(最新)初三数学上册班培优讲义.直升班第07讲 二次函数的图象判断和几何变换(学生版)

二次函数的图象判断

和几何变换

模块一  二次函数的图象判断

模块二  二次函数的几何变换

模块一：二次函数的图象判断

1．二次函数图象与系数的关系

（1）a决定抛物线的开口方向

当时，抛物线开口向上；当时，抛物线开口向下．反之亦然．

（2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置：“左同右异”

当时，抛物线的对称轴为y轴；当a、b同号时，对称轴在y轴的左侧；当a、b异号时，对称轴在y轴的右侧．

（3）的大小决定抛物线与y轴交点的位置

当时，抛物线与y轴的交点为原点；当时，交点在y轴的正半轴；当时，交点在y轴的负半轴．

2．二次函数的图象信息

（1）根据抛物线的开口方向判断a的正负性．

（2）根据抛物线的对称轴判断b的正负性．

（3）根据抛物线与y轴的交点，判断c的正负性．

（4）根据抛物线与x轴有无交点，判断的正负性．

（5）根据抛物线的对称轴可得与的大小关系，可得的正负性．

（6）根据抛物线所经过的已知坐标的点，可得到关于a，b，c的等式．

（7）根据抛物线的顶点，判断的大小．

模块二：二次函数的几何变换

1．二次函数图象的平移

平移规律：在原有函数的基础上“左加右减”，“上加下减”．

2．二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达．

（1）关于x轴对称

关于x轴对称后，得到的解析式是．

关于x轴对称后，得到的解析式是．

（2）关于轴对称

关于y轴对称后，得到的解析式是．

关于y轴对称后，得到的解析式是．

（3）关于原点对称

关于原点对称后，得到的解析式是．

关于原点对称后，得到的解析式是．

（4）关于顶点对称

关于顶点对称后，得到的解析式是．

关于顶点对称后，得到的解析式是

（5）关于点对称

关于点对称后，得到的解析式是

3．二次函数图象的翻折

函数的图象可以由函数通过关于x轴的翻折变换得到．

具体规则为函数图象在x轴上方的部分不变，在x轴下方的部分翻折到x轴上方．

（1）二次函数的图象如图1-1，则一次函数的图象不经过（    ）

A．第一象限             B．第二象限             C．第三象限             D．第四象限

（2）二次函数的图象如图1-2，则下列六个代数式：ab、ac、、、、、中，其值为正的式子的个数是（    ）

A．5个        B．4个                C．3个        D．2个

（3）二次函数的图象如图1-3，则_______0．（填“>”、“<”或“=”）．

图1-1                     图1-2                       图1-3

（1）如图2-1，二次函数的图象经过点，下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有________．（填序号）

（2）如图2-2，已知二次函数的图象经过点，下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的有________．（填序号）

（3）（成外半期）二次函数的图象如图2-3所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤，（的实数），其中正确的结论的有________.（填序号）

图2-1                        图2-2                      图2-3

（1）（嘉祥月考）已知二次函数的图像如图3-1所示，它与x轴两个交点分别为，．对于下列命题：①；②；③；④．其中正确的有________．（填序号）

（2）如图3-2，抛物线的对称轴是，且过点，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有________．（填序号）

（3）如图3-3，已知二次函数的图象与x轴交于点，对称轴为直线，与y轴的交点B在和之间（包括这两点），下列结论：①当时，；②；③；④；其中正确的结论是_________．（填序号）

图3-1                         图3-2                      图3-3

（1）已知二次函数的图象如图4-1所示，顶点为，下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是____________．（填序号）

（2）二次函数的图象如图4-2所示，给出下列结论：①；②若，则；③；④，其中正确的结论有____________．（填序号）

图4-1                                       图4-2

（1）二次函数的图象如何移动就得到的图象（    ）．

A．向左移动1个单位，向上移动3个单位    B．向右移动1个单位，向上移动3个单位

C．向左移动1个单位，向下移动3个单位    D．向右移动1个单位，向下移动3个单位

（2）一抛物线向右平移3个单位，再向下平移2个单位后得抛物线，则平移前抛物线的解析式为________________．

（3）如果将抛物线向右平移a个单位后，恰好过点，那么a的值为__________．

（1）如图6-1所示，已知抛物线的解析式为，则抛物线的顶点坐标____________；将抛物线每次向右平移2个单位，平移n次，依次得到抛物线、、、…、（n为正整数），则抛物线的解析式为___________．

（2）如图6-2，把抛物线平移得到抛物线m，抛物线m经过点和原点，它的顶点为P，它的对称轴与抛物线交于点Q，则图中阴影部分的面积为___________．

图6-1                                            图6-2

已知二次函数，求：

（1）与此二次函数关于x轴对称的二次函数解析式为_____________________；

（2）与此二次函数关于y轴对称的二次函数解析式为_____________________；

（3）与此二次函数关于原点对称的二次函数解析式为_____________________．

已知二次函数的图象是．

（1）求关于点中心对称的图象的解析式；
（2）设曲线、与y轴的交点分别为A，B，当时，求a的值．

作出的函数图象．

（成外周考）已知关于x的一元二次方程有实数根，k为正整数．

（1）求k的值；

（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式；

（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图象回答：当直线与此图象有两个公共点时，b的取值范围．

（1）二次函数的图象如图1-1，则一次函数的图象不经过第________象限．

（2）如图1-2，二次函数的图象经过点和，给出五个结论：①；②；③；④；⑤．其中结论正确的是________．

（3）二次函数的图象如图1-3，小丹观察得出了下面五条信息：①；②；③；④；⑤，其中结论正确的是________．

图1-1                        图1-2                           图1-3

（1）已知二次函数的图象如图2-1所示，有下列结论：①；②；③；④；⑤．其中结论正确的是________．（填序号即可）

（2）如图2-2，抛物线的图象交x轴于、，交y轴正半轴于C，且．下列结论：①；②；③；④，其中结论正确的是________．

图2-1                                       图2-2

（1）（树德实验半期）把抛物线向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后的抛物线的解析式为________．

（2）将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，则a的值为________．

（3）如图，在平面直角坐标xOy中，抛物线的顶点为，且过点：

①将抛物线向右平移2个单位得抛物线，则抛物线的解析式_____________；

②写出阴影部分的面积_____________．

已知二次函数．

（1）指出这个二次函数图像的开口方向、对称轴和顶点坐标；

（2）把这个二次函数的图像上、下平移，使其顶点恰好落在正比例函数的图像上，求此时二次函数的解析式．

（1）在平面直角坐标系中，先将抛物线关于x轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于y轴作轴对称变换，则经两次变换后所得的新抛物线的解析式为________．

（2）已知二次函数的图象，将其函数图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，结合图象写出当直线与这个新图象有两个公共点时，n的取值范围为__________．