2020数学（理）二轮教师用书：第2部分专题6第2讲　导数的简单应用


第2讲　导数的简单应用

[做小题——激活思维]
1．(2019·全国卷Ⅰ)曲线y＝3(x2＋x)ex在点(0,0)处的切线方程为________．
y＝3x　[因为y′＝3(2x＋1)ex＋3(x2＋x)ex＝3(x2＋3x＋1)ex，所以曲线在点(0,0)处的切线的斜率k＝y′|x＝0＝3，所以所求的切线方程为y＝3x.]
2.设f′(x)是函数f(x)的导函数，y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象最有可能是以下选项中的(　　)


C　[由题图知，当x＜0时，f′(x)＞0，所以y＝f(x)在(－∞，0)上单调递增．因为当0＜x＜2时，f′(x)＜0，所以y＝f(x)在(0,2)上单调递减．又当x＞2时，f′(x)＞0，所以y＝f(x)在(2，＋∞)上单调递增．]
3．函数y＝x2－ln x的单调递减区间为(　　)
A．(－1,1]　　　　 B．(0,1]
C．[1，＋∞) D．(0，＋∞)
B　[函数定义域为(0，＋∞)，由y′＝x－＝≤0得，0＜x≤1，故选B.]
4．若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)上单调递增，则k的取值范围是(　　)
A．(－∞，－2] B．(－∞，－1]
C．[2，＋∞) D．[1，＋∞)
D　[f′(x)＝k－，由题意知k－≥0，即k≥在(1，＋∞)上恒成立，又当x∈(1，＋∞)时，0＜＜1，所以k≥1，故选D.]
5．函数f(x)＝x3－4x＋m在[0,3]上的最大值为4，则m的值为(　　)
A．7 B.
C．3 D．4
D　[f′(x)＝x2－4，x∈[0,3]，
f′(x)＝0时，x＝2，
f′(x)＜0时，0≤x＜2，f′(x)＞0时，2＜x≤3.
所以f(x)在[0,2)上是减函数，
在(2,3]上是增函数．
又f(0)＝m，f(3)＝－3＋m.
所以在[0,3]上，f(x)max＝f(0)＝4，
所以m＝4，故选D.]
6．已知f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处的极值为10，则a＋b等于(　　)
A．0或－7 B．－7
C．0 D．7
B　[因为f′(x)＝3x2＋2ax＋b，所以f′(1)＝3＋2a＋b＝0，①
f(1)＝1＋a＋b＋a2＝10，②
由①②得或
而要在x＝1处取到极值，则Δ＝4a2－12b＞0，
故舍去所以只有
所以a＋b＝－7，故选B.]
[扣要点——查缺补漏]
1．导数的几何意义
(1)f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处切线的斜率．
(2)函数y＝f(x)在点x＝x0处的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，如T1.
2．导数与函数的单调性
(1)函数单调性的判定方法：在某个区间(a，b)内，如果f′(x)＞0，那么函数y＝f(x)在此区间内单调递增；如果f′(x)＜0，那么函数y＝f(x)在此区间内单调递减．如T2.
(2)若求单调区间(或证明单调性)，只要在函数定义域内解(或证明)不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0.如T3.
(3)若已知函数的单调性，则转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题来求解．如T4.
3．导数与函数的极值、最值
(1)可导函数极值点的导数为0，但导数为0的点不一定是极值点，如函数f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是极值点．如T5.
(2)极值点不是一个点，而是一个数x0，当x＝x0时，函数取得极值，在x0处，f′(x0)＝0是函数f(x)在x0处取得极值的必要不充分条件．
(3)一般地，在闭区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么函数y＝f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值，函数的最值必在极值点或区间的端点处取得．如T6.

　导数的运算及其几何意义(5年11考)

[高考解读]　以导数的几何意义为载体，考查曲线切线方程的求法，注意方程思想的应用及复合函数的求导问题.
1．[一题多解](2018·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax.若f(x)为奇函数，则曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为(　　)
A．y＝－2x　　　　　 B．y＝－x
C．y＝2x D．y＝x
D　[法一：(直接法)因为函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，
所以(－x)3＋(a－1)(－x)2＋a(－x)＝－[x3＋(a－1)x2＋ax]，所以2(a－1)x2＝0，因为x∈R，所以a＝1，所以f(x)＝x3＋x，所以f′(x)＝3x2＋1，所以f′(0)＝1，所以曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为y＝x.故选D.
法二：(特值法)因为函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax为奇函数，所以f(－1)＋f(1)＝0，所以－1＋a－1－a＋(1＋a－1＋a)＝0，解得a＝1，所以f(x)＝x3＋x，所以f′(x)＝3x2＋1，所以f′(0)＝1，所以曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为y＝x.故选D.]
2．(2011·大纲版高考)曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为(　　)
A． B．
C． D．1
A　[由题意，得：y′＝(e－2x＋1)′＝e－2x(－2x)′＝－2e－2x，
则在点(0,2)处的切线斜率为k＝－2e0＝－2，
∴切线方程为y＝－2x＋2.
联立得C.
∴与y＝0和y＝x围成三角形的面积为
S△OBC＝OB×＝×1×＝.]
3．(2016·全国卷Ⅱ)若直线y＝kx＋b是曲线y＝ln x＋2的切线，也是曲线y＝ln(x＋1)的切线，则b＝________.
1－ln 2　[求得(ln x＋2)′＝，[ln(x＋1)]′＝.
设曲线y＝ln x＋2上的切点为(x1，y1)，曲线y＝ln(x＋1)上的切点为(x2，y2)，
则k＝＝，所以x2＋1＝x1.
又y1＝ln x1＋2，y2＝ln(x2＋1)＝ln x1，
所以k＝＝2，
所以x1＝＝，y1＝ln＋2＝2－ln 2，
所以b＝y1－kx1＝2－ln 2－1＝1－ln 2.]

与切线有关问题的处理策略
(1)已知切点A(x0，y0)求斜率k，即求该点处的导数值，k＝f′(x0)．
(2)已知斜率k，求切点A(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k.
(3)求过某点M(x1，y1)的切线方程时，需设出切点A(x0，f(x0))，则切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，再把点M(x1，y1)代入切线方程，求x0.

1．(考查导数的运算)设函数f(x)＝f′x2－2x＋f(1)ln x，曲线f(x)在(1，f(1))处的切线方程是(　　)
A．5x－y－4＝0 B．3x－y－2＝0
C．x－y＝0 D．x＝1
A　[∵f(x)＝f′x2－2x＋f(1)ln x，
∴f′(x)＝2f′x－2＋.
令x＝得f′＝2f′×－2＋2f(1)，
即f(1)＝1.
又f(1)＝f′－2，∴f′＝3，
∴f′(1)＝2f′－2＋f(1)＝6－2＋1＝5.
∴曲线在点(1，f(1))处的切线方程为y－1＝5(x－1)，
即5x－y－4＝0，故选A.]
2．(与不等式交汇)若曲线y＝x3－2x2＋2在点A处的切线方程为y＝4x－6，且点A在直线mx＋ny－1＝0(其中m＞0，n＞0)上，则＋的最小值为(　　)
A．4 B．3＋2
C．6＋4 D．8
C　[设A(s，t)，y＝x3－2x2＋2的导数为y′＝3x2－4x，可得切线的斜率为3s2－4s，切线方程为y＝4x－6，可得3s2－4s＝4，t＝4s－6，解得s＝2，t＝2或s＝－，t＝－.由点A在直线mx＋ny－1＝0(其中m＞0，n＞0)，可得2m＋2n＝1，则＋＝(2m＋2n)＝2≥2＝6＋4，
当且仅当n＝m时，取得最小值6＋4，故选C.]
3．(求切点的坐标)设曲线y＝ex在点(0,1)处的切线与曲线y＝(x＞0)上点P处的切线垂直，则点P的坐标为________．
(1,1)　[∵函数y＝ex的导函数为y′＝ex，
∴曲线y＝ex在点(0,1)处的切线的斜率k1＝e0＝1.
设P(x0，y0)(x0＞0)，
∵函数y＝的导函数为y′＝－，
∴曲线y＝(x＞0)在点P处的切线的斜率k2＝－，
由题意知k1k2＝－1，
即1·＝－1，
解得x＝1，又x0＞0，∴x0＝1.
又∵点P在曲线y＝(x＞0)上，
∴y0＝1，故点P的坐标为(1,1)．]
4．(与圆锥曲线交汇)已知P，Q为抛物线x2＝2y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，－2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为________．
－4　[由已知可设P(4，y1)，Q(－2，y2)，
∵点P，Q在抛物线x2＝2y上，
∴∴
∴P(4,8)，Q(－2,2)．
又∵抛物线可化为y＝x2，∴y′＝x.
∴过点P的切线斜率为y′|x＝4＝4.
∴过点P的切线为y－8＝4(x－4)，即y＝4x－8.
又∵过点Q的切线斜率为y′|x＝－2＝－2，
∴过点Q的切线为y－2＝－2(x＋2)，
即y＝－2x－2.
联立得
∴点A的纵坐标为－4.]
　利用导数研究函数的单调性(5年4考)

[高考解读]　以函数的单调性为载体，融一元二次不等式的解法、分类讨论思想、函数、方程、不等式的关系于一体，考查学生对知识的灵活应用能力，有一定的难度.
(2018·全国卷Ⅰ节选)已知函数f(x)＝－x＋aln x.
讨论f(x)的单调性．
[解]　∵f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝－－1＋＝－.
(ⅰ)若a≤2，则f′(x)≤0，当且仅当a＝2，x＝1时f′(x)＝0，所以f(x)在(0，＋∞)单调递减．
(ⅱ)若a＞2，令f′(x)＝0，得x＝或x＝.
当x∈∪时，f′(x)＜0；
当x∈时，f′(x)＞0.
所以f(x)在，单调递减，在单调递增．

利用导数研究函数单调性的一般步骤
(1)确定函数的定义域．
(2)求导函数f′(x)．
(3)①若求单调区间(或证明单调性)，只要在函数定义域内解(或证明)不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0即可；
②若已知函数的单调性，则转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题来求解．
(4)含参数讨论单调性常见的四个方面讨论．
如f′(x)＝.
①二次系数的讨论．
②根的有关讨论，“Δ”讨论．
③根大小讨论．
④根在不在定义域内讨论．

1．(借助单调性比较大小)定义在R上的函数f(x)满足f′(x)＞f(x)恒成立，若x1＜x2，则ex1f(x2)与ex2f(x1)的大小关系为(　　)
A．ex1f(x2)＞ex2f(x1)
B．ex1f(x2)＜ex2f(x1)
C．ex1f(x2)＝ex2f(x1)
D．ex1f(x2)与ex2f(x1)的大小关系不确定
A　[设g(x)＝，则g′(x)＝＝，
由题意知g′(x)＞0，所以g(x)单调递增，
当x1＜x2时，g(x1)＜g(x2)，
即＜，
所以ex1f(x2)＞ex2f(x1)．]
2．(借助单调性解不等式)已知偶函数f(x)(x≠0)的导函数为f′(x)，且满足f(1)＝0.当x＞0时，xf′(x)＜2f(x)，则使得f(x)＞0成立的x的取值范围是(　　 )
A．(－∞，－1)∪(0,1)　 B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－1,0)∪(0,1) D．(－1,0)∪(1，＋∞)
C　[令g(x)＝，
∴g′(x)＝＝，
又g(1)＝0，
当x＞0时，xf′(x)＜2f(x)，即g′(x)＜0，
因为f(x)为偶函数，所以当x＜0时，g′(x)＞0，
f(x)＞0等价于g(x)＞0，所以或所以0＜x＜1或－1＜x＜0，选C.]
3．(已知单调性求参数的范围)已知a∈R，函数f(x)＝(－x2＋ax)ex(x∈R，e为自然对数的底数)．
(1)当a＝2时，求函数f(x)的单调递增区间；
(2)若函数f(x)在(－1,1)上单调递增，求a的取值范围．
[解](1)当a＝2时，f(x)＝(－x2＋2x)·ex，
所以f′(x)＝(－2x＋2)ex＋(－x2＋2x)ex＝(－x2＋2)ex.
令f′(x)＞0，即(－x2＋2)ex＞0，
因为ex＞0，所以－x2＋2＞0，解得－＜x＜.
所以函数f(x)的单调递增区间是(－，)．
(2)因为函数f(x)在(－1,1)上单调递增，
所以f′(x)≥0对x∈(－1,1)都成立．
因为f′(x)＝(－2x＋a)ex＋(－x2＋ax)ex＝[－x2＋(a－2)x＋a]ex，
所以[－x2＋(a－2)x＋a]ex≥0对x∈(－1,1)都成立．
因为ex＞0，所以－x2＋(a－2)x＋a≥0，
则a≥＝＝(x＋1)－对x∈(－1,1)都成立．
令g(x)＝(x＋1)－，则g′(x)＝1＋＞0.
所以g(x)＝(x＋1)－在(－1,1)上单调递增．
所以g(x)＜g(1)＝(1＋1)－＝.
所以a的取值范围是.
4．(含参数的复合函数的单调性)已知函数f(x)＝aln(x＋1)－ax－x2，讨论f(x)在定义域上的单调性．
[解]　f′(x)＝－a－2x＝，
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝－，
又f(x)的定义域为(－1，＋∞)，
①当－≤－1，即当a≥0时，
若x∈(－1,0)，f′(x)＞0，则f(x)单调递增；
若x∈(0，＋∞)，f′(x)＜0，则f(x)单调递减．
②当－1＜－＜0，即－2＜a＜0时，
若x∈，f′(x)＜0，
则f(x)单调递减；
若x∈，f′(x)＞0，
则f(x)单调递增；
若x∈(0，＋∞)，f′(x)＜0，
则f(x)单调递减．
③当－＝0，即a＝－2时，
f′(x)≤0，f(x)在(－1，＋∞)上单调递减．
④当－＞0，即a＜－2时，
若x∈(－1,0)，f′(x)＜0，则f(x)单调递减；
若x∈，f′(x)＞0，则f(x)单调递增；
若x∈，f′(x)＜0，则f(x)单调递减．
综上，当a≥0时，f(x)在(－1,0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减；
当－2＜a＜0时，f(x)在上单调递减，在上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减；
当a＝－2时，f(x)在(－1，＋∞)上单调递减；
当a＜－2时，f(x)在(－1,0)上单调递减，在上单调递增，在上单调递减.
　利用导数研究函数的极值(最值)问题(5年5考)

[高考解读]　试题常以线性函数与指数函数或对数函数的组合形式出现，考查导数的运算法则、极(最)值的求法，考查分类讨论及数形结合思想，考查等价转化能力及逻辑推理能力，难度较大.
1．(2017·全国卷Ⅱ)若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)·ex－1的极值点，则f(x)的极小值为(　　)
A．－1　　　　　　 B．－2e－3
C．5e－3 D．1
A　[函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1，
则f′(x)＝(2x＋a)ex－1＋(x2＋ax－1)·ex－1
＝ex－1·[x2＋(a＋2)x＋a－1]．
由x＝－2是函数f(x)的极值点得
f′(－2)＝e－3·(4－2a－4＋a－1)＝(－a－1)·e－3＝0，
所以a＝－1.
所以f(x)＝(x2－x－1)ex－1，f′(x)＝ex－1·(x2＋x－2)．
由ex－1>0恒成立，得x＝－2或x＝1时，f′(x)＝0，且x0；
－2f(0)＝－1.
所以(x－2)ex>－(x＋2)，即(x－2)ex＋x＋2>0.
(2)g′(x)＝＝(f(x)＋a)．
由(1)知，f(x)＋a单调递增．
对任意a∈[0,1)，f(0)＋a＝a－1＜0，f(2)＋a＝a≥0.
因此，存在唯一xa∈(0,2]，使得f(xa)＋a＝0，
即g′(xa)＝0.
当0