2020数学（文）二轮教师用书：第2部分专题6第2讲　导数的简单应用


第2讲　导数的简单应用

[做小题——激活思维]
1．设曲线y＝a(x－1)－ln x在点(1,0)处的切线方程为y＝2x－2，则a＝________.
[答案]　3
2．函数f(x)＝的单调增区间是________．
[答案]　(0，e)
3．已知函数f(x)＝x3－2x＋ex－，其中e是自然对数的底数．若f(a－1)＋f(2a2)≤0，则实数a的取值范围是________．
[答案]　
4．已知函数f(x)＝x3－12x＋8在区间[－3,3]上的最大值与最小值分别为M，m，则M－m＝________.
[答案]　32
5．若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1的极值点，则f(x)的极小值为________．
[答案]　－1
[扣要点——查缺补漏]
1．导数的几何意义
(1)f′(x0)表示函数f(x)在x＝x0处的瞬时变化率．
(2)f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处切线的斜率，如T1.
2．导数与函数的单调性
(1)若求单调区间(或证明单调性)，只要在函数定义域内解(或证明)不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0，如T2.
(2)若已知函数的单调性，则转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题来求解．
3．导数与函数的极值、最值
(1)f′(x0)＝0是函数y＝f(x)在x＝x0处取得极值的必要不充分条件，如T5.
(2)函数f(x)在[a，b]上有唯一一个极值点，这个极值点就是最值点．


　导数的几何意义(5年10考)

[高考解读]　高考对导数几何意义的考查多以选择题或填空题的形式考查，有时出现在解答题的题目条件中或问题的第(1)问，主要考查切线的求法，难度较小.
1．(2018·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax.若f(x)为奇函数，则曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为(　　)
A．y＝－2x　 B．y＝－x
C．y＝2x D．y＝x
切入点：f(x)为奇函数．
关键点：①根据奇偶性求a；②正确求出f′(0)．
D　[因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，由此可得a＝1，故f(x)＝x3＋x，f′(x)＝3x2＋1，f′(0)＝1，所以曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为y＝x.]
2．(2019·全国卷Ⅲ)已知曲线y＝aex＋xln x在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则(　　)
A．a＝e，b＝－1 B．a＝e，b＝1
C．a＝e－1，b＝1 D．a＝e－1，b＝－1
切入点：①切点为(1，ae)；②切线方程为y＝2x＋b.
关键点：正确求出曲线在点(1，ae)处的切线的斜率．
D　[∵y′＝aex＋ln x＋1，∴k＝y′|x＝1＝ae＋1，
∴切线方程为y－ae＝(ae＋1)(x－1)，
即y＝(ae＋1)x－1.
∵已知切线方程为y＝2x＋b，
∴解得
故选D.]
[教师备选题]
1．(2018·全国卷Ⅱ)曲线y＝2ln x在点(1,0)处的切线方程为________．
y＝2x－2　[由题意知，y′＝，所以曲线在点(1,0)处的切线斜率k＝y′|x＝1＝2，故所求切线方程为y－0＝2(x－1)，即y＝2x－2.]
2．(2016·全国卷Ⅲ)已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)＝e－x－1－x，则曲线y＝f(x)在点(1,2)处的切线方程是________．
2x－y＝0　[设x＞0，则－x＜0，f(－x)＝ex－1＋x.
∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)＝ex－1＋x.
∵当x＞0时，f′(x)＝ex－1＋1，
∴f′(1)＝e1－1＋1＝1＋1＝2.
∴曲线y＝f(x)在点(1,2)处的切线方程为y－2＝2(x－1)，
即2x－y＝0.]


求曲线y＝f(x)的切线方程的3种类型及方法
类型
方法
已知切点P(x0，y0)，求切线方程
求出切线的斜率f′(x0)，由点斜式写出方程
已知切线的斜率k，求切线方程
设切点P(x0，y0)，通过方程k＝f′(x0)解得x0，再由点斜式写出方程
已知切线上一点(非切点)，求切线方程
设切点P(x0，y0)，利用导数求得切线斜率f′(x0)，再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x0，再由点斜式或两点式写出方程


1．(求切点坐标)曲线f(x)＝x3－x＋3在点P处的切线平行于直线y＝2x－1，则P点的坐标为(　　)
A．(1,3)　 B．(－1,3)
C．(1,3)和(－1,3) D．(1，－3)
C　[f′(x)＝3x2－1，令f′(x)＝2，则3x2－1＝2，解得x＝1或x＝－1，
∴P(1,3)或(－1,3)．
经检验，点(1,3)，(－1,3)均不在直线y＝2x－1上，故选C.]
2．(已知切线求参数)已知直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋mx＋n相切于点A(1,3)，则n＝(　　)
A．－1 B．1
C．3 D．4
C　[对y＝x3＋mx＋n求导得，y′＝3x2＋m，
∵A(1,3)在直线y＝kx＋1上，∴k＝2，
∴由解得n＝3.]
3．[一题多解](公切线问题)已知曲线y＝x＋ln x在点(1,1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝________.
8　[法一：∵y＝x＋ln x，∴y′＝1＋，y′|x＝1＝2.
∴曲线y＝x＋ln x在点(1,1)处的切线方程为
y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.
∵y＝2x－1与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，
∴a≠0(当a＝0时曲线变为y＝2x＋1与已知直线平行)．
由消去y，得ax2＋ax＋2＝0.
由Δ＝a2－8a＝0，解得a＝8.
法二：同方法一得切线方程为y＝2x－1.
设y＝2x－1与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切于点(x0，ax＋(a＋2)x0＋1)．∵y′＝2ax＋(a＋2)，
∴y′|x＝x0＝2ax0＋(a＋2)．
由解得]
　利用导数研究函数的单调性(5年6考)

[高考解读]　利用导数研究函数的单调性是每年的必考内容，但是单独命题的概率较小，主要是作为解答题的第(1)问出现.
角度一：讨论函数的单调性
1．(2017·全国卷Ⅱ)设函数f(x)＝(1－x2)ex.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)当x≥0时，f(x)≤ax＋1，求a的取值范围．
切入点：利用导数讨论f(x)的单调性．
关键点：对参数a的取值进行分类讨论，当a≥1时，构造函数可知(1－x)·ex≤1，所以f(x)＝(x＋1)(1－x)·ex≤x＋1≤ax＋1成立；当00)，因此h(x)在[0，＋∞)单调递减．而h(0)＝1，故h(x)≤1，所以f(x)＝(x＋1)h(x)≤x＋1≤ax＋1.
当00，解得a0，即a0；
当x∈时，f′(x)0时，f(x)在x＝处取得最大值，最大值为
f＝ln＋a＝－ln a＋a－1.
因此f>2a－2等价于ln a＋a－10，∴g′(x)>0.
∴g(x)在(0，＋∞)上是增函数，函数g(x)无极值点．
②当a>0时，g′(x)＝＝－，
令g′(x)＝0得x＝.
∴当x∈时，g′(x)>0；
当x∈时，g′(x)0时，函数g(x)有极大值－ln a，无极小值．
2．(函数的最值)已知函数f(x)＝xex＋a(ln x＋x)．
(1)若a＝－e，求f(x)的单调区间；
(2)当a0，h(x)＝x－xln x单调递增，当x∈(1，＋∞)时，h′(x)＝－ln x