2020届二轮复习（理）专题八第1讲数学文化及核心素养类试题学案

专题八 数学文化与创新应用
第1讲　数学文化及核心素养类试题
「考情研析」　　　　数学文化与数学知识相结合，有效考查考生的阅读理解能力、抽象概括能力、转化与化归能力，既体现了对数学应用性的考查，也体现了我国数学文化的源远流长．高考中多以选择题的形式出现，难度中等.
核心知识回顾
1.以古代数学书籍《九章算术》《数书九章》等书为背景的数学文化类题目．
2．与高等数学相衔接的题目，如几类特殊的函数：取整函数、狄利克雷函数、符号函数．
3．以课本阅读和课后习题为背景的数学文化类题目：辗转相除法、更相减损术、秦九韶算法、二进制、割圆术、阿氏圆等．
4．以中外一些经典的数学问题为背景的题目，如：回文数、匹克定理、哥尼斯堡七桥问题、四色猜想等经典数学小问题．
热点考向探究
考向1 算法中的数学文化
例1　(2019·哈尔滨市第三中学高三第二次模拟)我国古代名著《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完．现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取20天后所剩木棍的长度(单位：尺)，则①②③处可分别填入的是(　　)

A．ic2，∴a1＋c1>a2＋c2，即①式不正确；a1－c1＝a2－c2＝|PF|，即②式正确；由a1－c1＝a2－c2>0，c1>c2>0，知.即④式正确，③式不正确．

(1)命题者抓住“嫦娥奔月”这个古老而又现代的浪漫话题，以探测卫星轨道为背景，抽象出共一条对称轴、一个焦点和一个顶点的两个椭圆的几何性质，并以加减乘除的方式构造两个等式和两个不等式，考查椭圆的几何性质，可谓匠心独运．
(2)注意到椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ共一个顶点P和一个焦点F，题目所给四个式子涉及长半轴长和半焦距，从焦距入手，这是求解的关键，本题对考生的数学能力进行了比较全面的考查，是一道名副其实的小中见大、常中见新、蕴文化于现代科学技术应用之中的好题．


第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的．如图所示，会标是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较大的锐角为θ，那么tan＝________.

答案　－7
解析　依题意，得大、小正方形的边长分别是5,1，于是有5sinθ－5cosθ＝1，则sinθ－cosθ＝.从而(sinθ＋cosθ)2＝2－(sinθ－cosθ)2＝，则sinθ＋cosθ＝，因此sinθ＝，cosθ＝，tanθ＝.
故tan＝＝－7.
真题押题
『真题模拟』
1．(2019·浙江高考)祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V柱体＝Sh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示(单位：cm)，则该柱体的体积(单位：cm3)是(　　)

A．158 B．162 C．182 D．324
答案　B
解析　如图，该柱体是一个五棱柱，棱柱的高为6，底面可以看作由两个直角梯形组合而成，其中一个上底为4，下底为6，高为3，另一个的上底为2，下底为6，高为3.则底面面积S＝×3＋×3＝27，因此，该柱体的体积V＝27×6＝162.故选B.

2．(2019·北京高考)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2－m1＝lg ，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k＝1,2)．已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为(　　)
A．1010.1 B．10.1 C．lg 10.1 D．10－10.1
答案　A
解析　由题意知，m1＝－26.7，m2＝－1.45，代入所给公式得－1.45－(－26.7)＝lg ，所以lg＝10.1，所以＝1010.1.故选A.
3．(2019·湖南省高三六校联考)秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著《数书九章》中提出的求多项式值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图，是利用秦九韶算法求一个多项式的值，若输入n，x的值分别为3，，则输出v的值为(　　)

A．17
B．11.5
C．10
D．7
答案　B
解析　初始值n＝3，x＝，程序运行过程如下：
v＝2，
v＝2×＋1＝4，n＝2，不满足n≤0；
v＝4×＋1＝7，n＝1，不满足n≤0；
v＝7×＋1＝，n＝0，满足n≤0，退出循环，
输出v的值为＝11.5.故选B.
4．(2019·全国卷Ⅱ)中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1)．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有________个面，其棱长为________．

答案　26　－1
解析　先求面数，有如下两种方法．
解法一：由“半正多面体”的结构特征及棱数为48可知，其上部分有9个面，中间部分有8个面，下部分有9个面，共有2×9＋8＝26(个)面．
解法二：一般地，对于凸多面体，顶点数(V)＋面数(F)－棱数(E)＝2(欧拉公式)．由图形知，棱数为48的半正多面体的顶点数为24，故由V＋F－E＝2，得面数F＝2＋E－V＝2＋48－24＝26.再求棱长.
作中间部分的横截面，由题意知该截面为各顶点都在边长为1的正方形上的正八边形ABCDEFGH，如图，设其边长为x，则正八边形的边长即为半正多面体的棱长．连接AF，过H，G分别作HM⊥AF，GN⊥AF，垂足分别为M，N，则AM＝MH＝NG＝NF＝x.又AM＋MN＋NF＝1，即x＋x＋x＝1.

解得x＝－1，即半正多面体的棱长为－1.
『金版押题』
5．《九章算术》中有一题：今有牛、马、羊食人苗．苗主责之粟五斗．羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何．其意思是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿五斗粟．羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半．”若按此比例偿还，牛、马、羊的主人各应赔偿多少粟？在这个问题中，牛主人比羊主人多赔偿(　　)
A.斗粟 B.斗粟 C.斗粟 D.斗粟
答案　C
解析　解法一：设羊、马、牛主人赔偿的粟的斗数分别为a1，a2，a3，则这3个数依次成等比数列，公比q＝2，所以a1＋2a1＋4a1＝5，解得a1＝，故a3＝，a3－a1＝－＝，故选C.
解法二：羊、马、牛主人赔偿的比例是1∶2∶4，故牛主人应赔偿5×＝斗，羊主人应赔偿5×＝斗，故牛主人比羊主人多赔偿了－＝斗，故选C.
6．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”．已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中虚线平分矩形的面积，则该“堑堵”的侧面积为(　　)

A．2 B．4＋2
C．4＋4 D．4＋6
答案　C
解析　由三视图知几何体为一个三棱柱，底面为等腰直角三角形，高为1，则底面三角形腰长为，底边长为2，三棱柱高为2，所以侧面积为2×2＋2××2＝4＋4.故选C.
配套作业
一、选择题
1．(2019·赤峰市高三模拟)《史记》卷六十五《孙子吴起列传第五》中有这样一道题：齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛，齐王获胜的概率是(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　因为双方各有3匹马，所以“从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛”的事件数为9种，满足“齐王获胜”这一条件的情况为：齐王派出上等马，则获胜的事件数为3；齐王派出中等马，则获胜的事件数为2；齐王派出下等马，则获胜的事件数为1；故满足“齐王获胜”这一条件的事件数为6种，根据古典概型公式可得，齐王获胜的概率P＝＝，故选A.
2．(2019·南昌外国语学校高三高考适应性测试)下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a，b分别为16,20，则输出的a的值为(　　)

A．0 B．2 C．4 D．1
答案　C
解析　输入a，b的值，分别为16,20，
第一次循环：第一层判断：满足a≠b，进入第二层选择结构，第二层判断：不满足a>b，满足a≤b，故b＝20－16＝4；
第二次循环：第一层判断：满足a≠b，进入第二层选择结构，第二层判断：满足a>b，故a＝16－4＝12；
第三次循环：第一层判断：满足a≠b，进入第二层选择结构，第二层判断：满足a>b，故a＝12－4＝8；
第四次循环：第一层判断：满足a≠b，进入第二层选择结构，第二层判断：满足a>b，故a＝8－4＝4；
第五次循环：第一层判断：满足a＝b＝4，故输出4，选C.
3．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”．其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”．则该人第五天走的路程为(　　)
A．48里 B．24里 C．12里 D．6里
答案　C
解析　设第一天的路程为a1里，则＝378，a1＝192，所以a5＝192×＝12.
4．(2019·河南洛阳高三阶段性考试)《九章算术》中有如下问题：“今有牛、羊、马食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：‘我羊食半马．’马主曰：‘我马食半牛．’今欲衰偿之，问各出几何？”翻译为：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟．羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说“我马吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比率偿还，问：牛、马、羊的主人各应赔偿多少粟？已知1斗＝10升，针对这一问题，设计程序框图如图所示，若输出k的值为2，则m＝(　　)

A. B. C. D.
答案　B
解析　运行该程序，第一次循环，S＝50－m，k＝1；第二循环，S＝50－3m，k＝2；第三次循环，S＝50－7m，此时要输出k的值，则50－7m＝0，解得m＝，故选B.
5．我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”．它体现了一种无限与有限的转化过程．比如在表达式1＋中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程1＋＝x求得x＝.类比上述过程，则 ＝(　　)
A．3 B.
C．6 D．2
答案　A
解析　令＝x(x>0)，两边平方，得3＋2＝x2，即3＋2x＝x2，解得x＝3，x＝－1(舍去)，故 ＝3，选A.
6．(2019·江西省名校高三5月联考)我国古代《九章算术》将上、下两个平行平面为矩形的六面体称为刍童．如图是一个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为2和6，高为2，则该刍童的体积为(　　)

A. B. C．27 D．18
答案　B
解析　由题意，几何体原图为正四棱台，底面的边长分别为2和6，高为2，所以几何体的体积V＝×(4＋36＋)×2＝.故选B.
7．(2019·河北联考)《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它有如下问题：“今有圆堡瑽(cōng)，周四丈八尺，高一丈一尺．问积几何？”意思是“今有圆柱体形的土筑小城堡，底面周长为4丈8尺，高1丈1尺．则它的体积是(注：1丈＝10尺，取π＝3)(　　)
A．704立方尺 B．2112立方尺
C．2115立方尺 D．2118立方尺
答案　B
解析　设圆柱体底面圆半径为r，高为h，周长为C.因为C＝2πr，所以r＝，所以V＝πr2h＝π××h＝＝＝2112(立方尺)．故选B.
8．(2019·南宁市高三第一次适应性测试)元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示．若将“没了壶中酒”改为“剩余原壶中的酒量”，即输出值是输入值的，则输入的x＝(　　)

A. B. C. D.
答案　C
解析　i＝1时，x＝2x－1；i＝2时，x＝2(2x－1)－1＝4x－3；i＝3时，x＝2(4x－3)－1＝8x－7；i＝4时，退出循环．此时，8x－7＝x，解得x＝.故选C.
9．我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤．问本持金几何．”其意思为：今有人持金出五关，第1关收税金为持金的，第2关收税金为剩余金的，第3关收税金为剩余金的，第4关收税金为剩余金的，第5关收税金为剩余金的，5关所收税金之和，恰好重1斤．问此人总共持金多少．则在此问题中，第5关收税金(　　)
A.斤 B.斤 C.斤 D.斤
答案　B
解析　假设原来持金为x，则第1关收税金x；第2关收税金x＝x；第3关收税金x＝x；第4关收税金x＝x；第5关收税金x＝x.依题意，得x＋x＋x＋x＋x＝1，即x＝1，x＝1，解得x＝，所以x＝×＝.故选B.
10.(2019·陕西省高三第一次模拟)公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的n的值为(　　)
(参考数据：sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305)

A．12 B．24 C．48 D．96
答案　B
解析　模拟执行程序，可得n＝6，S＝3sin60°＝，不满足条件S≥3.10，n＝12，S＝6×sin30°＝3，不满足条件S≥3.10，n＝24，S＝12×sin15°≈12×0.2588＝3.1056，满足条件S≥3.10，退出循环，输出n的值为24.故选B.
11．“杨辉三角”又称“贾宪三角”，是因为贾宪约在公元1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算，而杨辉在公元1261年所著的《详解九章算法》一书中，辑录了贾宪三角形数表，并称之为“开方作法本源”图．下列数表的构造思路就源于“杨辉三角”．该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数是(　　)
2017　2016　2015　2014……6　5　4　3　2　1
4033　4031　4029……………11　9　7　5　3
8064　8060……………………20　16　12　8
16124…………………………36　28　20
…………………………　 　
A．2017×22016 B．2018×22015
C．2017×22015 D．2018×22016
答案　B
解析　从给出的数表可以看出，该数表每行都是等差数列，其中第一行从右到左是公差为1的等差数列，第二行从右到左的公差为2，第三行从右到左的公差为4，…，即第n行从右到左的公差为2n－1，而从右向左看，每行的第一个数分别为1＝2×2－1,3＝3×20,8＝4×21,20＝5×22,48＝6×23，…，所以第n行的第一个数为(n＋1)×2n－2.显然第2017行只有一个数，其值为(2017＋1)×22017－2＝2018×22015，故选B.
12.(2019·德州市高三下学期第一次练习)正整数N除以正整数m后的余数为n，记为N≡n(MODm)，例如25≡1(MOD6)．如图所示程序框图的算法源于“中国剩余定理”，若执行该程序框图，当输入N＝25时，则输出N＝(　　)

A．31
B．33
C．35
D．37
答案　A
解析　模拟程序的运行，可得
N＝25，
N＝26，
不满足条件N≡1(MOD3)，N＝27，
不满足条件N≡1(MOD3)，N＝28，
满足条件N≡1(MOD3)，不满足条件N≡1(MOD5)，N＝29，
不满足条件N≡1(MOD3)，N＝30，
不满足条件N≡1(MOD3)，N＝31，
满足条件N≡1(MOD3)，满足条件N≡1(MOD5)，输出N的值为31.故选A.
二、填空题
13．《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代术语解释为：把阳爻“”当作数字“1”，把阴爻“”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下：

依次类推，则六十四卦中的“屯”卦符号“”表示的十进制数是________．
答案　34
解析　由题意类推，可知六十四卦中的“屯”卦符号“”表示的二进制数为100010，转化为十进制数为0×20＋1×21＋0×22＋0×23＋0×24＋1×25＝34.
14．《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗．问：五人各得几何？”其意思为“有5个人分60个橘子，他们分得的橘子数成公差为3的等差数列，问5人各得多少橘子．”这个问题中，得到橘子最少的人所得的橘子个数是________．
答案　6
解析　设等差数列{an}，首项为a1，公差为3，则S5＝5a1＋×3＝60，解得a1＝6，即得到橘子最少的人所得的橘子个数是6.