2020新课标高考数学二轮讲义：第三部分回顾2函数与导数

回顾2　函数与导数

[必记知识]

1．函数的定义域和值域

(1)求函数定义域的类型和相应方法

①若已知函数的解析式，则函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围．

②若已知f(x)的定义域为[a，b]，则f(g(x))的定义域为不等式a≤g(x)≤b的解集；反之，已知f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为函数y＝g(x)(x∈[a，b])的值域．

(2)常见函数的值域

①一次函数y＝kx＋b(k≠0)的值域为R.

②二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)：当a＞0时，值域为，当a＜0时，值域为；

③反比例函数y＝(k≠0)的值域为{y∈R|y≠0}．

[提醒]　(1)解决函数问题时要注意函数的定义域，要树立定义域优先原则.

(2)解决分段函数问题时，要注意与解析式对应的自变量的取值范围.

2．函数的奇偶性、周期性

(1)奇偶性是函数在其定义域上的整体性质，对于定义域内的任意x(定义域关于原点对称)，都有f(－x)＝－f(x)成立，则f(x)为奇函数(都有f(－x)＝f(x)成立，则f(x)为偶函数)．

(2)周期性是函数在其定义域上的整体性质，一般地，对于函数f(x)，如果对于定义域内的任意一个x的值，若f(x＋T)＝f(x)(T≠0)，则f(x)是周期函数，T是它的一个周期．

[提醒]　判断函数的奇偶性，要注意定义域必须关于原点对称，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响.

3．函数的单调性

函数的单调性是函数在其定义域上的局部性质．

①单调性的定义的等价形式：设x1，x2∈[a，b]，

那么(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0⇔＞0⇔f(x)在[a，b]上是增函数；

(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0⇔＜0⇔f(x)在[a，b]上是减函数．

②若函数f(x)和g(x)都是减函数，则在公共定义域内，f(x)＋g(x)是减函数；若函数f(x)和g(x)都是增函数，则在公共定义域内，f(x)＋g(x)是增函数；根据同增异减判断复合函数y＝f(g(x))的单调性．

[提醒]　求函数单调区间时，多个单调区间之间不能用符号“∪”和“或”连接，可用“与”连接或用“，”隔开.单调区间必须是“区间”，而不能用集合或不等式代替.

4．指数函数与对数函数的基本性质

(1)定点：y＝ax(a＞0，且a≠1)恒过(0，1)点；

y＝logax(a＞0，且a≠1)恒过(1，0)点．

(2)单调性：当a＞1时，y＝ax在R上单调递增；y＝logax在(0，＋∞)上单调递增；

当0＜a＜1时，y＝ax在R上单调递减；y＝logax在(0，＋∞)上单调递减．

5．导数的几何意义

(1)f′(x0)的几何意义：曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，该切线的方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．

(2)切点的两大特征：①在曲线y＝f(x)上；②在切线上．

6．利用导数研究函数的单调性

(1)求可导函数单调区间的一般步骤

①求函数f(x)的定义域；

②求导函数f′(x)；

③由f′(x)＞0的解集确定函数f(x)的单调增区间，由f′(x)＜0的解集确定函数f(x)的单调减区间．

(2)由函数的单调性求参数的取值范围

①若可导函数f(x)在区间M上单调递增，则f′(x)≥0(x∈M)恒成立；若可导函数f(x)在区间M上单调递减，则f′(x)≤0(x∈M)恒成立(注意：等号不恒成立)；

②若可导函数在某区间上存在单调递增(减)区间，f′(x)＞0(或f′(x)＜0)在该区间上存在解集；

③若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，则I是其单调区间的子集．

[提醒]　已知可导函数f(x)在(a，b)上单调递增(减)，则f′(x)≥0(≤0)对∀x∈(a，b)恒成立，不能漏掉“＝”，且需验证“＝”不能恒成立；已知可导函数f(x)的单调递增(减)区间为(a，b)，则f′(x)＞0(＜0)的解集为(a，b).

7．利用导数研究函数的极值与最值

(1)求函数的极值的一般步骤

①确定函数的定义域；

②解方程f′(x)＝0；

③判断f′(x)在方程f′(x)＝0的根x0两侧的符号变化：

若左正右负，则x0为极大值点；

若左负右正，则x0为极小值点；

若不变号，则x0不是极值点．

(2)求函数f(x)在区间[a，b]上的最值的一般步骤

①求函数y＝f(x)在[a，b]内的极值；

②比较函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)的大小，最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．

[提醒]　f′(x)＝0的解不一定是函数f(x)的极值点.一定要检验在x＝x0的两侧f′(x)的符号是否发生变化，若变化，则为极值点；若不变化，则不是极值点.

[必会结论]

1．函数周期性的常见结论

(1)若f(x＋a)＝f(x－a)(a≠0)，则函数f(x)的周期为2|a|；若f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)，则函数f(x)的周期为2|a|.

(2)若f(x＋a)＝－(a≠0，f(x)≠0)，则函数f(x)的周期为2|a|；若f(x＋a)＝(a≠0，f(x)≠0)，则函数f(x)的周期为2|a|.

(3)若f(x＋a)＝f(x＋b)(a≠b)，则函数f(x)的周期为|a－b|.

(4)若函数f(x)的图象关于直线x＝a与x＝b(a≠b)对称，则函数f(x)的周期为2|b－a|.

(5)若函数f(x)是偶函数，其图象关于直线x＝a(a≠0)对称，则函数f(x)的周期为2|a|.

(6)若函数f(x)是奇函数，其图象关于直线x＝a(a≠0)对称，则函数f(x)的周期为4|a|.

2．函数图象的对称性

(1)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(a－x)，即f(x)＝f(2a－x)，则f(x)的图象关于直线x＝a对称；

(2)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝－f(a－x)，即f(x)＝－f(2a－x)，则f(x)的图象关于点(a，0)对称；

(3)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝对称．

3．三次函数的相关结论

给定三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，求导得f′(x)＝3ax2＋2bx＋c(a≠0)，则

(1)当4(b2－3ac)＞0时，f′(x)＝0有两个实数解，即f(x)有两个极值点；当4(b2－3ac)≤0时，f(x)无极值点．

(2)若函数f(x)的图象存在水平切线，则f′(x)＝0有实数解，从而4(b2－3ac)≥0.

(3)若函数f(x)在R上单调递增，则a＞0且4(b2－3ac)≤0.

[必练习题]

1．函数f(x)＝－的定义域为(　　)

A．[1，10]　　　　　　 B．[1，2)∪(2，10]

C．(1，10] D．(1，2)∪(2，10]

解析：选D.要使原函数有意义，则解得1＜x≤10且x≠2，所以函数f(x)＝－的定义域为(1，2)∪(2，10]，故选D.

2．已知函数f(x)＝则f的值是(　　)

A．0 B．1

C． D．－

解析：选C.因为f(x)＝且0＜＜1，＞1，所以f＝f()＝log2＝，故选C.

3．已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ax－a－x＋2(a＞0，a≠1)，若g(2)＝a，则f(2)等于(　　)

A．2 B．

C． D．a2

解析：选B.由题意知f(－x)＋g(－x)＝a－x－ax＋2，

又f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，

所以g(x)－f(x)＝a－x－ax＋2.　①

又g(x)＋f(x)＝ax－a－x＋2.　②

①＋②得g(x)＝2，

②－①得f(x)＝ax－a－x，

又g(2)＝a，所以a＝2，

所以f(x)＝2x－2－x，

所以f(2)＝4－＝，故选B.

4．若a＞b＞0，0＜c＜1，则(　　)

A．logac＜logbc B．logca＜logcb

C．ac＜bc D．ca＞cb

解析：选B.由y＝xc与y＝cx的单调性知，C、D不正确．因为y＝logcx是减函数，得logca＜logcb，B正确．logac＝，logbc＝，因为0＜c＜1，所以lg c＜0.而a＞b＞0，所以lg a＞lg b，但不能确定lg a，lg b的正负，所以logac与logbc的大小不能确定．

5．函数f(x)＝cos x(－π≤x≤π且x≠0)的图象可能为(　　)

解析：选D.函数f(x)＝cos x(－π≤x≤π且x≠0)为奇函数，排除选项A，B；当x＝π时，f(π)＝cos π＝－π＜0，排除选项C，故选D.

6．已知定义在R上的奇函数f(x)的导函数为f′(x)，当x＞0时，f′(x)＜，且f(－1)＝0，则使得f(x)＞0成立的x的取值范围是(　　)

A．(－1，0)∪(1，＋∞) B．(－∞，－1)∪(0，1)

C．(0，1)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(－1，0)

解析：选B.设F(x)＝，因为f(x)为奇函数，所以F(x)为偶函数．F′(x)＝[xf′(x)－f(x)]，x＞0时，F′(x)＜0，所以F(x)在(0，＋∞)上为减函数，在(－∞，0)上为增函数，F(1)＝F(－1)＝0，结合F(x)的图象得f(x)＞0的解为(－∞，－1)∪(0，1)．

7．已知函数f(x)＝2ax－a＋3，若∃x0∈(－1，1)，使得f(x0)＝0，则实数a的取值范围是________．

解析：依题意可得f(－1)·f(1)＜0，即(－2a－a＋3)(2a－a＋3)＜0，解得a＜－3或a＞1.

答案：(－∞，－3)∪(1，＋∞)

8．函数y＝ex－x在区间[－1，1]上的最大值为________．

解析：f′(x)＝ex－1，令f′(x)＝0，解得x＝0，又f(－1)＝＋1，f(1)＝e－1，f(0)＝e0－0＝1，而e－1＞＋1＞1，所以函数f(x)＝ex－x在区间[－1，1]上的最大值为e－1.

答案：e－1

9．设函数f(x)＝g＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为9x＋y－1＝0，则曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为________．

解析：由已知得g′(1)＝－9，g(1)＝－8，又f′(x)＝g′＋2x，所以f′(2)＝g′(1)＋4＝－＋4＝－，f(2)＝g(1)＋4＝－4，所以所求切线方程为y＋4＝－(x－2)，即x＋2y＋6＝0.

答案：x＋2y＋6＝0

10．已知定义在R上的函数y＝f(x)满足条件f＝－f(x)，且函数y＝f为奇函数，给出以下四个结论：

①函数f(x)是周期函数；

②函数f(x)的图象关于点对称；

③函数f(x)为R上的偶函数；

④函数f(x)为R上的单调函数．

其中正确结论的序号为________(写出所有正确结论的序号)．

解析：f(x＋3)＝f＝－f＝f(x)，所以f(x)是周期为3的周期函数，①正确；函数f是奇函数，其图象关于点(0，0)对称，则f(x)的图象关于点对称，②正确；因为f(x)的图象关于点对称，－＝，

所以f(－x)＝－f，又f＝

－f＝－f(x)，所以f(－x)＝f(x)，③正确；f(x)是周期函数，在R上不可能是单调函数，④错误．故正确结论的序号为①②③.

答案：①②③