【期末复习】2020年九年级数学上册 期末复习专题 圆解答题 专练（含答案）

【期末复习】2020年九年级数学上册 期末复习专题 圆解答题 专练1.如图，⊙O的半径OA⊥OC，点D在上，且=2，OA=4．（1）∠COD=　   　°；（2）求弦AD的长；（3）P是半径OC上一动点，连结AP、PD，请求出AP+PD的最小值，并说明理由．        2.如图，AB是的直径，AC是弦，直线EF和相切与点C，，垂足为D.   （1）求证；（2）如图，若把直线EF向上移动，使得EF与相交于G，C两点（点C在点G的右侧），连结AC，AG，若题中其他条件不变，这时图中是否存在与相等的角？若存在，找出一个这样的角，并证明；若不存在，说明理由.          3.如图，在矩形ABCD中，AB=8，AD=12，过点A，D两点的⊙O与BC边相切于点E，求⊙O的半径．             4.如图，AB为⊙O的弦，若OA⊥OD,AB、OD相交于点C,且CD=BD.  （1）判定BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；  （2）当OA=3，OC=1时，求线段BD的长.                5.如图，点O为Rt△ABC斜边AB上一点，以OA为半径的⊙O与BC切于点D，与AC交于点E，连接AD．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）若∠BAC=60°，OA=2，求阴影部分的面积（结果保留π）．        6.已知P是⊙O外一点，PO交⊙O于点C，OC=CP=2，弦AB⊥OC，∠AOC的度数为60°，连接PB．（1）求BC的长；（2）求证：PB是⊙O的切线．                7.如图，△ABC内接于⊙O，且AB=AC，延长BC至点D，使CD=CA，连接AD交⊙O于点E，连接BE，CE.(1)求证：△ABE≌△CDE；(2)填空：①当∠ABC的度数为        时，四边形AOCE是菱形；②若AE=6，EF=4，DE的长为        ．         8.如图，⊙O是△ABC的外接圆，O点在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD、CD，过点D作BC的平行线，与AB的延长线相交于点P．（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）求证：△PBD∽△DCA；（3）当AB=6，AC=8时，求线段PB的长．             9.如图，AB是⊙O的直径，=，E是OB的中点，连接CE并延长到点F，使EF=CE．连接AF交⊙O于点D，连接BD，BF．（1）求证：直线BF是⊙O的切线；（2）若OB=2，求BD的长．        10.如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC=BC.延长DA与⊙O的另一个交点为E，连接AC，CE.  (1)求证：∠B=∠D；    (2)若AB=13，BC﹣AC=7，求CE的长.               11.如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=12cm，AD=13cm，BC=22cm，AB是⊙O的直径，动点P从点A出发向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C出发向点B以2cm/s的速度运动．点P、Q同时出发，其中一个点停止时，另一个点也停止运动．设运动时间为t秒．（1）求当t为何值时，PQ与⊙O相切？（2）直接写出PQ与⊙O相交时t的取值范围．         12.如图，在△ACE中,CA=CE,∠CAE=30°,⊙O经过点C,且圆的直径AB在线段AE上．（1）试说明CE是⊙O的切线；（2）若△ACE中AE边上的高为h，试用含h的代数式表示⊙O的直径AB；（3）设点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD，当0.5CD+OD的最小值为6时，求⊙O的直径AB的长．           13.如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点. ∠APC=∠CPB=60°.(1)判断△ABC的形状：             ；(2)试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论； (3)当点P位于的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积.        14.如图直角坐标系中，已知A（﹣8，0），B（0，6），点M在线段AB上．（1）如图1，如果点M是线段AB的中点，且⊙M的半径为4，试判断直线OB与⊙M的位置关系，并说明理由；（2）如图2，⊙M与x轴、y轴都相切，切点分别是点E、F，试求出点M的坐标．               15.如图，点C在以AB为直径的半圆上，AB=8，∠CBA=30°，点D在线段AB上从点A运动到点B，点E与点D关于AC对称，DF⊥DE于点D，并交EC的延长线于点F.（1）求证：CE=CF；（2）求线段EF的最小值；（3）当点D从点A运动到点B时，试求线段EF扫过的面积（直接写出结果）．               
参考答案1.解： 2. 3.解：连接OE，并反向延长交AD于点F，连接OA，∵BC是切线，∴OE⊥BC，∴∠OEC=90°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠C=∠D=90°，∴四边形CDFE是矩形，∴EF=CD=AB=8，OF⊥AD，∴AF=AD=×12=6，设⊙O的半径为x，则OE=EF﹣OE=8﹣x，在Rt△OAF中，OF2+AF2=OA2，则（8﹣x）2+36=x2，解得：x=6.25，∴⊙O的半径为：6.25．  4.证明：连接OB， ∵OA=OB，CD=DB，∴∠OAC=∠OBC，∠DCB=∠DBC．∵∠OAC+∠ACO=90°，∠ACO=∠DCB，∴∠OBC+∠DBC=90°．∴OB⊥BD．即BD是⊙O的切线． （2）BD=4. 5.（1）证明：∵⊙O切BC于D，∴OD⊥BC，∵AC⊥BC，∴AC∥OD，∴∠CAD=∠ADO，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ADO，∴∠OAD=∠CAD，即AD平分∠CAB；（2）设EO与AD交于点M，连接ED．∵∠BAC=60°，OA=OE，∴△AEO是等边三角形，∴AE=OA，∠AOE=60°，∴AE=AO=OD，又由（1）知，AC∥OD即AE∥OD，∴四边形AEDO是菱形，则△AEM≌△DMO，∠EOD=60°，∴S△AEM=S△DMO，∴S阴影=S扇形EOD==．6.（1）解：如图，连接OB．∵AB⊥OC，∠AOC=60°，∴∠OAB=30°，∵OB=OA，∴∠OBA=∠OAB=30°，∴∠BOC=60°，∵OB=OC，∴△OBC的等边三角形，∴BC=OC．又OC=2，∴BC=2；（2）证明：由（1）知，△OBC的等边三角形，则∠COB=60°，BC=OC．∵OC=CP，∴BC=PC，∴∠P=∠CBP．又∵∠OCB=60°，∠OCB=2∠P，∴∠P=30°，∴∠OBP=90°，即OB⊥PB．又∵OB是半径，∴PB是⊙O的切线． 7. (1)证明：∵AB=AC，CD=CA，∴∠ABC=∠ACB，AB=CD．∵四边形ABCE是⊙O的内接四边形，∴∠ECD=∠BAE，∠CED=∠ABC．∵∠ABC=∠ACB=∠AEB，∴∠CED=∠AEB．在△ABE和△CDE中，∴△ABE≌△CDE(AAS)．(2)解：①60°；②9.8.（1）证明：∵圆心O在BC上，∴BC是圆O的直径，∴∠BAC=90°，连接OD，∵AD平分∠BAC，∴∠BAC=2∠DAC，∵∠DOC=2∠DAC，∴∠DOC=∠BAC=90°，即OD⊥BC，∵PD∥BC，∴OD⊥PD，∵OD为圆O的半径，∴PD是圆O的切线；（2）证明：∵PD∥BC，∴∠P=∠ABC，∵∠ABC=∠ADC，∴∠P=∠ADC，∵∠PBD+∠ABD=180°，∠ACD+∠ABD=180°，∴∠PBD=∠ACD，∴△PBD∽△DCA；（3）解：∵△ABC为直角三角形，∴BC2=AB2+AC2=62+82=100，∴BC=10，∵OD垂直平分BC，∴DB=DC，∵BC为圆O的直径，∴∠BDC=90°，在Rt△DBC中，DB2+DC2=BC2，即2DC2=BC2=100，∴DC=DB=5，∵△PBD∽△DCA，∴=，则PB===．9.（1）证明：连接OC，∵AB是⊙O的直径，=，∴∠BOC=90°，∵E是OB的中点，∴OE=BE，在△OCE和△BFE中，∵，∴△OCE≌△BFE（SAS），∴∠OBF=∠COE=90°，∴直线BF是⊙O的切线；（2）解：∵OB=OC=2，由（1）得：△OCE≌△BFE，∴BF=OC=2，∴AF===2，∴S△ABF=，4×2=2•BD，∴BD=．10.（1）证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴AC⊥BC，
又∵DC=CB，∴AD=AB，∴∠B=∠D（2）解：设BC=x，则AC=x﹣7，  
在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2， 即（x﹣7）2+x2=132，解得：x1=12，x2=﹣5（舍去），
∵∠B=∠E，∠B=∠D，∴∠D=∠E，∴CD=CE，
∵CD=CB，∴CE=CB=12                    11.解：（1））设PQ与⊙O相切于点H过点P作PE⊥BC，垂足为E；∵直角梯形ABCD，AD∥BC，∴PE=AB，∵AP=BE=t，CQ=2t，∴BQ=BC﹣CQ=22﹣2t，EQ=BQ﹣BE=22﹣2t﹣t=22﹣3t；∵AB为⊙O的直径，∠ABC=∠DAB=90°，∴AD、BC为⊙O的切线，∴AP=PH，HQ=BQ，∴PQ=PH+HQ=AP+BQ=t+22﹣2t=22﹣t；在Rt△PEQ中，PE2+EQ2=PQ2，∴122+（22﹣3t）2=（22﹣t）2，即：8t2﹣88t+144=0，∴t2﹣11t+18=0，（t﹣2）（t﹣9）=0，∴t1=2，t2=9；∵P在AD边运动的时间为==13秒，Q在CB边运动的时间为==11，∴当t=2或9秒时，PQ与⊙O相切．（2）由（1）可知PQ与⊙O相交时t的取值范围为0≤t＜2  或  9＜t≤11．12.解：（1）连接OC，如图1，              ∵CA=CE，∠CAE=30°，              ∴∠E=∠CAE=30°，∠COE=2∠A=60°，∴∠OCE=90°，∴CE是⊙O的切线；              （2）过点C作CH⊥AB于H，连接OC，如图2，              由题可得CH=h．在Rt△OHC中，CH=OCsin∠COH，∴h=OCsin60°=OC，              ∴OC==h，∴AB=2OC=h；              （3）作OF平分∠AOC，交⊙O于F，连接AF、CF、DF，如图3，              则∠AOF=∠COF=∠AOC=（180°﹣60°）=60°．              ∵OA=OF=OC，∴△AOF、△COF是等边三角形，              ∴AF=AO=OC=FC，∴四边形AOCF是菱形，∴根据对称性可得DF=DO．              过点D作DH⊥OC于H，              ∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC=30°，              ∴DH=DCsin∠DCH=DCsin30°=DC，∴CD+OD=DH+FD．              根据两点之间线段最短可得：              当F、D、H三点共线时，DH+FD（即CD+OD）最小，              此时FH=OFsin∠FOH=OF=6，则OF=4，AB=2OF=8．              ∴当CD+OD的最小值为6时，⊙O的直径AB的长为8．               13. 理由如下：如图2，过点P作PE⊥AB，垂足为E， 14.解：（1）直线OB与⊙M相切，理由：设线段OB的中点为D，连结MD，如图1，∵点M是线段AB的中点，所以MD∥AO，MD=4．∴∠AOB=∠MDB=90°，∴MD⊥OB，点D在⊙M上，又∵点D在直线OB上，∴直线OB与⊙M相切；（2）解：连接ME，MF，如图2，∵A（﹣8，0），B（0，6），∴设直线AB的解析式是y=kx+b，∴，解得：k=，b=6，即直线AB的函数关系式是y=x+6，∵⊙M与x轴、y轴都相切，∴点M到x轴、y轴的距离都相等，即ME=MF，设M（a，﹣a）（﹣8＜a＜0），把x=a，y=﹣a代入y=x+6，得﹣a=a+6，得a=﹣，∴点M的坐标为（﹣，）．      15.