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2019-2020学年河北省保定市定兴县七年级（下）期末数学试卷 解析版
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2019-2020学年河北省保定市定兴县七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共16个小题，1～10小题，每小题3分，11～16小题，每小题3分，共42分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）计算（a3）2的结果是（ ）
A．a B．a5 C．a6 D．a9
2．（3分）若a＞b，则下列不等式成立的是（ ）
A．a﹣3＞b﹣3 B．﹣2a＞﹣2b C． D．a2＞b2
3．（3分）某种细菌直径约为0.00000067mm，若将0.000 000 67mm用科学记数法表示为6.7×10nmm（n为负整数），则n的值为（ ）
A．﹣5 B．﹣6 C．﹣7 D．﹣8
4．（3分）下列式子从左到右变形是因式分解的是（ ）
A．12xy2＝3xy•4y B．（x+1）（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3
C．x2﹣4x+1＝x（x﹣4）+1 D．x3﹣x＝x（x+1）（x﹣1）
5．（3分）如图，在5×5方格纸中，将图①中的三角形甲平移到图②中所示的位置，与三角形乙拼成一个矩形，那么，下面的平移方法中，正确的是（ ）
A．先向下平移3格，再向右平移1格
B．先向下平移2格，再向右平移1格
C．先向下平移2格，再向右平移2格
D．先向下平移3格，再向右平移2格
6．（3分）下列每对数值中是方程x﹣3y＝1的解的是（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（3分）画△ABC的边AC上的高，下列画法中正确的是 （ ）
A． B．
C． D．
9．（3分）下列各题中，能用平方差公式的是（ ）
A．（1+a）（a+1） B．（x+y）（﹣y+x）
C．（x2﹣y）（x+y2） D．（x﹣y）（﹣x+y）
10．（3分）把代数式ax2﹣4ax+4a分解因式，下列结果中正确的是（ ）
A．a（x﹣2）2 B．a（x+2）2
C．a（x﹣4）2 D．a（x+2）（x﹣2）
11．（2分）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ）
A．2cm、2cm、4cm B．2cm、6cm、3cm
C．8cm、6cm、3cm D．11cm、4cm、6cm
12．（2分）如图，点E在BC的延长线上，下列条件中不能判定AB∥CD的是（ ）
A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4
C．∠B＝∠DCE D．∠D+∠DAB＝180°
13．（2分）如图，AB∥CD，一副三角尺按如图所示放置，∠AEG＝18°，则∠HFD为（ ）
A．23° B．33° C．36° D．38°
14．（2分）我国古代数学著作《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五，屈绳量之，不足一尺，问木长几何？”大致意思是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺，将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？”，设绳子长x尺，木条长y尺，根据题意所列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
15．（2分）某市举办花展，如图，在长为14m，宽为10m的长方形展厅，划出三个形状、大小完全一样的小长方形摆放水仙花，则每个小长方形的周长为（ ）
A．8 B．13 C．16 D．20
16．（2分）如图所示，下列各三角形中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，最后一个三角形中y与n之间的关系是（ ）
A．y＝2n+1 B．y＝2n+n C．y＝2n+1+n D．y＝2n+n+1
二、填空题（本大题共3个小题；17小题3分，18、19小题各4分，共11分．把答案写在题中横线上）
17．（3分）利用分解因式计算＝ ．
18．（4分）如图，直线AB、CD被直线EF所截，∠A和 是同位角，∠A和 是内错角．
19．（4分）体育课上，甲、乙两班学生进行“引体向上”身体素质测试，测试统计结果如下：
甲班：全班同学“引体向上”总次数为n2；
乙班：全班同学“引体向上”总次数为50n﹣625．（注：两班人数均超过30人）
请比较一下两班学生“引体向上”总次数， 班的次数多，多 次．
三、解答题（本大题共7个小题，共67分．解答应写出文字说明、说理过程或演算步骤．）
20．（8分）解方程组：
21．（9分）下面是一个正确的因式分解，但是其中部分一次式被墨水污染看不清了．
2x2+3x﹣6+＝（x﹣2）（2x+5）．
（1）求被墨水污染的一次式；
（2）若被墨水污染的一次式的值不小于2，求x的取值范围．
22．（9分）小红同学在做作业时，遇到这样一道几何题：
已知：AB∥CD∥EF，∠A＝110°，∠ACE＝100°，过点E作EH⊥EF，垂足为E，交CD于H点．
（1）依据题意，补全图形（图1）；
（2）求∠CEH的度数．
小明想了许久对于求∠CEH的度数没有思路，就去请教好朋友小丽，小丽给了他如图2所示的提示：
请问小丽的提示中理由①是 ；
提示中②是： 度；
提示中③是： 度；
提示中④是： ，理由⑤是 ．
提示中⑥是 度；
23．（9分）老师在黑板上写了三个算式，希望同学们认真观察，发现规律．请你结合这些算式，解答下列问题：
请观察以下算式：
①32﹣12＝8×1；
②52﹣32＝8×2；
③72﹣52＝8×3；
………
试写出符合上述规律的第五个算式；
验证：设两个连续奇数为2n+1，2n﹣1（其中n为正整数），并说明它们的平方差是8的倍数；
24．（10分）如图所示，有一块直角三角板DEF（足够大），其中∠EDF＝90°，把直角三角板DEF放置在锐角△ABC上，三角板DEF的两边DE、DF恰好分别经过B、C．
（1）若∠A＝40°，则∠ABC+∠ACB＝ °，∠DBC+∠DCB＝ °∠ABD+∠ACD＝ °．
（2）若∠A＝55°，则∠ABD+∠ACD＝ °．
（3）请你猜想一下∠ABD+∠ACD与∠A所满足的数量关系 ．
25．（10分）为了更好地保护环境，治理水质，我区某治污公司决定购买12台污水处理设备，现有A、B两种型号设备，A型每台m万元； B型每台n万元，经调查买一台A型设备比买一台B型设备多3万元，购买2台A型设备比购买3台B型设备少5万元．
（1）求m、n的值．
（2）经预算，该治污公司购买污水处理器的资金不超过158万元．该公司A型设备最多能买台？
26．（12分）已知△ABC，EF∥AC交直线AB于点E，DF∥AB交直线AC于点D．
（1）如图1，若点F在边BC上，
①补全图形；
②判断∠BAC与∠EFD的数量关系，并给予证明；
（2）若点F在边BC的延长线上，（1）中的结论还成立吗？若成立，给予证明；若不成立，说明理由．
2019-2020学年河北省保定市定兴县七年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共16个小题，1～10小题，每小题3分，11～16小题，每小题3分，共42分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）计算（a3）2的结果是（ ）
A．a B．a5 C．a6 D．a9
【分析】根据幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．（am）n＝amn（m，n是正整数）计算即可．
【解答】解：（a3）2＝a3×2＝a6．
故选：C．
2．（3分）若a＞b，则下列不等式成立的是（ ）
A．a﹣3＞b﹣3 B．﹣2a＞﹣2b C． D．a2＞b2
【分析】根据不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，可得答案．
【解答】解：A、不等式的两边都减去3，不等号的方向不变，故A正确；
B、不等式的两边都乘以﹣2，不等号的方向改变，故B错误；
C、不等式的两边都除以4，不等号的方向不变，故C错误；
D、当a＝1，b＝﹣2时，a2＜b2，故D错误；
故选：A．
3．（3分）某种细菌直径约为0.00000067mm，若将0.000 000 67mm用科学记数法表示为6.7×10nmm（n为负整数），则n的值为（ ）
A．﹣5 B．﹣6 C．﹣7 D．﹣8
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：∵0.000 000 67mm＝6.7×10﹣7mm＝6.7×10nmm，
∴n＝﹣7．
故选：C．
4．（3分）下列式子从左到右变形是因式分解的是（ ）
A．12xy2＝3xy•4y B．（x+1）（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3
C．x2﹣4x+1＝x（x﹣4）+1 D．x3﹣x＝x（x+1）（x﹣1）
【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．
【解答】解：A、不是因式分解，故本选项不符合题意；
B、不是因式分解，故本选项不符合题意；
C、不是因式分解，故本选项不符合题意；
D、是因式分解，故本选项符合题意；
故选：D．
5．（3分）如图，在5×5方格纸中，将图①中的三角形甲平移到图②中所示的位置，与三角形乙拼成一个矩形，那么，下面的平移方法中，正确的是（ ）
A．先向下平移3格，再向右平移1格
B．先向下平移2格，再向右平移1格
C．先向下平移2格，再向右平移2格
D．先向下平移3格，再向右平移2格
【分析】根据图形，对比图①与图②中位置关系，对选项进行分析，排除错误答案．
【解答】解：观察图形可知：平移是先向下平移3格，再向右平移2格．
故选：D．
6．（3分）下列每对数值中是方程x﹣3y＝1的解的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】二元一次方程的解有无数个，所以此题应该用排除法确定答案，分别代入方程组，使方程左右相等的解才是方程组的解．
【解答】解：A．把x＝﹣2，y＝﹣1代入方程，左边＝﹣2+3＝1＝右边，所以是方程的解；
B．把x＝1，y＝﹣1代入方程，左边＝1+3＝4≠右边，所以不是方程的解；
C．把x＝1，y＝1代入方程，左边＝1﹣3＝﹣2≠右边，所以不是方程的解；
D．把x＝0，y＝1代入方程，左边＝﹣3≠右边，所以不是方程的解．
故选：A．
7．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】先根据不等式组求出解集，然后在数轴上准确的表示出来即可．
【解答】解：原不等式组可化简为：．
∴在数轴上表示为：
故选：A．
8．（3分）画△ABC的边AC上的高，下列画法中正确的是 （ ）
A． B．
C． D．
【分析】作哪一条边上的高，即从所对的顶点向这条边或这条边的延长线作垂线段即可．
【解答】解：在△ABC中，画出边AC上的高，即是过点B作AC边的垂线段，正确的是C．
故选：C．
9．（3分）下列各题中，能用平方差公式的是（ ）
A．（1+a）（a+1） B．（x+y）（﹣y+x）
C．（x2﹣y）（x+y2） D．（x﹣y）（﹣x+y）
【分析】利用平方差公式的结构特征判断即可得到结果．
【解答】解：能用平方差公式分解的是（x+y）（﹣y+x）＝x2﹣y2，
故选：B．
10．（3分）把代数式ax2﹣4ax+4a分解因式，下列结果中正确的是（ ）
A．a（x﹣2）2 B．a（x+2）2
C．a（x﹣4）2 D．a（x+2）（x﹣2）
【分析】先提取公因式a，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：ax2﹣4ax+4a，
＝a（x2﹣4x+4），
＝a（x﹣2）2．
故选：A．
11．（2分）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ）
A．2cm、2cm、4cm B．2cm、6cm、3cm
C．8cm、6cm、3cm D．11cm、4cm、6cm
【分析】利用三角形三边关系判断即可，两边之和＞第三边＞两边之差．
【解答】解：A、2+2＝4，故不选；
B、2+3＝5＜6，故不选；
C、3+6＝9＞8＞6﹣3＝3，符合条件．
D、4+6＝10＜11，故不选．
综上，故选；C．
12．（2分）如图，点E在BC的延长线上，下列条件中不能判定AB∥CD的是（ ）
A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4
C．∠B＝∠DCE D．∠D+∠DAB＝180°
【分析】根据平行线的判定定理同位角相等，两直线平行．内错角相等，两直线平行．同旁内角互补，两直线平行分别进行分析．
【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴AB∥CD，故A能判定AB∥CD；
∵∠3＝∠4，
∴AD∥BC，故B不能判定；
∵∠B＝∠DCE，
∴AB∥CD，故C能判定；
∵∠D+∠DAB＝180°，
∴AB∥CD，故D能判定；
故选：B．
13．（2分）如图，AB∥CD，一副三角尺按如图所示放置，∠AEG＝18°，则∠HFD为（ ）
A．23° B．33° C．36° D．38°
【分析】过点G作AB平行线交EF于P，根据平行线的性质求出∠EGP，求出∠PGF，根据平行线的性质、平角的概念计算即可．
【解答】解：过点G作AB平行线交EF于P，
由题意易知，AB∥GP∥CD，
∴∠EGP＝∠AEG＝18°，
∴∠PGF＝72°，
∴∠GFC＝∠PGF＝72°，
∴∠HFD＝180°﹣∠GFC﹣∠GFP﹣∠EFH＝33°．
故选：B．
14．（2分）我国古代数学著作《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五，屈绳量之，不足一尺，问木长几何？”大致意思是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺，将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？”，设绳子长x尺，木条长y尺，根据题意所列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】本题的等量关系是：绳长﹣木长＝4.5；木长﹣×绳长＝1，据此列方程组即可求解．
【解答】解：设绳子长x尺，木条长y尺，依题意有．
故选：B．
15．（2分）某市举办花展，如图，在长为14m，宽为10m的长方形展厅，划出三个形状、大小完全一样的小长方形摆放水仙花，则每个小长方形的周长为（ ）
A．8 B．13 C．16 D．20
【分析】设小长方形的长为xm，宽为ym，由图可知，长方形展厅的长是（2x+y）m，宽为（x+2y）m，由此列出方程组求得长、宽，进一步解决问题．
【解答】解：设小长方形的长为xm，宽为ym，由图可得：
，
解得x+y＝8，
则每个小长方形的周长为8×2＝16m．
故选：C．
16．（2分）如图所示，下列各三角形中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，最后一个三角形中y与n之间的关系是（ ）
A．y＝2n+1 B．y＝2n+n C．y＝2n+1+n D．y＝2n+n+1
【分析】由题意可得下边三角形的数字规律为：n+2n，继而求得答案．
【解答】解：∵观察可知：左边三角形的数字规律为：1，2，…，n，
右边三角形的数字规律为：2，22，…，2n，
下边三角形的数字规律为：1+2，2+22，…，n+2n，
∴y＝2n+n．
故选：B．
二、填空题（本大题共3个小题；17小题3分，18、19小题各4分，共11分．把答案写在题中横线上）
17．（3分）利用分解因式计算＝ 500 ．
【分析】将分母因式分解后即可计算．
【解答】解：原式＝
＝
＝500．
故答案为：500．
18．（4分）如图，直线AB、CD被直线EF所截，∠A和 ∠1 是同位角，∠A和 ∠3 是内错角．
【分析】根据同位角，内错角，同旁内角的定义判断即可．
【解答】解：直线AB、CD被直线EF所截，
∠A和∠1是同位角，∠A和∠3是内错角．
故答案为：∠1；∠3．
19．（4分）体育课上，甲、乙两班学生进行“引体向上”身体素质测试，测试统计结果如下：
甲班：全班同学“引体向上”总次数为n2；
乙班：全班同学“引体向上”总次数为50n﹣625．（注：两班人数均超过30人）
请比较一下两班学生“引体向上”总次数， 甲 班的次数多，多 （n﹣25）2 次．
【分析】运用差值法，求出甲减乙的差，通过因式分解判断其差的正负，再确定两数的大小．
【解答】解：n2﹣（50n﹣625）＝n2﹣50n+252＝（n﹣25）2≥0，
∴n2≥50n﹣625，
∴两班学生“引体向上”总次数，甲班的次数多，多（n﹣25）2次，
故答案为：甲；（n﹣25）2．
三、解答题（本大题共7个小题，共67分．解答应写出文字说明、说理过程或演算步骤．）
20．（8分）解方程组：
【分析】利用加减消元法求解可得．
【解答】解：，
①+②×4，得：23x＝23，
解得：x＝1，
将x＝1代入①，得：3+4y＝7，
解得y＝1，
则方程组的解为．
21．（9分）下面是一个正确的因式分解，但是其中部分一次式被墨水污染看不清了．
2x2+3x﹣6+＝（x﹣2）（2x+5）．
（1）求被墨水污染的一次式；
（2）若被墨水污染的一次式的值不小于2，求x的取值范围．
【分析】（1）根据题意得出被墨水污染的一次式为 （x﹣2）（2x+5）﹣（2x2+3x﹣6），再求出即可；
（2）根据题意得出不等式，求出不等式的解集即可．
【解答】解：（1）被墨水污染的一次式为 （x﹣2）（2x+5）﹣（2x2+3x﹣6）
＝2x2+5x﹣4x﹣10﹣2x2﹣3x+6
＝﹣2x﹣4；
（2）根据题意得：﹣2x﹣4≥2，
解得：x≤﹣3，
即x的取值范围是x≤﹣3．
22．（9分）小红同学在做作业时，遇到这样一道几何题：
已知：AB∥CD∥EF，∠A＝110°，∠ACE＝100°，过点E作EH⊥EF，垂足为E，交CD于H点．
（1）依据题意，补全图形（图1）；
（2）求∠CEH的度数．
小明想了许久对于求∠CEH的度数没有思路，就去请教好朋友小丽，小丽给了他如图2所示的提示：
请问小丽的提示中理由①是 两直线平行，同旁内角互补 ；
提示中②是： 70 度；
提示中③是： 30 度；
提示中④是： ∠CEF ，理由⑤是 两直线平行，内错角相等 ．
提示中⑥是 60 度；
【分析】（1）根据题意画出图形即可；
（2）根据平行线的性质解答即可．
【解答】解：（1）依据题意补全图形
（2）①：两直线平行，同旁内角互补，
②：70°，
③：30°，
④：∠CEF，
⑤：两直线平行，内错角相等，
⑥：60°，
故答案为：两直线平行，同旁内角互补，70，30，∠CEF，两直线平行，内错角相等，60．
23．（9分）老师在黑板上写了三个算式，希望同学们认真观察，发现规律．请你结合这些算式，解答下列问题：
请观察以下算式：
①32﹣12＝8×1；
②52﹣32＝8×2；
③72﹣52＝8×3；
………
试写出符合上述规律的第五个算式；
验证：设两个连续奇数为2n+1，2n﹣1（其中n为正整数），并说明它们的平方差是8的倍数；
【分析】仿照已知等式确定出第五个算式即可；列出两个连续奇数的平方差，分解后即可作出判断．
【解答】解：第五个算式为：112﹣92＝8×5；
验证：设两个连续奇数为 2n+1，2n﹣1（其中 n 为正整数），
则（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝（2n+1﹣2n+1）（2n+1+2n﹣1）＝2×4n＝8n．
故两个连续奇数的平方差是8 的倍数．
24．（10分）如图所示，有一块直角三角板DEF（足够大），其中∠EDF＝90°，把直角三角板DEF放置在锐角△ABC上，三角板DEF的两边DE、DF恰好分别经过B、C．
（1）若∠A＝40°，则∠ABC+∠ACB＝ 140 °，∠DBC+∠DCB＝ 90 °∠ABD+∠ACD＝ 50 °．
（2）若∠A＝55°，则∠ABD+∠ACD＝ 35 °．
（3）请你猜想一下∠ABD+∠ACD与∠A所满足的数量关系 ∠ABD+∠ACD＝90°﹣∠A ．
【分析】（1）根据三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝140°，∠DBC+∠DCB＝180°﹣∠DBC＝90°，进而可求出∠ABD+∠ACD的度数；
（2）根据三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝130°，∠DBC+∠DCB＝180°﹣∠DBC＝90°，进而可求出∠ABD+∠ACD的度数；
（3）根据三角形内角和定义有90°+（∠ABD+∠ACD）+∠A＝180°，则∠ABD+∠ACD＝90°﹣∠A．
【解答】解：（1）在△ABC中，∵∠A＝40°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣40°＝140°，
在△DBC中，∵∠BDC＝90°，
∴∠DBC+∠DCB＝180°﹣90°＝90°，
∴∠ABD+∠ACD＝140°﹣90°＝50°；
故答案为：140；90；50．
（2）在△ABC中，∵∠A＝55°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣55°＝125°，
在△DBC中，∵∠BDC＝90°，
∴∠DBC+∠DCB＝180°﹣90°＝90°，
∴∠ABD+∠ACD＝125°﹣90°＝35°，
故答案为：35；
（3）∠ABD+∠ACD与∠A之间的数量关系为：∠ABD+∠ACD＝90°﹣∠A．证明如下：
在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A．
在△DBC中，∠DBC+∠DCB＝90°．
∴∠ABC+∠ACB﹣（∠DBC+∠DCB）＝180°﹣∠A﹣90°．
∴∠ABD+∠ACD＝90°﹣∠A，
故答案为：∠ABD+∠ACD＝90°﹣∠A．
25．（10分）为了更好地保护环境，治理水质，我区某治污公司决定购买12台污水处理设备，现有A、B两种型号设备，A型每台m万元； B型每台n万元，经调查买一台A型设备比买一台B型设备多3万元，购买2台A型设备比购买3台B型设备少5万元．
（1）求m、n的值．
（2）经预算，该治污公司购买污水处理器的资金不超过158万元．该公司A型设备最多能买台？
【分析】（1）根据：“买一台A型设备比买一台B型设备多3万元，购买2台A型设备比购买3台B型设备少5万元”列方程组求解可得；
（2）根据：“购买污水处理器的资金不超过158万元”列不等式求解可得．
【解答】解：（1）根据题意，得：，
解得：，
答：m的值为14，n的值为11；
（2）设A型设备买x台，
根据题意，得：14x+11（12﹣x）≤158，
解得：x≤8，
答：A型设备最多买8台．
26．（12分）已知△ABC，EF∥AC交直线AB于点E，DF∥AB交直线AC于点D．
（1）如图1，若点F在边BC上，
①补全图形；
②判断∠BAC与∠EFD的数量关系，并给予证明；
（2）若点F在边BC的延长线上，（1）中的结论还成立吗？若成立，给予证明；若不成立，说明理由．
【分析】（1）①过一点作已知直线的平行线即可；
②根据平行线的性质和三角形内角和定理即可得到∠BAC与∠EFD的数量关系；
（2）首先作出图形，再结合平行线的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）①见图1；
②∠BAC＝∠EFD．
证明：∵EF∥AC，
∴∠EFB＝∠C．
∵DF∥AB，
∴∠DFC＝∠B．
∴∠EFD＝180°﹣（∠EFB+∠DFC）＝180°﹣（∠C+∠B）．
在△ABC中，∠BAC＝180°﹣（∠C+∠B），
∴∠BAC＝∠EFD．
（2）当点F在边BC的延长线上时，∠BAC+∠EFD＝180°；
证明：如备用图，
∵DF∥AB，
∴∠D＝∠1．
∵EF∥AC，
∴∠EFD+∠D＝180°．
∴∠EFD+∠1＝180°．
即∠BAC+∠EFD＝180°．
一、选择题（本大题共16个小题，1～10小题，每小题3分，11～16小题，每小题3分，共42分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）计算（a3）2的结果是（ ）
A．a B．a5 C．a6 D．a9
2．（3分）若a＞b，则下列不等式成立的是（ ）
A．a﹣3＞b﹣3 B．﹣2a＞﹣2b C． D．a2＞b2
3．（3分）某种细菌直径约为0.00000067mm，若将0.000 000 67mm用科学记数法表示为6.7×10nmm（n为负整数），则n的值为（ ）
A．﹣5 B．﹣6 C．﹣7 D．﹣8
4．（3分）下列式子从左到右变形是因式分解的是（ ）
A．12xy2＝3xy•4y B．（x+1）（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3
C．x2﹣4x+1＝x（x﹣4）+1 D．x3﹣x＝x（x+1）（x﹣1）
5．（3分）如图，在5×5方格纸中，将图①中的三角形甲平移到图②中所示的位置，与三角形乙拼成一个矩形，那么，下面的平移方法中，正确的是（ ）
A．先向下平移3格，再向右平移1格
B．先向下平移2格，再向右平移1格
C．先向下平移2格，再向右平移2格
D．先向下平移3格，再向右平移2格
6．（3分）下列每对数值中是方程x﹣3y＝1的解的是（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（3分）画△ABC的边AC上的高，下列画法中正确的是 （ ）
A． B．
C． D．
9．（3分）下列各题中，能用平方差公式的是（ ）
A．（1+a）（a+1） B．（x+y）（﹣y+x）
C．（x2﹣y）（x+y2） D．（x﹣y）（﹣x+y）
10．（3分）把代数式ax2﹣4ax+4a分解因式，下列结果中正确的是（ ）
A．a（x﹣2）2 B．a（x+2）2
C．a（x﹣4）2 D．a（x+2）（x﹣2）
11．（2分）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ）
A．2cm、2cm、4cm B．2cm、6cm、3cm
C．8cm、6cm、3cm D．11cm、4cm、6cm
12．（2分）如图，点E在BC的延长线上，下列条件中不能判定AB∥CD的是（ ）
A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4
C．∠B＝∠DCE D．∠D+∠DAB＝180°
13．（2分）如图，AB∥CD，一副三角尺按如图所示放置，∠AEG＝18°，则∠HFD为（ ）
A．23° B．33° C．36° D．38°
14．（2分）我国古代数学著作《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五，屈绳量之，不足一尺，问木长几何？”大致意思是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺，将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？”，设绳子长x尺，木条长y尺，根据题意所列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
15．（2分）某市举办花展，如图，在长为14m，宽为10m的长方形展厅，划出三个形状、大小完全一样的小长方形摆放水仙花，则每个小长方形的周长为（ ）
A．8 B．13 C．16 D．20
16．（2分）如图所示，下列各三角形中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，最后一个三角形中y与n之间的关系是（ ）
A．y＝2n+1 B．y＝2n+n C．y＝2n+1+n D．y＝2n+n+1
二、填空题（本大题共3个小题；17小题3分，18、19小题各4分，共11分．把答案写在题中横线上）
17．（3分）利用分解因式计算＝ ．
18．（4分）如图，直线AB、CD被直线EF所截，∠A和 是同位角，∠A和 是内错角．
19．（4分）体育课上，甲、乙两班学生进行“引体向上”身体素质测试，测试统计结果如下：
甲班：全班同学“引体向上”总次数为n2；
乙班：全班同学“引体向上”总次数为50n﹣625．（注：两班人数均超过30人）
请比较一下两班学生“引体向上”总次数， 班的次数多，多 次．
三、解答题（本大题共7个小题，共67分．解答应写出文字说明、说理过程或演算步骤．）
20．（8分）解方程组：
21．（9分）下面是一个正确的因式分解，但是其中部分一次式被墨水污染看不清了．
2x2+3x﹣6+＝（x﹣2）（2x+5）．
（1）求被墨水污染的一次式；
（2）若被墨水污染的一次式的值不小于2，求x的取值范围．
22．（9分）小红同学在做作业时，遇到这样一道几何题：
已知：AB∥CD∥EF，∠A＝110°，∠ACE＝100°，过点E作EH⊥EF，垂足为E，交CD于H点．
（1）依据题意，补全图形（图1）；
（2）求∠CEH的度数．
小明想了许久对于求∠CEH的度数没有思路，就去请教好朋友小丽，小丽给了他如图2所示的提示：
请问小丽的提示中理由①是 ；
提示中②是： 度；
提示中③是： 度；
提示中④是： ，理由⑤是 ．
提示中⑥是 度；
23．（9分）老师在黑板上写了三个算式，希望同学们认真观察，发现规律．请你结合这些算式，解答下列问题：
请观察以下算式：
①32﹣12＝8×1；
②52﹣32＝8×2；
③72﹣52＝8×3；
………
试写出符合上述规律的第五个算式；
验证：设两个连续奇数为2n+1，2n﹣1（其中n为正整数），并说明它们的平方差是8的倍数；
24．（10分）如图所示，有一块直角三角板DEF（足够大），其中∠EDF＝90°，把直角三角板DEF放置在锐角△ABC上，三角板DEF的两边DE、DF恰好分别经过B、C．
（1）若∠A＝40°，则∠ABC+∠ACB＝ °，∠DBC+∠DCB＝ °∠ABD+∠ACD＝ °．
（2）若∠A＝55°，则∠ABD+∠ACD＝ °．
（3）请你猜想一下∠ABD+∠ACD与∠A所满足的数量关系 ．
25．（10分）为了更好地保护环境，治理水质，我区某治污公司决定购买12台污水处理设备，现有A、B两种型号设备，A型每台m万元； B型每台n万元，经调查买一台A型设备比买一台B型设备多3万元，购买2台A型设备比购买3台B型设备少5万元．
（1）求m、n的值．
（2）经预算，该治污公司购买污水处理器的资金不超过158万元．该公司A型设备最多能买台？
26．（12分）已知△ABC，EF∥AC交直线AB于点E，DF∥AB交直线AC于点D．
（1）如图1，若点F在边BC上，
①补全图形；
②判断∠BAC与∠EFD的数量关系，并给予证明；
（2）若点F在边BC的延长线上，（1）中的结论还成立吗？若成立，给予证明；若不成立，说明理由．
2019-2020学年河北省保定市定兴县七年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共16个小题，1～10小题，每小题3分，11～16小题，每小题3分，共42分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）计算（a3）2的结果是（ ）
A．a B．a5 C．a6 D．a9
【分析】根据幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．（am）n＝amn（m，n是正整数）计算即可．
【解答】解：（a3）2＝a3×2＝a6．
故选：C．
2．（3分）若a＞b，则下列不等式成立的是（ ）
A．a﹣3＞b﹣3 B．﹣2a＞﹣2b C． D．a2＞b2
【分析】根据不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，可得答案．
【解答】解：A、不等式的两边都减去3，不等号的方向不变，故A正确；
B、不等式的两边都乘以﹣2，不等号的方向改变，故B错误；
C、不等式的两边都除以4，不等号的方向不变，故C错误；
D、当a＝1，b＝﹣2时，a2＜b2，故D错误；
故选：A．
3．（3分）某种细菌直径约为0.00000067mm，若将0.000 000 67mm用科学记数法表示为6.7×10nmm（n为负整数），则n的值为（ ）
A．﹣5 B．﹣6 C．﹣7 D．﹣8
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：∵0.000 000 67mm＝6.7×10﹣7mm＝6.7×10nmm，
∴n＝﹣7．
故选：C．
4．（3分）下列式子从左到右变形是因式分解的是（ ）
A．12xy2＝3xy•4y B．（x+1）（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3
C．x2﹣4x+1＝x（x﹣4）+1 D．x3﹣x＝x（x+1）（x﹣1）
【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．
【解答】解：A、不是因式分解，故本选项不符合题意；
B、不是因式分解，故本选项不符合题意；
C、不是因式分解，故本选项不符合题意；
D、是因式分解，故本选项符合题意；
故选：D．
5．（3分）如图，在5×5方格纸中，将图①中的三角形甲平移到图②中所示的位置，与三角形乙拼成一个矩形，那么，下面的平移方法中，正确的是（ ）
A．先向下平移3格，再向右平移1格
B．先向下平移2格，再向右平移1格
C．先向下平移2格，再向右平移2格
D．先向下平移3格，再向右平移2格
【分析】根据图形，对比图①与图②中位置关系，对选项进行分析，排除错误答案．
【解答】解：观察图形可知：平移是先向下平移3格，再向右平移2格．
故选：D．
6．（3分）下列每对数值中是方程x﹣3y＝1的解的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】二元一次方程的解有无数个，所以此题应该用排除法确定答案，分别代入方程组，使方程左右相等的解才是方程组的解．
【解答】解：A．把x＝﹣2，y＝﹣1代入方程，左边＝﹣2+3＝1＝右边，所以是方程的解；
B．把x＝1，y＝﹣1代入方程，左边＝1+3＝4≠右边，所以不是方程的解；
C．把x＝1，y＝1代入方程，左边＝1﹣3＝﹣2≠右边，所以不是方程的解；
D．把x＝0，y＝1代入方程，左边＝﹣3≠右边，所以不是方程的解．
故选：A．
7．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】先根据不等式组求出解集，然后在数轴上准确的表示出来即可．
【解答】解：原不等式组可化简为：．
∴在数轴上表示为：
故选：A．
8．（3分）画△ABC的边AC上的高，下列画法中正确的是 （ ）
A． B．
C． D．
【分析】作哪一条边上的高，即从所对的顶点向这条边或这条边的延长线作垂线段即可．
【解答】解：在△ABC中，画出边AC上的高，即是过点B作AC边的垂线段，正确的是C．
故选：C．
9．（3分）下列各题中，能用平方差公式的是（ ）
A．（1+a）（a+1） B．（x+y）（﹣y+x）
C．（x2﹣y）（x+y2） D．（x﹣y）（﹣x+y）
【分析】利用平方差公式的结构特征判断即可得到结果．
【解答】解：能用平方差公式分解的是（x+y）（﹣y+x）＝x2﹣y2，
故选：B．
10．（3分）把代数式ax2﹣4ax+4a分解因式，下列结果中正确的是（ ）
A．a（x﹣2）2 B．a（x+2）2
C．a（x﹣4）2 D．a（x+2）（x﹣2）
【分析】先提取公因式a，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：ax2﹣4ax+4a，
＝a（x2﹣4x+4），
＝a（x﹣2）2．
故选：A．
11．（2分）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ）
A．2cm、2cm、4cm B．2cm、6cm、3cm
C．8cm、6cm、3cm D．11cm、4cm、6cm
【分析】利用三角形三边关系判断即可，两边之和＞第三边＞两边之差．
【解答】解：A、2+2＝4，故不选；
B、2+3＝5＜6，故不选；
C、3+6＝9＞8＞6﹣3＝3，符合条件．
D、4+6＝10＜11，故不选．
综上，故选；C．
12．（2分）如图，点E在BC的延长线上，下列条件中不能判定AB∥CD的是（ ）
A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4
C．∠B＝∠DCE D．∠D+∠DAB＝180°
【分析】根据平行线的判定定理同位角相等，两直线平行．内错角相等，两直线平行．同旁内角互补，两直线平行分别进行分析．
【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴AB∥CD，故A能判定AB∥CD；
∵∠3＝∠4，
∴AD∥BC，故B不能判定；
∵∠B＝∠DCE，
∴AB∥CD，故C能判定；
∵∠D+∠DAB＝180°，
∴AB∥CD，故D能判定；
故选：B．
13．（2分）如图，AB∥CD，一副三角尺按如图所示放置，∠AEG＝18°，则∠HFD为（ ）
A．23° B．33° C．36° D．38°
【分析】过点G作AB平行线交EF于P，根据平行线的性质求出∠EGP，求出∠PGF，根据平行线的性质、平角的概念计算即可．
【解答】解：过点G作AB平行线交EF于P，
由题意易知，AB∥GP∥CD，
∴∠EGP＝∠AEG＝18°，
∴∠PGF＝72°，
∴∠GFC＝∠PGF＝72°，
∴∠HFD＝180°﹣∠GFC﹣∠GFP﹣∠EFH＝33°．
故选：B．
14．（2分）我国古代数学著作《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五，屈绳量之，不足一尺，问木长几何？”大致意思是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺，将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？”，设绳子长x尺，木条长y尺，根据题意所列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】本题的等量关系是：绳长﹣木长＝4.5；木长﹣×绳长＝1，据此列方程组即可求解．
【解答】解：设绳子长x尺，木条长y尺，依题意有．
故选：B．
15．（2分）某市举办花展，如图，在长为14m，宽为10m的长方形展厅，划出三个形状、大小完全一样的小长方形摆放水仙花，则每个小长方形的周长为（ ）
A．8 B．13 C．16 D．20
【分析】设小长方形的长为xm，宽为ym，由图可知，长方形展厅的长是（2x+y）m，宽为（x+2y）m，由此列出方程组求得长、宽，进一步解决问题．
【解答】解：设小长方形的长为xm，宽为ym，由图可得：
，
解得x+y＝8，
则每个小长方形的周长为8×2＝16m．
故选：C．
16．（2分）如图所示，下列各三角形中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，最后一个三角形中y与n之间的关系是（ ）
A．y＝2n+1 B．y＝2n+n C．y＝2n+1+n D．y＝2n+n+1
【分析】由题意可得下边三角形的数字规律为：n+2n，继而求得答案．
【解答】解：∵观察可知：左边三角形的数字规律为：1，2，…，n，
右边三角形的数字规律为：2，22，…，2n，
下边三角形的数字规律为：1+2，2+22，…，n+2n，
∴y＝2n+n．
故选：B．
二、填空题（本大题共3个小题；17小题3分，18、19小题各4分，共11分．把答案写在题中横线上）
17．（3分）利用分解因式计算＝ 500 ．
【分析】将分母因式分解后即可计算．
【解答】解：原式＝
＝
＝500．
故答案为：500．
18．（4分）如图，直线AB、CD被直线EF所截，∠A和 ∠1 是同位角，∠A和 ∠3 是内错角．
【分析】根据同位角，内错角，同旁内角的定义判断即可．
【解答】解：直线AB、CD被直线EF所截，
∠A和∠1是同位角，∠A和∠3是内错角．
故答案为：∠1；∠3．
19．（4分）体育课上，甲、乙两班学生进行“引体向上”身体素质测试，测试统计结果如下：
甲班：全班同学“引体向上”总次数为n2；
乙班：全班同学“引体向上”总次数为50n﹣625．（注：两班人数均超过30人）
请比较一下两班学生“引体向上”总次数， 甲 班的次数多，多 （n﹣25）2 次．
【分析】运用差值法，求出甲减乙的差，通过因式分解判断其差的正负，再确定两数的大小．
【解答】解：n2﹣（50n﹣625）＝n2﹣50n+252＝（n﹣25）2≥0，
∴n2≥50n﹣625，
∴两班学生“引体向上”总次数，甲班的次数多，多（n﹣25）2次，
故答案为：甲；（n﹣25）2．
三、解答题（本大题共7个小题，共67分．解答应写出文字说明、说理过程或演算步骤．）
20．（8分）解方程组：
【分析】利用加减消元法求解可得．
【解答】解：，
①+②×4，得：23x＝23，
解得：x＝1，
将x＝1代入①，得：3+4y＝7，
解得y＝1，
则方程组的解为．
21．（9分）下面是一个正确的因式分解，但是其中部分一次式被墨水污染看不清了．
2x2+3x﹣6+＝（x﹣2）（2x+5）．
（1）求被墨水污染的一次式；
（2）若被墨水污染的一次式的值不小于2，求x的取值范围．
【分析】（1）根据题意得出被墨水污染的一次式为 （x﹣2）（2x+5）﹣（2x2+3x﹣6），再求出即可；
（2）根据题意得出不等式，求出不等式的解集即可．
【解答】解：（1）被墨水污染的一次式为 （x﹣2）（2x+5）﹣（2x2+3x﹣6）
＝2x2+5x﹣4x﹣10﹣2x2﹣3x+6
＝﹣2x﹣4；
（2）根据题意得：﹣2x﹣4≥2，
解得：x≤﹣3，
即x的取值范围是x≤﹣3．
22．（9分）小红同学在做作业时，遇到这样一道几何题：
已知：AB∥CD∥EF，∠A＝110°，∠ACE＝100°，过点E作EH⊥EF，垂足为E，交CD于H点．
（1）依据题意，补全图形（图1）；
（2）求∠CEH的度数．
小明想了许久对于求∠CEH的度数没有思路，就去请教好朋友小丽，小丽给了他如图2所示的提示：
请问小丽的提示中理由①是 两直线平行，同旁内角互补 ；
提示中②是： 70 度；
提示中③是： 30 度；
提示中④是： ∠CEF ，理由⑤是 两直线平行，内错角相等 ．
提示中⑥是 60 度；
【分析】（1）根据题意画出图形即可；
（2）根据平行线的性质解答即可．
【解答】解：（1）依据题意补全图形
（2）①：两直线平行，同旁内角互补，
②：70°，
③：30°，
④：∠CEF，
⑤：两直线平行，内错角相等，
⑥：60°，
故答案为：两直线平行，同旁内角互补，70，30，∠CEF，两直线平行，内错角相等，60．
23．（9分）老师在黑板上写了三个算式，希望同学们认真观察，发现规律．请你结合这些算式，解答下列问题：
请观察以下算式：
①32﹣12＝8×1；
②52﹣32＝8×2；
③72﹣52＝8×3；
………
试写出符合上述规律的第五个算式；
验证：设两个连续奇数为2n+1，2n﹣1（其中n为正整数），并说明它们的平方差是8的倍数；
【分析】仿照已知等式确定出第五个算式即可；列出两个连续奇数的平方差，分解后即可作出判断．
【解答】解：第五个算式为：112﹣92＝8×5；
验证：设两个连续奇数为 2n+1，2n﹣1（其中 n 为正整数），
则（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝（2n+1﹣2n+1）（2n+1+2n﹣1）＝2×4n＝8n．
故两个连续奇数的平方差是8 的倍数．
24．（10分）如图所示，有一块直角三角板DEF（足够大），其中∠EDF＝90°，把直角三角板DEF放置在锐角△ABC上，三角板DEF的两边DE、DF恰好分别经过B、C．
（1）若∠A＝40°，则∠ABC+∠ACB＝ 140 °，∠DBC+∠DCB＝ 90 °∠ABD+∠ACD＝ 50 °．
（2）若∠A＝55°，则∠ABD+∠ACD＝ 35 °．
（3）请你猜想一下∠ABD+∠ACD与∠A所满足的数量关系 ∠ABD+∠ACD＝90°﹣∠A ．
【分析】（1）根据三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝140°，∠DBC+∠DCB＝180°﹣∠DBC＝90°，进而可求出∠ABD+∠ACD的度数；
（2）根据三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝130°，∠DBC+∠DCB＝180°﹣∠DBC＝90°，进而可求出∠ABD+∠ACD的度数；
（3）根据三角形内角和定义有90°+（∠ABD+∠ACD）+∠A＝180°，则∠ABD+∠ACD＝90°﹣∠A．
【解答】解：（1）在△ABC中，∵∠A＝40°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣40°＝140°，
在△DBC中，∵∠BDC＝90°，
∴∠DBC+∠DCB＝180°﹣90°＝90°，
∴∠ABD+∠ACD＝140°﹣90°＝50°；
故答案为：140；90；50．
（2）在△ABC中，∵∠A＝55°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣55°＝125°，
在△DBC中，∵∠BDC＝90°，
∴∠DBC+∠DCB＝180°﹣90°＝90°，
∴∠ABD+∠ACD＝125°﹣90°＝35°，
故答案为：35；
（3）∠ABD+∠ACD与∠A之间的数量关系为：∠ABD+∠ACD＝90°﹣∠A．证明如下：
在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A．
在△DBC中，∠DBC+∠DCB＝90°．
∴∠ABC+∠ACB﹣（∠DBC+∠DCB）＝180°﹣∠A﹣90°．
∴∠ABD+∠ACD＝90°﹣∠A，
故答案为：∠ABD+∠ACD＝90°﹣∠A．
25．（10分）为了更好地保护环境，治理水质，我区某治污公司决定购买12台污水处理设备，现有A、B两种型号设备，A型每台m万元； B型每台n万元，经调查买一台A型设备比买一台B型设备多3万元，购买2台A型设备比购买3台B型设备少5万元．
（1）求m、n的值．
（2）经预算，该治污公司购买污水处理器的资金不超过158万元．该公司A型设备最多能买台？
【分析】（1）根据：“买一台A型设备比买一台B型设备多3万元，购买2台A型设备比购买3台B型设备少5万元”列方程组求解可得；
（2）根据：“购买污水处理器的资金不超过158万元”列不等式求解可得．
【解答】解：（1）根据题意，得：，
解得：，
答：m的值为14，n的值为11；
（2）设A型设备买x台，
根据题意，得：14x+11（12﹣x）≤158，
解得：x≤8，
答：A型设备最多买8台．
26．（12分）已知△ABC，EF∥AC交直线AB于点E，DF∥AB交直线AC于点D．
（1）如图1，若点F在边BC上，
①补全图形；
②判断∠BAC与∠EFD的数量关系，并给予证明；
（2）若点F在边BC的延长线上，（1）中的结论还成立吗？若成立，给予证明；若不成立，说明理由．
【分析】（1）①过一点作已知直线的平行线即可；
②根据平行线的性质和三角形内角和定理即可得到∠BAC与∠EFD的数量关系；
（2）首先作出图形，再结合平行线的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）①见图1；
②∠BAC＝∠EFD．
证明：∵EF∥AC，
∴∠EFB＝∠C．
∵DF∥AB，
∴∠DFC＝∠B．
∴∠EFD＝180°﹣（∠EFB+∠DFC）＝180°﹣（∠C+∠B）．
在△ABC中，∠BAC＝180°﹣（∠C+∠B），
∴∠BAC＝∠EFD．
（2）当点F在边BC的延长线上时，∠BAC+∠EFD＝180°；
证明：如备用图，
∵DF∥AB，
∴∠D＝∠1．
∵EF∥AC，
∴∠EFD+∠D＝180°．
∴∠EFD+∠1＝180°．
即∠BAC+∠EFD＝180°．
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