2020数学（文）二轮教师用书：第2部分专题6解密高考⑥　函数与导数综合问题巧在“转”、难在“分”

解密高考⑥　函数与导数综合问题巧在“转”、难在“分”——————[思维导图]————————————[技法指津]——————函数与导数问题一般以函数为载体，以导数为工具，重点考查函数的一些性质，如含参数函数的单调性、极值或最值的探求与讨论，复杂函数零点的讨论，函数不等式中参数范围的讨论，恒成立和能成立问题的讨论等，是近几年高考试题的命题热点，对于这类综合问题，一般是先转化(变形)，再求导，分解出基本函数，分类讨论研究其性质，再根据题意解决问题．母题示例：2019年全国卷Ⅰ，本小题满分12分母题突破：2019年济南模拟已知函数f(x)＝2sin x－xcos x－x，f′(x)为f(x)的导数.(1)证明：f′(x)在区间(0，π)存在唯一零点；(2)若x∈[0，π]时，f(x)≥ax，求a的取值范围.本题考查：利用导数讨论函数零点的个数、根据恒成立的不等式求参数的范围问题，考查考生的逻辑推理、转化与化归、数学运算能力，重点考查考生逻辑推理和数学运算的核心素养.[审题指导·发掘条件](1)看到证明f′(x)在区间(0，π)存在唯一零点，想到解决此问题应分两步：①确定有零点；②确定唯一性．可先求出f′(x)的零点，然后利用导数证明单调性，进而确定唯一性．(2)看到求a的取值范围，想到根据f(x)≥ax构造函数或分离参数求解．[规范解答·评分标准](1)设g(x)＝f′(x)，则g(x)＝cos x＋xsin x－1，g′(x)＝xcos x．············································2分当x∈时，g′(x)＞0；当x∈时，g′(x)＜0，所以g(x)在上单调递增，在上单调递减. ················4分又g(0)＝0，g＞0，g(π)＝－2，故g(x)在(0，π)存在唯一零点．所以f′(x)在区间(0，π)存在唯一零点.6分(2)由题设知f(π)≥aπ，f(π)＝0，可得a≤0. ······················7分由(1)知，f′(x)在(0，π)只有一个零点，设为x0，且当x∈(0，x0)时，f′(x)＞0；当x∈(x0，π)时，f′(x)＜0，所以f(x)在(0，x0)单调递增，在(x0，π)单调递减. ···························································10分又f(0)＝0，f(π)＝0，所以，当x∈[0，π]时，f(x)≥0.又当a≤0，x∈[0，π]时，ax≤0，故f(x)≥ax.因此，a的取值范围是(－∞，0]. ·····························12分[构建模板·三处关键]　解函数与导数综合问题的关键关键1：会求函数的极值点，先利用方程f(x)＝0的根，将函数的定义域分成若干个开区间，再列成表格，最后依表格内容即可写出函数的极值；关键2：证明不等式，常构造函数，并利用导数法判断新构造函数的单调性，从而可证明原不等式成立；关键3：不等式恒成立问题除了用分离参数法，还可以从分类讨论和判断函数的单调性入手，去求参数的取值范围．,　已知函数f(x)＝(x－1)ln x＋ax(a∈R)．(1)当a＝0时，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)＞0在(0，＋∞)上恒成立，求实数a的取值范围．[解]　(1)a＝0时，f(x)＝(x－1)ln x，f′(x)＝ln x＋(x－1)·＝ln x－＋1，设g(x)＝ln x－＋1，则g′(x)＝＞0，∴g(x)在(0，＋∞)上单调递增，而g(1)＝0，∴x∈(0,1)时，g(x)＜0，即f′(x)＜0，x∈(1，＋∞)时，g(x)＞0，即f′(x)＞0，∴f(x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1，＋∞)．(2)由(x－1)ln x＋ax＞0，得－ax＜(x－1)ln x，而x＞0，∴－a＜＝ln x－.记h(x)＝ln x－，则h′(x)＝－＝，设m(x)＝ln x＋x－1(x＞0)，显然m(x)在(0，＋∞)上单调递增，而m(1)＝0，∴x∈(0,1)时，m(x)＜0，h′(x)＜0，h(x)单调递减，x∈(1，＋∞)时，m(x)＞0，h′(x)＞0，h(x)单调递增，∴h(x)min＝h(1)＝0.∴－a＜0，∴a＞0，即实数a的取值范围是(0，＋∞)．