2＝.
因为B，D两点在圆上，且位于直线l2的两侧，则四边形ABCD的面积可以看成是△ABC和△ACD的面积之和，如图所示，当BD垂直平分AC(即BD为直径)时，两三角形的面积之和最大，即四边形ABCD的面积最大，此时AC，BD相交于点E，则最大面积S＝×|AC|×|BE|＋×|AC|×|DE|＝×|AC|×|BD|＝××2＝.
答案：
3．(2018·广西桂林中学5月模拟)已知从圆C：(x＋1)2＋(y－2)2＝2外一点P(x1，y1)向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，则当|PM|取最小值时点P的坐标为____________．
解析：如图所示，连接CM，CP.由题意知圆心C(－1,2)，半径r＝.因为|PM|＝|PO|，所以|PO|2＋r2＝|PC|2，所以x＋y＋2＝(x1＋1)2＋(y1－2)2，即2x1－4y1＋3＝0.要使|PM|的值最小，只需|PO|的值最小即可．当PO垂直于直线2x－4y＋3＝0时，即PO所在直线的方程为2x＋y＝0时，|PM|的值最小，此时点P为两直线的交点，则解得故当|PM|取最小值时点P的坐标为.
答案：
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[主干知识要记牢]
1．直线方程的五种形式
点斜式
y－y1＝k(x－x1)(直线过点P1(x1，y1)，且斜率为k，不能表示y轴和平行于y轴的直线)
斜截式
y＝kx＋b(b为直线在y轴上的截距，且斜率为k，不能表示y轴和平行于y轴的直线)
两点式
＝(直线过点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，且x1≠x2，y1≠y2，不能表示坐标轴和平行于坐标轴的直线)
截距式
＋＝1(a，b分别为直线的横、纵截距，且a≠0，b≠0，不能表示坐标轴、平行于坐标轴和过原点的直线)
一般式
Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)

2．点到直线的距离及两平行直线间的距离
(1)点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离为d＝.
(2)两平行线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离为d＝.
3．圆的方程
(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
(2)圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)．
(3)圆的直径式方程：(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0(圆的直径的两端点是A(x1，y1)，B(x2，y2))．
4．直线与圆位置关系的判定方法
(1)代数方法(判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况)：Δ>0⇔相交，Δ0)，将A(－1,0)，B(3,0)，C(1,2)的坐标代入圆的方程可得解得D＝－2，E＝0，F＝－3，所以圆的方程为x2＋y2－2x－3＝0，即(x－1)2＋y2＝4，所以圆的半径r＝2，所以S＝4π.故选D.
法二：根据A，B两点的坐标特征可知圆心在直线x＝1上，设圆心坐标为(1，a)，则r＝＝|a－2|，所以a＝0，r＝2，所以S＝4π，故选D.
3．已知圆(x－1)2＋y2＝1被直线x－y＝0分成两段圆弧，则较短弧长与较长弧长之比为(　　)
A．1∶2 B．1∶3
C．1∶4 D．1∶5
解析：选A　(x－1)2＋y2＝1的圆心为(1,0)，半径为1.圆心到直线的距离d＝＝，所以较短弧所对的圆心角为，较长弧所对的圆心角为，故两弧长之比为1∶2，故选A.
4．(2018·山东临沂模拟)已知直线3x＋ay＝0(a>0)被圆(x－2)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则a的值为(　　)
A. B.
C．2 D．2
解析：选B　由已知条件可知，圆的半径为2，又直线被圆所截得的弦长为2，故圆心到直线的距离为，即＝，得a＝.
5．(2018·郑州模拟)已知圆(x－a)2＋y2＝1与直线y＝x相切于第三象限，则a的值是(　　)
A. B．－
C．± D．－2
解析：选B　依题意得，圆心(a,0)到直线x－y＝0的距离等于半径，即有＝1，|a|＝.又切点位于第三象限，结合图形(图略)可知，a＝－，故选B.
6．(2018·山东济宁模拟)已知圆C过点A(2,4)，B(4,2)，且圆心C在直线x＋y＝4上，若直线x＋2y－t＝0与圆C相切，则t的值为(　　)
A．－6±2 B．6±2
C．2±6 D．6±4
解析：选B　因为圆C过点A(2,4)，B(4,2)，所以圆心C在线段AB的垂直平分线y＝x上，又圆心C在直线x＋y＝4上，联立解得x＝y＝2，即圆心C(2,2)，圆C的半径r＝＝2.又直线x＋2y－t＝0与圆C相切，所以＝2，解得t＝6±2.
7．若过点A(1,0)的直线l与圆C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0相交于P，Q两点，线段PQ的中点为M，l与直线x＋2y＋2＝0的交点为N，则|AM|·|AN|的值为(　　)
A．5 B．6
C．7 D．8
解析：选B　圆C的方程化成标准方程可得(x－3)2＋(y－4)2＝4，故圆心C(3,4)，半径为2，则可设直线l的方程为kx－y－k＝0(k≠0)，由得N，又直线CM与l垂直，得直线CM的方程为y－4＝－(x－3)．
由
得M，
则|AM|·|AN|＝·＝××＝6.故选B.
8．(2019届高三·湘东五校联考)圆(x－3)2＋(y－3)2＝9上到直线3x＋4y－11＝0的距离等于2的点有(　　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：选B　圆(x－3)2＋(y－3)2＝9的圆心为(3,3)，半径为3，圆心到直线3x＋4y－11＝0的距离d＝＝2，∴圆上到直线3x＋4y－11＝0的距离为2的点有2个．故选B.
9．圆x2＋y2＝1上的点到直线3x＋4y－25＝0的距离的最小值为(　　)
A．4 B．3
C．5 D．6
解析：选A　易知圆x2＋y2＝1的圆心坐标为(0,0)，半径为1，圆心到直线3x＋4y－25＝0的距离d＝＝5，所以圆x2＋y2＝1上的点到直线3x＋4y－25＝0的距离的最小值为5－1＝4.
10．(2019届高三·西安八校联考)若过点A(3,0)的直线l与曲线(x－1)2＋y2＝1有公共点，则直线l斜率的取值范围为(　　)
A．(－，) B．[－， ]
C. D.
解析：选D　数形结合可知，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x－3)，则圆心(1,0)到直线y＝k(x－3)的距离应小于等于半径1，即≤1，解得－≤k≤，故选D.
11．在平面直角坐标系xOy中，已知A(－1,0)，B(0,1)，则满足|PA|2－|PB|2＝4且在圆x2＋y2＝4上的点P的个数为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选C　设P(x，y)，则由|PA|2－|PB|2＝4，得(x＋1)2＋y2－x2－(y－1)2＝4，所以x＋y－2＝0.求满足条件的点P的个数即为求直线与圆的交点个数，圆心到直线的距离d＝＝＜2＝r，所以直线与圆相交，交点个数为2.故满足条件的点P有2个．
12．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0，－2)，点B(1，－1)，P为圆x2＋y2＝2上一动点，则的最大值是(　　)
A．1 B．3
C．2 D.
解析：选C　设动点P(x，y)，令＝t(t>0)，则＝t2，整理得，(1－t2)x2＋(1－t2)y2－2x＋(2－4t2)y＋2－4t2＝0，(*)
易知当1－t2≠0时，(*)式表示一个圆，且动点P在该圆上，
又点P在圆x2＋y2＝2上，所以点P为两圆的公共点，两圆方程相减得两圆公共弦所在直线l的方程为x－(1－2t2)y－2＋3t2＝0，
所以圆心(0,0)到直线l的距离d＝≤，解得0，解得k>1或k0，n>0，直线(m＋1)x＋(n＋1)y－2＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝1相切，所以圆心C(1,1)到直线的距离d＝＝1，即|m＋n|＝，两边平方并整理得m＋n＋1＝mn≤2，即(m＋n)2－4(m＋n)－4≥0，解得m＋n≥2＋2，所以m＋n的取值范围为[2＋2，＋∞)．
答案：[2＋2，＋∞)