高中数学北师大版 (2019)必修 第一册2.2 函数的表示法获奖教案及反思

这是一份高中数学北师大版 (2019)必修 第一册2.2 函数的表示法获奖教案及反思，共8页。

2.2 函数的表示法











函数的表示法





思考：函数的三种表示法各有什么优缺点？


提示：








1．一旅社有100间相同的客房，经过一段时间的经营实践，发现每间客房每天的定价与住房率有如下关系：


要使每天的收入最高，每间房的定价应为( )


A．100元 B．90元 C．80元 D．60元


C [


由上表可知，每间房的定价为80元时，每天的收入最高．]


2．下列图形是函数y＝x|x|的图象的是( )





A B C D


D [函数y＝x|x|＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2，x≥0，,－x2，x<0，))故选D.]


3．设函数f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋2))＝2x＋3，则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))的解析式是________．


2x－1 [因为f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋2))＝2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋2))－1，所以f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝2x－1.]


4．某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水量不超过10立方米的，按每立方米m元收费；用水量超过10立方米的，超过部分按每立方米2m元收费．某职工某月缴水费16m元，求该职工这个月实际用水量．


[解] 该单位职工每月应缴水费y与实际用水量x满足的关系式为y＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(mx，0≤x≤10，,2mx－10m，x>10.))


由y＝16m，可知x>10.令2mx－10m＝16m，解得x＝13.


所以，该职工这个月实际用水量为13立方米．








函数的表示法


【例1】 某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求售出台数x与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来


[思路点拨] 依据函数的定义来判断．


[解] (1)列表法：


(2)图象法：





(3)解析法：y＝3 000x，x∈{1，2，3，…，10}．





1．解析法、列表法、图象法是从三个不同角度表示函数的对应关系，同一个函数可用不同的方法表示．


2．在用三种方法表示函数时，要注意：


(1)解析法要注明函数的定义域；


(2)列表法选取的自变量的取值要具有代表性，应能反映定义域的特征；


(3)图象法要注意是否连线．





eq \a\vs4\al([跟进训练])


1．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出．





则f ( g(1))的值为________；当g ( f (x))＝2时，x＝________．


1 1 [由于函数关系是用表格形式给出的，知g (1)＝3，


∴f ( g(1))＝f (3)＝1.


由于g (2)＝2，∴f (x)＝2，


∴x＝1.]





函数图象的作法及应用


【例2】 作出下列函数的图象并求出其值域．


(1)y＝2x＋1，x∈[0，2]；


(2)y＝ eq \f(2,x)，x∈[2，＋∞)；


(3)y＝x2＋2x，x∈[－2，2].


[思路点拨] 借助所学的基本初等函数的图象来画．


[解] (1)当x∈[0，2]时，图象是直线y＝2x＋1的一部分，观察图象可知，其值域为[1，5].





(2)当x∈[2，＋∞)时，图象是反比例函数y＝ eq \f(2,x)的一部分，观察图象可知其值域为(0，1].





(3)当－2≤x≤2时，图象是抛物线y＝x2＋2x的一部分．





由图可得函数的值域是[－1，8].





作函数y＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))图象的方法


(1)若y＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))是已学过的基本初等函数，则描出图象上的几个关键点，直接画出图象即可，有些可能需要根据定义域进行取舍．


(2)若y＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))不是所学过的基本初等函数之一，则要按①列表；②描点；③连线三个基本步骤作出y＝f(x)的图象．





eq \a\vs4\al([跟进训练])


2．作出下列函数的图象：


(1)y＝1－x(x∈Z)；


(2)y＝x2－4x＋3，x∈[1，3].


[解] (1)因为x∈Z，所以图象为直线y＝1－x上的孤立点，其图象如图①所示．


(2)y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，


当x＝1，3时，y＝0；


当x＝2时，y＝－1，其图象如图②所示．





① ②





函数解析式的求法


【例3】 求下列函数的解析式：


(1)已知函数f ( eq \r(x)＋1)＝x＋2 eq \r(x)，求f (x)；


(2)已知函数f (x)是二次函数，且f (0)＝1，f (x＋1)－f (x)＝2x，求f (x).


[解] (1)法一：换元法


设t＝ eq \r(x)＋1，则x＝(t－1)2(t≥1).


∴f (t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－2t＋1＋2t－2＝t2－1，


∴f (x)＝x2－1(x≥1).


法二：配凑法


∵x＋2 eq \r(x)＝( eq \r(x))2＋2 eq \r(x)＋1－1＝( eq \r(x)＋1)2－1，


∴f ( eq \r(x)＋1)＝( eq \r(x)＋1)2－1( eq \r(x)＋1≥1)，


∴f (x)＝x2－1(x≥1).


(2)设f (x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).


∵f (0)＝1，∴c＝1.


又∵f (x＋1)－f (x)＝2x，∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x，


整理，得2ax＋(a＋b)＝2x.


由恒等式的性质，知上式中对应项的系数相等，


∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2a＝2，,a＋b＝0，))解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝－1，))∴f(x)＝x2－x＋1.





1．已知f (x＋1)＝x2－3x＋2，求f (x).


[解] 法一(配凑法)：∵f (x＋1)＝x2－3x＋2＝(x＋1)2－5x＋1＝(x＋1)2－5(x＋1)＋6，


∴f (x)＝x2－5x＋6.


法二(换元法)：令t＝x＋1，则x＝t－1，


∴f (t)＝(t－1)2－3(t－1)＋2＝t2－5t＋6，


即f (x)＝x2－5x＋6.


2．已知函数f(x)是一次函数，若f ( f (x))＝4x＋8，求f (x)的解析式．


[解] 设f (x)＝ax＋b(a≠0)，


则f ( f (x))＝f ( ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b.又f ( f (x))＝4x＋8，


∴a2x＋ab＋b＝4x＋8，


即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a2＝4，,ab＋b＝8))，解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝\f(8,3)))或 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝－2，,b＝－8.))


∴f (x)＝2x＋ eq \f(8,3)或f (x)＝－2x－8.


3．已知f (x)＋2f (－x)＝x2＋2x，求f (x).


[解] ∵f (x)＋2 f (－x)＝x2＋2x，①


∴将x换成－x，得f (－x)＋2 f (x)＝x2－2x.②


∴由①②得3 f (x)＝x2－6x，


∴f (x)＝ eq \f(1,3)x2－2x.





求函数的解析式常见的方法有：


(1)待定系数法：若已知函数的类型，可设出所求函数的解析式，然后利用已知条件列方程(组)求解.


(2)换元法：已知形如y＝f(φ(x))的函数，求f(x)时，可设φ(x)＝t，再用t表示x，代入y＝f(φ(x))中，即可得f(x)的解析式，要注意t的取值集合为所求函数的定义域．


(3)消元法：主要针对抽象函数，即若给出的条件中有f(x)、f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))、f(－x)等形式，可将式子中的x用－x， eq \f(1,x)等代换，得到另一方程，再通过消元法解方组得f(x).


另外还有赋值法等，求出解析式后，应注意函数的定义域．











1．函数的表示法，函数图象的画法，函数解析式的求法是掌握函数的三个知识点．


2．描点法是画函数图象的基本方法，其步骤为：①列表；②描点；③连线．


3．求函数的解析式常用的方法有待定系数法，换元法，消元法，求函数的解析式时，要根据已知条件进行选择．





1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)


(1)任何一个函数都可以用函数的三种表示方法表示．( )


(2)函数f(x)＝2x＋1不能用列表法表示．( )


(3)函数的图象一定是定义区间上一条连续不断的曲线．( )


[答案] (1)× (2)√ (3)×


2．已知函数f(x)由下表给出，则f(3)等于( )


A.1 B．2 C．3 D．不存在


[答案] C


3．函数y＝|x＋1|的图象是( )





A B C D


A [y＝|x＋1|＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋1，x≥－1，,－x－1，x＜－1，))


由解析式可知，A项符合题意．]


4．如图所示，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0，4)，(2，0)，(6，4).





(1)求f(f(0))的值；


(2)求函数f(x)的解析式．


[解] (1)直接由图中观察，可得


f(f(0))＝f(4)＝2.


(2)设线段AB所对应的函数解析式为y＝kx＋b，


将 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝0，,y＝4))与 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝0))代入，


解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4＝b，,0＝2k＋b.))得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(b＝4，,k＝－2.))


∴y＝－2x＋4(0≤x≤2).


同理，线段BC所对应的函数解析式为


y＝x－2(2

∴f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－2x＋4，0≤x≤2，,x－2，2核 心 素 养
1．掌握函数的三种表示方法：解析法、列表法、图象法．(重点)


2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数．(难点)
1．通过图象法表示函数的学习，培养直观想象素养．


2．通过求函数解析式，培养数学运算素养．
每间房定价
100元
90元
80元
60元
住房率
65%
75%
85%
95%
每间房定价
100元
90元
80元
60元
收入
6500
6750
6800
5700
x/台
1
2
3
4
5
y/元
3 000
6 000
9 000
12 000
15 000
x/台
6
7
8
9
10
y/元
18 000
21 000
24 000
27 000
30 000
x
1
2
3
f(x)
2
1
1
x
1
2
3
g(x)
3
2
1
x
1≤x<2
2
2f(x)
1
2
3