2020数学（文）二轮教师用书：第1部分主题2复数、平面向量

 1．复数　掌握2类复数代数形式运算的方法(1)复数的乘法：复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类项，不含i的看作另一类项，分别合并同类项即可．如T2.(2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘分母的共轭复数，解题时要注意把i的幂写成最简形式．复数的除法类似初中所学化简分数常用的“分母有理化”，其实质就是“分母实数化”．如T1.1．(2019·全国卷Ⅲ)若z(1＋i)＝2i，则z＝(　　)A．－1－i　 B．－1＋iC．1－i   D．1＋iD　[由z(1＋i)＝2i，得z＝＝＝＝i(1－i)＝1＋i.故选D.]2．(2019·西安质量检测)设i是虚数单位，复数(a＋i)(1＋2i)为纯虚数，则实数a为(　　)A．－2   B．2C．－   D.B　[因为(a＋i)(1＋2i)＝a－2＋(2a＋1)i，且由题知其为纯虚数，所以解得a＝2，故选B.]3．(2019·长沙模拟)已知i是虚数单位，若＝1－i，则z的共轭复数为(　　)A．1－2i   B．2－4iC.－2i   D．1＋2iA　[因为＝1－i，所以z＝＝＝＝1＋2i，z的共轭复数为1－2i，故选A.]4．(2019·全国卷Ⅰ)设z＝，则|z|＝(　　)A．2　　　　B.      C.　　　　D．1C　[∵z＝＝＝，∴|z|＝＝.故选C.]5．(2019·郑州第一次质量检测)在复平面内表示复数(m∈R，i为虚数单位)的点位于第二象限，则实数m的取值范围是(　　)A．(－∞，－1)   B．(－∞，0)C．(0，＋∞)   D．(1，＋∞)C　[由题意，＝＝－＋i，因为在复平面内该复数对应的点位于第二象限，所以解得m＞0，即m∈(0，＋∞)，故选C.]2．平面向量的线性运算　解决平面向量问题的3种常用方法(1)直接法求解有关平面向量的问题时，若能灵活利用平面向量加、减法运算及其几何意义进行分析，则有利于问题的顺利获解．这种解题思路，我们不妨称之为按“图”处理．如T1，T2.(2)建系法：处理有关平面图形的向量问题时，若能灵活建立平面直角坐标系，则可借助向量的坐标运算巧解题，这也体现了向量的代数化手段的重要性．如T3.(3)基底法：求解有关平面向量的问题时，若能灵活地选取基底，则有利于问题的快速获解．理论依据：适当选取一组基底e1，e2，利用平面向量基本定理及相关向量知识，可将原问题转化为关于e1，e2的代数运算问题．如T5.1．[一题多解]在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝(　　)A.－　 B.－C.＋   D.＋A　[法一：(直接法)作出示意图如图所示．＝＋＝＋＝×(＋)＋(－)＝－.故选A.法二：(建系法)不妨设△ABC为等腰直角三角形，且∠A＝，AB＝AC＝1.建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0,0)，B(1,0)，C(0,1)，D，E.故＝(1,0)，＝(0,1)，＝(1,0)－＝，即＝－.]2．△ABC所在的平面内有一点P，满足＋＋＝，则△PBC与△ABC的面积之比是(　　)A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.C　[因为＋＋＝，所以＋＋＝－，所以＝－2＝2，即P是AC边的一个三等分点，且PC＝AC，由三角形的面积公式可知，＝＝.]3．[一题多解](2019·太原模拟)如图，在正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝(　　)A．2   B.C.   D.D　[法一：以AB，AD所在直线分别为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，设正方形的边长为1，则＝，＝，＝(1,1)．∵＝λ＋μ＝，∴解得∴λ＋μ＝，故选D.法二：由＝＋，＝－＋，得＝λ＋μ＝＋，又＝＋，∴解得∴λ＋μ＝，故选D.]4．(2019·贵阳监测)已知向量a＝(1,3)，b＝(－2，k)，且(a＋2b)∥(3a－b)，则实数k＝________.－6　[a＋2b＝(－3,3＋2k)，3a－b＝(5,9－k)，由题意可得－3(9－k)＝5(3＋2k)，解得k＝－6.]5．[一题多解]在如图所示的方格纸中，向量a，b，c的起点和终点均在格点(小正方形顶点)上，若c与xa＋yb(x，y为非零实数)共线，则的值为________．　[法一：设e1，e2分别为水平方向(向右)与竖直方向(向上)的单位向量，则向量c＝e1－2e2，a＝2e1＋e2，b＝－2e1－2e2，由c与xa＋yb共线，得c＝λ(xa＋yb)，所以e1－2e2＝2λ(x－y)e1＋λ(x－2y)e2，所以所以则的值为.法二：建立如图所示的平面直角坐标系，则a＝(2,1)，b＝(－2，－2)，c＝(1，－2)，因为c与xa＋yb(x，y为非零实数)共线，则c＝λ(xa＋yb)，其中λ≠0，即解得∴＝.]3．平面向量的数量积　两个向量夹角的范围是[0，π]，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能是0或π的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不仅要求其数量积小于零，还要求不能反向共线，如T3.1．[一题多解]在Rt△ABC中，C＝90°，AC＝4，则·＝(　　)A．－16　　　B．－8　　　C．8　　　D．16D　[法一：因为cos A＝，所以·＝||||·cos A＝AC2＝16，选D.法二：在上的投影为||cos A＝||，故·＝||·||cos A＝AC2＝16，故选D.]2．(2019·全国卷Ⅰ)已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为(　　)A.  B.  C.  D.B　[设a与b的夹角为θ，∵(a－b)⊥b，∴(a－b)·b＝0，即a·b－|b|2＝0.又a·b＝|a||b|·cos θ，|a|＝2|b|，∴2|b|2cos θ－|b|2＝0，∴cos θ＝.又0≤θ≤π，∴θ＝.故选B.]3．已知向量a＝(－2，－1)，b＝(λ，1)，若a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围是(　　)A.∪(2，＋∞) B．(2，＋∞)C.   D.A　[因为a与b的夹角为钝角，所以a·b＜0且a，b不共线，即－2λ－1＜0且－2＋λ≠0，故λ的取值范围是∪(2，＋∞)．]4．(2019·济南模拟)设单位向量e1，e2的夹角为，a＝e1＋2e2，b＝2e1－3e2，则b在a方向上的投影为(　　)A．－  B．－  C.  D.A　[由题意得，e＝1，e＝1，e1·e2＝－，∴a·b＝(e1＋2e2)·(2e1－3e2)＝2e＋e1·e2－6e＝2－－6＝－，|a|＝＝＝＝，∴b在a方向上的投影为|b|cos〈a，b〉＝＝＝－.故选A.]5．[一题多解]已知△ABC为等边三角形，AB＝2，设点P，Q满足＝λ，＝(1－λ)，λ∈R，若·＝－，则λ＝(　　)A.   B.C.   D.A　[法一(向量法)：∵＝－＝(1－λ)－，＝－＝λ－，又·＝－，||＝||＝2，〈，〉＝60°，·＝||·||cos 60°＝2，∴[(1－λ)－](λ－)＝－，即λ||2＋(λ2－λ－1)·＋(1－λ)||2＝，所以4λ＋2(λ2－λ－1)＋4(1－λ)＝，解得λ＝.法二(坐标法)：以点A为坐标原点，AB所在的直线为x轴，过点A且垂直于AB的直线为y轴，建立平面直角坐标系(图略)，设A(0,0)，B(2,0)，C(1，)，∴＝(2,0)，＝(1，)，∴P(2λ，0)，Q(1－λ，(1－λ))，∵·＝－，∴(－1－λ，(1－λ))·(2λ－1，－)＝－，化简得4λ2－4λ＋1＝0，∴λ＝.]6．(2019·郑州模拟)已知向量a与b的夹角为，|a|＝1，|2a－b|＝，则|b|＝________.3　[∵|a|＝1，a与b的夹角为，∴a·b＝|b|.由已知得，|2a－b|2＝4|a|2＋|b|2－4a·b＝13，∴|b|2－2|b|－9＝0，∴|b|＝3.]