数学九年级上册22.1.4 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质优秀同步测试题

2023年人教版数学九年级上册

《22.1.4 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质》同步精炼

一              、选择题

1.二次函数y＝x2＋2x﹣3的开口方向、顶点坐标分别是(　　)

A.开口向上，顶点坐标为(﹣1，﹣4) 

B.开口向下，顶点坐标为(1，4)

C.开口向上，顶点坐标为(1，4)

D.开口向下，顶点坐标为(﹣1，﹣4)

2.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的x，y的部分对应值如下表：

则该二次函数图象的对称轴为(　　)

A.y轴            B.直线x＝    C.直线x＝2        D.直线x＝

3.已知函数：①y＝2x；②y＝﹣(x＜0)；③y＝3﹣2x；④y＝2x2＋x(x≥0)，其中y随x增大而增大的函数有(　　)

A.1个         B.2个         C.3个         D.4个

4.二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一次函数y＝ax＋c的图象可能是(　　)

A.   B.   C.   D.

5.抛物线y＝x2＋4x＋7的对称轴是(　　)

A.直线x＝4        B.直线x＝﹣4        C.直线x＝2        D.直线x＝﹣2

6.在同一直角坐标系中，函数y＝mx＋m和函数y＝mx2＋2x＋2(m是常数，且m≠0)的图象可能是(    )

7.已知二次函数y＝2(x＋1)(x﹣a)，其中a＞0，且对称轴为直线x＝2，则a的值是(　  　)

A.3                        B.5                          C.7                            D.不确定

8.二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一次函数y＝ax＋c的图象可能是(　　)

9.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点坐标为(4，0)，其部分图象如图所示.

下列结论：

①抛物线过原点；

②4a＋b＋c＝0；

③a﹣b＋c＜0；

④抛物线的顶点坐标为(2，b)；

⑤当x＜2时，y随x增大而增大.

其中结论正确的是(　　)

A.①②③        B.③④⑤        C.①②④        D.①④⑤

10.如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于点A(－1，0)，B(3，0).

下列结论：①2a－b＝0；②(a＋c)2＜b2；③当－1＜x＜3时，y＜0；④当a＝1时，将抛物线先向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到抛物线y＝(x－2)2－2.其中正确的是(　　)

A.①③                              B.②③                              C.②④                              D.③④

二              、填空题

11.二次函数y＝x2＋2x的顶点坐标为        ，对称轴是直线         _.

12.已知二次函数y＝x2＋bx＋3的对称轴为x＝2，则b＝       .

13.二次函数y＝(a﹣1)x2﹣x＋a2﹣1 的图象经过原点，则a的值为　   　.

14.如图，这是小明在阅读一本关于函数的课外读物时看到的一段文字，则被墨迹污染的二次项系数是__________.

15.如图，已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象的对称轴为过点(1，0)且与y轴平行的直线，点A、B均在图象上，且直线AB与x轴平行，若点A的坐标为(0，)，则点B的坐标为　　　 .

16.如图，已知二次函数y＝﹣x2＋2x，当﹣1＜x＜a时，y随x的增大而增大，则实数a的取值范围是　　      . 

三              、解答题

17.已知二次函数y＝x2－4x＋3.

(1)用配方法把它变成y＝(x－h)2＋k的形式；

(2)在直角坐标系中画出y＝x2－4x＋3的图象；

(3)若A(x1，y1)、B(x2，y2)是函数y＝x2－4x＋3图象上的两点，且x1<x2<1，请比较y1、y2的大小关系(直接写结果).

18.如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象经过B、C两点.

(1)求该二次函数的解析式；

(2)结合函数的图象探索：当y>0时x的取值范围.

19.下表给出一个二次函数的一些取值情况：

(1)求这个二次函数的解析式；

(2)在直角坐标系中画出这个二次函数的图象；

(3)根据图象说明：当x取何值时，y的值大于0?

20.已知二次函数y＝﹣2x2﹣4x＋6，

(1)求出函数的顶点坐标、对称轴以及描述该函数的增减性.

(2)求抛物线与x轴交点和y轴交点坐标；并画出它的大致图象.

(3)当﹣2＜x＜4时.求函数y的取值范围.

21.如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A(3 ，0)和点B(0，3)，且这个抛物线的对称轴为直线l，顶点为C.

(1)求抛物线的解析式；

(2)连接AB，AC，BC，求△ABC的面积.

22.二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过点A(1，0)，C(0，3).

(1)求b，c的值；

(2)求出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴；

(3)在所给坐标系中画出二次函数y＝x2＋bx＋c的图象，并根据图象在抛物线的对称轴上找一点P，使得△ACP的周长最小(直接写出点P的坐标).

答案

1.A

2.D.

3.C.

4.B.

5.D.

6.D

7.B

8.B

9.C.

10.D

11.答案为：(﹣1,﹣1),x＝﹣1.

12.答案为：﹣4.

13.答案为：﹣1.

14.答案为：﹣2.

15.答案为：(2，).

16.答案为：﹣1＜a≤1.

17.解：(1)y＝x2－4x＋3＝(x2－4x＋4)＋3－4＝(x－2)2－1.

(2)画抛物线y＝ax2＋bx＋c的草图，要确定五个方面，即①开口方向；②对称轴；③顶点；④与y轴交点；⑤与x轴交点.由(1)知图象的对称轴为直线x＝2，顶点坐标为(2，－1)，列表：

描点作图略.

(3)y1>y2.

18.解：(1)y＝－x2＋x＋2.

(2)－x2＋x＋2＝0，得：x1＝3，x2＝－1，

由图象可知：y>0时x的取值范围是－1＜x＜3.

19.解：(1)根据表格可知点(2，－1)是抛物线的顶点，故设y＝a(x－2)2－1.

∵抛物线过点(0，3)，

∴a(0－2)2－1＝3，解得a＝1，

∴y＝(x－2)2－1.

(2)略

(3)由函数图象可知：当x＜1或x＞3时，y＞0.

20.解：(1)∵a＝﹣2，b＝﹣4，c＝6，

∴﹣＝﹣＝﹣1，＝＝8，

∴顶点坐标(﹣1，8)，对称轴x＝﹣1，①当x≤﹣1时，y随着x的增大而增大，

当x≥﹣1时，y随着x的增大而减小；

(2)当y＝0时，﹣2x2﹣4x＋6＝0，∴x1＝﹣3，x2＝1，

当x＝0时，y＝6，

∴函数图象与x轴交点坐标(1，0)，(﹣3，0)，与y轴交点坐标(0，6)；

(3)由图象可知：

当﹣2＜x＜4时，函数y的取值范围﹣42＜y≤8.

21.解：(1)∵抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A(3 ，0)，B(0，3)，

∴解得b＝.

∴抛物线的解析式为y＝－x2＋x＋3.

(2)由(1)知抛物线的对称轴为直线x＝.

把x＝代入y＝－x2＋x＋3得y＝4，则点C的坐标为(，4).

∵直线AB过点B(0，3)，

∴设直线AB的解析式为y＝kx＋3.

∵A(3 ，0)，

∴3 k＋3＝0，∴k＝－，

∴直线AB的解析式为y＝－x＋3.

过点C作CH⊥x轴于点H，

则OH＝，CH＝4，AH＝OA－OH＝3 －＝2 .

∴S△ABC＝S四边形OHCB＋S△CHA－S△AOB

＝(OB＋CH)·OH＋AH·CH－OA·OB

＝×(3＋4)×＋×2 ×4－×3×3 ＝3 .

22.解：(1)将A(1，0)，C(0，3)分别代入y＝x2＋bx＋c，

得解得

(2)由(1)得二次函数解析式为y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，

故图象的顶点坐标为(2，－1)，对称轴是直线x＝2.

(3)如图：点P的坐标为(2，1).