2020数学（文）二轮教师用书：第2部分专题1第1讲　三角函数的图象和性质




第1讲　三角函数的图象和性质

[做小题——激活思维]
1．已知tan α＝－，且α是第二象限角，那么cos α等于(　　)
A.　　　　B．－　　　　C.　　　　D．－
[答案]　B
2．函数y＝tan 2x的定义域是(　　)
A.
B.
C.
D.
[答案]　D
3．(2019·济宁一模)若sin x＝3sin，则cos x·cos＝(　　)
A. B．－ C. D．－
A　[由sin x＝3sin＝－3cos x，解得tan x＝－3，
所以cos xcos＝－sin xcos x＝＝＝，故选A.]
4．设函数f(x)＝cos ωx(ω＞0)，将y＝f(x)的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于(　　)
A. B．3 C．6 D．9
C　[由题意知＝·k(k∈Z)，解得ω＝6k，令k＝1，即得ωmin＝6.]
5．下列函数中同时具有以下性质的是(　　)
①最小正周期是π；②图象关于直线x＝对称；③在上是增函数；④图象的一个对称中心为.
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝sin D．y＝sin
[答案]　C
[扣要点——查缺补漏]
1．同角三角函数基本关系式与诱导公式
(1)同角三角函数基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，＝tan α，如T1.
(2)诱导公式：角π±α(k∈Z)的三角函数口诀：
奇变偶不变，符号看象限，如T3.
2．三角函数的图象及变换
(1)五点法作简图：y＝Asin(ωx＋φ)的图象可令ωx＋φ＝0，，π，，2π，求出x的值，描出点作图．
(2)图象变换：平移、伸缩、对称，如T4.
特别提醒：由y＝Asin ωx的图象得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象时，需平移个单位长度，而不是|φ|个单位长度．
3．三角函数的性质
(1)整体思想研究性质：对于函数y＝Asin(ωx＋φ)，可令t＝ωx＋φ，考虑y＝Asin t的性质．如T2，T5.
(2)数形结合思想研究性质．


　三角函数的定义、诱导公式及基本关系(5年4考)

[高考解读]　高考对本部分内容的考查多以三角函数的定义、诱导公式、同角三角函数关系式间的综合利用为主，且常与简单的三角恒等变换相结合.
1．(2018·全国卷Ⅰ)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1，a)，B(2，b)，且cos 2α＝，则|a－b|＝(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D．1
切入点：①终边上两点A(1，a)，B(2，b)；
②cos 2α＝.
关键点：用A，B两点坐标表示α的正切值tan α，然后利用弦化切将cos 2α＝用|a－b|表示出来．
B　[由题可知cos α>0.因为cos 2α＝2cos2α－1＝，所以cos α＝，sin α＝±，得|tan α|＝.由题意知|tan α|＝，所以|a－b|＝.]
2．(2017·全国卷Ⅲ)已知sin α－cos α＝，则sin 2α＝(　　)
A．－ B．－ C. D.
切入点：sin α－cos α＝.
关键点：利用平方关系sin2α＋cos2α＝1及倍角公式将sin 2α用sin α－cos α表示出来．
A　[∵(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－sin 2α＝2＝，∴sin 2α＝－.
故选A.]
[教师备选题]
1．(2014·全国卷Ⅰ)若tan α>0，则(　　)
A．sin 2α>0　 B．cos α>0
C．sin α>0 D．cos 2α>0
A　[利用tan α>0，求出角α的象限，再判断．
∵tan α>0，∴α∈(k∈Z)是第一、三象限角．
∴sin α，cos α都可正、可负，排除B，C.
而2α∈(2kπ，2kπ＋π)(k∈Z)，
结合正、余弦函数图象可知，A正确．
取α＝，则tan α＝1>0，而cos 2α＝0，故D不正确．]
2．(2018·浙江高考)已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P.
(1)求sin(α＋π)的值；
(2)若角β满足sin(α＋β)＝，求cos β的值．
[解]　(1)由角α的终边过点P
得sin α＝－，
所以sin(α＋π)＝－sin α＝.
(2)由角α的终边过点P，
得cos α＝－.
由sin(α＋β)＝，得cos(α＋β)＝±.
由β＝(α＋β)－α，
得cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α，
所以cos β＝－或cos β＝.


三角函数求值与化简的3种方法
(1)弦切互化法：主要利用公式化成正弦、余弦；
(2)和积转换法：利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ进行变形、转化；
(3)巧用“1”的变换：1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝.

1．(同角三角函数基本关系式的应用)若sin α＝－，且α为第四象限角，则tan α的值等于(　　)
A.　　　　B．－　　　　C.　　　　D．－
D　[∵sin α＝－，α为第四象限角，
∴cos α＝＝，∴tan α＝＝－.故选D.]
2．(三角函数的定义与诱导公式的应用)在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称．若sin α＝，则sin β＝________.
　[由角α与角β的终边关于y轴对称，可得β＝(2k＋1)π－α，k∈Z，∵sin α＝，∴sin β＝sin[(2k＋1)π－α]＝sin α＝.]
3．[新题型](同角三角函数基本关系式及其应用)已知sin α＋2cos α＝0，则tan α＝________，2sin αcos α－cos2α＝________.
－2　－1　[由sin α＋2cos α＝0得tan α＝－2.
∴2sin αcos α－cos2α＝
＝＝＝＝－1.]
4．(三角函数的意义与简单的三角恒等变换结合)在平面直角坐标系xOy中，点P(x0，y0)在单位圆O上，设∠xOP＝α，且α∈.若cos＝－，则x0的值为________．
－　[因为点P(x0，y0)在单位圆O上，且∠xOP＝α，所以由三角函数的定义知x0＝cos α.因为α∈，所以α＋∈，又cos＝－，所以sin＝，所以x0＝cos α＝cos＝coscos＋sinsin＝－.]
　三角函数的图象及应用(5年3考)

[高考解读]　高考对该部分内容的考查主要有两种方式：(1)考查三角函数图象变换；(2)由图定式并与三角函数的性质相结合.预计2020年还会这样考查.
1．(2019·全国卷Ⅱ)若x1＝，x2＝是函数f(x)＝sin ωx(ω＞0)两个相邻的极值点，则ω＝(　　)
A．2　　　　B.　　　　C．1　　　　D.
A　[由题意及函数y＝sin ωx的图象与性质可知，
T＝－，∴T＝π，∴＝π，∴ω＝2.
故选A.]
2．(2016·全国卷Ⅰ)将函数y＝2sin的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为(　　)
A．y＝2sin B．y＝2sin
C．y＝2sin D．y＝2sin
切入点：①y＝2sin；
②向右平移个周期．
关键点：y＝Asin(ωx＋φ)的图象平移规律．
D　[先求出函数的周期，再根据函数图象的平移变换规律求出对应的函数解析式．
函数y＝2sin的周期为π，将函数y＝2sin的图象向右平移个周期即个单位长度，所得图象对应的函数为y＝2sin＝2sin，故选D.]
3．(2015·全国卷Ⅰ)函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为(　　)

A.，k∈Z
B.，k∈Z
C.，k∈Z
D.，k∈Z
切入点：图象与x轴交于点，.
关键点：逆用五点作图求解析式．
D　[由已知图象可求得ω与φ的值，然后利用余弦函数的单调区间求解．
由题图知，周期T＝2＝2，
∴＝2，∴ω＝π.
由π×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，不妨取φ＝，
∴f(x)＝cos.
由2kπ