2020届二轮复习(文)第2部分专题7第1讲　选修4－4　坐标系与参数方程学案


第1讲　选修4－4　坐标系与参数方程

[做小题——激活思维]
1．在伸缩变换下，x2＋y2＝1对应的图形是________．
[答案]　椭圆
2．若直线的极坐标方程为ρsin＝，则点A到这条直线的距离是________．
[答案]　
3．已知曲线的参数方程为(t为参数)，若点(6，a)在该曲线上，则a＝________.
[答案]　9
4．若点M在椭圆＋＝1上，则点M到直线x＋2y－10＝0的距离的最小值为________．
[答案]　
[扣要点——查缺补漏]
1．曲线的极坐标方程
(1)进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓住互化公式：x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，ρ2＝x2＋y2，tan θ＝(x≠0)，要注意ρ，θ的取值范围及其影响，灵活运用代入法和平方法等技巧．
(2)由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，可先转化为直角坐标方程，然后求解．如T2.
2．(1)过定点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线参数方程的标准形式为(t为参数)，t的几何意义是的数量，即|t|表示P0到P的距离，t有正负之分．使用该式时直线上任意两点P1，P2对应的参数分别为t1，t2，则|P1P2|＝|t1－t2|，P1P2的中点对应的参数为(t1＋t2)．
(2)参数方程化为普通方程：由参数方程化为普通方程就是要消去参数，消参数时常常采用代入消元法、加减消元法、乘除消元法、三角代换法，且消参数时要注意参数的取值范围对x，y的限制．如T3.
(3)在与直线、圆、椭圆有关的题目中，参数方程的使用会使问题的解决事半功倍，尤其是求取值范围和最值问题，可将参数方程代入相关曲线的普通方程中，根据参数的取值条件求解．如T4.


　极坐标与曲线的极坐标方程(5年4考)

[高考解读]　极坐标方程是每年高考的必考内容，既有单独考查也与参数方程综合考查，难度不大，考查考生的逻辑推理和数学运算的核心素养.

(2019·全国卷Ⅲ)如图，在极坐标系Ox中，A(2,0)，B，C，D(2，π)，弧，，所在圆的圆心分别是(1,0)，，(1，π)，曲线M1是弧，曲线M2是弧，曲线M3是弧.
(1)分别写出M1，M2，M3的极坐标方程；
(2)曲线M由M1，M2，M3构成，若点P在M上，且|OP|＝，求P的极坐标．
切入点：A，B，C，D的极坐标及，，所在圆的圆心．
关键点：确定M1，M2，M3的方程．
[解]　(1)由题设可得，弧，，所在圆的极坐标方程分别为ρ＝2cos θ，ρ＝2sin θ，ρ＝－2cos θ.
所以M1的极坐标方程为ρ＝2cos θ，M2的极坐标方程为ρ＝2sin θ，M3的极坐标方程为ρ＝－2cos θ.
(2)设P(ρ，θ)，由题设及(1)知
若0≤θ≤，则2cos θ＝，解得θ＝；
若≤θ≤，则2sin θ＝，解得θ＝或θ＝；
若≤θ≤π，则－2cos θ＝，解得θ＝.
综上，P的极坐标为或或或.
[教师备选题]
(2017·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcos θ＝4.
(1)M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|·|OP|＝16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；
(2)设点A的极坐标为，点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．
[解]　(1)设点P的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，点M的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)．
由题设知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝.
由|OM|·|OP|＝16得C2的极坐标方程ρ＝4cos θ(ρ＞0)．
因此C2的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4(x≠0)．
(2)设点B的极坐标为(ρB，α)(ρB>0)．
由题设知|OA|＝2，ρB＝4cos α，于是△OAB的面积
S＝|OA|·ρB·sin∠AOB＝4cos α·
＝2≤2＋.
当α＝－时，S取得最大值2＋.
所以△OAB面积的最大值为2＋.


1．求曲线的极坐标方程的一般思路
求曲线的极坐标方程问题通常可利用互化公式转化为直角坐标系中的问题求解，然后再次利用互化公式既可转化为极坐标方程，熟练掌握互化公式是解决问题的关键．
2．解决极坐标问题的一般思路
一是将极坐标方程化为直角坐标方程，求出交点的直角坐标，再将其化为极坐标；二是将曲线的极坐标方程联立，根据限制条件求出极坐标．

1．(极径的应用)在直角坐标系xOy中，直线l1：x＝0，圆C：(x－1)2＋(y－1－)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求直线l1和圆C的极坐标方程；
(2)若直线l2的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，设l1，l2与圆C的公共点分别为A，B，求△OAB的面积．
[解]　(1)∵x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，x2＋y2＝ρ2，∴直线l1的极坐标方程为ρcos θ＝0，即θ＝(ρ∈R)，
圆C的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－2(1＋)ρsin θ＋3＋2＝0.
(2)将θ＝代入ρ2－2ρcos θ－2(1＋)ρsin θ＋3＋2＝0，
得ρ2－2(1＋)ρ＋3＋2＝0，解得ρ1＝1＋.
将θ＝代入ρ2－2ρcos θ－2(1＋)ρsin θ＋3＋2＝0，
得ρ2－2(1＋)ρ＋3＋2＝0，解得ρ2＝1＋.
故△OAB的面积为×(1＋)2×sin ＝1＋.
2．(极角的应用)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的方程为(x－2)2＋y2＝4，直线l的方程为x＋y－12＝0，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)分别写出曲线C与直线l的极坐标方程；
(2)在极坐标系中，极角为θ的射线m与曲线C、直线l分别交于A，B两点(A异于极点O)，求的最大值．
[解]　(1)由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，得曲线C的极坐标方程为ρ＝4cos θ，直线l的极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ－12＝0.
(2)由题意得|OA|＝4cos θ，因为ρcos θ＋ρsin θ－12＝0，所以|OB|＝，所以＝＝＋sin，因为θ∈，所以2θ＋∈，所以sin∈，所以的最大值为，此时θ＝.
　参数方程及其应用(5年3考)

[高考解读]　参数方程是每年高考的必考内容，既有单独考查，也与极坐标综合考查，难度适中，主要考查参数方程与普通方程的互化以及逻辑推理和数学运算核心素养.
(2018·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)．
(1)求C和l的直角坐标方程；
(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率．
切入点：参数方程化普通方程．
关键点：正确用参数方程表示弦的中点的坐标．
[解]　(1)曲线C的直角坐标方程为＋＝1.
当cos α≠0时，l的直角坐标方程为y＝tan α·x＋2－tan α，当cos α＝0时，l的直角坐标方程为x＝1.
(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程(1＋3cos2α)t2＋4(2cos α＋sin α)t－8＝0.①
因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内，所以①有两个解，设为t1，t2，则t1＋t2＝0.
又由①得t1＋t2＝－，故2cos α＋sin α＝0，于是直线l的斜率k＝tan α＝－2.
[教师备选题]
(2018·全国卷Ⅲ)在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为(θ为参数)，过点(0，－)且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．
(1)求α的取值范围；
(2)求AB中点P的轨迹的参数方程．
[解]　(1)⊙O的直角坐标方程为x2＋y2＝1.
当α＝时，l与⊙O交于两点．
当α≠时，记tan α＝k，则l的方程为y＝kx－.l与⊙O交于两点当且仅当<1，解得k<－1或k>1，即α∈，或α∈，.
综上，α的取值范围是，.
(2)l的参数方程为t为参数，<α<.
设A，B，P对应的参数分别为tA，tB，tP，则tP＝，且tA，tB满足t2－2tsin α＋1＝0.
于是tA＋tB＝2sin α，tP＝sin α.
又点P的坐标(x，y)满足
所以点P的轨迹的参数方程是
α为参数，<α<.


参数方程与普通方程的互化及参数方程的应用
(1)将参数方程化为普通方程的过程就是消去参数的过程，常用的消参方法有代入消参、三角恒等式消参等，往往需要对参数方程进行变形，为消去参数创造条件.
(2)在与直线、圆、椭圆有关的题目中，参数方程的使用会使问题的解决事半功倍，尤其是求取值范围和最值问题，可将参数方程代入相关曲线的普通方程中，根据参数的取值条件求解.

1．(椭圆的参数方程)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)．
(1)若a＝－1，求C与l的交点坐标；
(2)若C上的点到l距离的最大值为，求a.
[解]　(1)曲线C的普通方程为＋y2＝1.
当a＝－1时，直线l的普通方程为x＋4y－3＝0.
由
解得或
从而C与l的交点坐标为(3,0)，.
(2)直线l的普通方程为x＋4y－a－4＝0，故C上的点(3cos θ，sin θ)到l的距离为d＝.
当a≥－4时，d的最大值为，
由题设得＝，
所以a＝8；
当a<－4时，d的最大值为，
由题设得＝，所以a＝－16.
综上，a＝8或a＝－16.
2．(直线的参数方程)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，若以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的极坐标方程为ρ＝4cos θ.
(1)求圆C的直角坐标方程；
(2)若直线l与圆C交于A，B两点，点P的直角坐标为(0,3)，求|PA|＋|PB|及|PA|·|PB|的值．
[解]　(1)圆C的极坐标方程为ρ＝4cos θ，可化为ρ2＝4ρcos θ，可得圆C的直角坐标方程为x2＋y2＝4x，即(x－2)2＋y2＝4.
(2)因为点P的直角坐标为(0,3)，所以点P在直线l上．
把(t为参数)代入(x－2)2＋y2＝4，
得t2＋(2＋3)t＋9＝0，
设点A，B对应的参数分别为t1，t2，
则t1＋t2＝－2－3＜0，t1·t2＝9＞0，
所以|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝|t1＋t2|＝2＋3，
|PA|·|PB|＝|t1|·|t2|＝|t1·t2|＝9.
　极坐标方程与参数方程的综合应用(5年8考)

[高考解读]　参数方程与极坐标方程的综合问题是每年高考的重点，主要涉及直线与圆、直线与圆锥曲线的综合问题，难度适中.
(2019·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(t为参数)．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2ρcos θ＋ρsin θ＋11＝0.
(1)求C和l的直角坐标方程；
(2)求C上的点到l距离的最小值．
切入点：曲线C的参数方程和直线l的极坐标方程．
关键点：将参数方程和极坐标方程正确转化为普通方程．
[解]　(1)因为－1＜≤1，且x2＋2＝2＋＝1，所以C的直角坐标方程为x2＋＝1(x≠－1)．
l的直角坐标方程为2x＋y＋11＝0.
(2)由(1)可设C的参数方程为(α为参数，－π＜α＜π)．
C上的点到l的距离为
＝.
当α＝－时，4cos＋11取得最小值7，
故C上的点到l距离的最小值为.
[教师备选题]
(2016·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数，a>0)．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝4cos θ.
(1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；
(2)直线C3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.
[解]　(1)消去参数t得到C1的普通方程为x2＋(y－1)2＝a2，
则C1是以(0,1)为圆心，a为半径的圆．
将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入C1的普通方程中，得到C1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a2＝0.
(2)曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组

若ρ≠0，由方程组得16cos2θ－8sin θcos θ＋1－a2＝0，
由已知tan θ＝2，可得16cos2θ－8sin θcos θ＝0，
从而1－a2＝0，解得a＝－1(舍去)或a＝1.
当a＝1时，极点也为C1，C2的公共点，且在C3上．
所以a＝1.


解决极坐标方程与参数方程综合问题的方法
(1)对于参数方程或极坐标方程应用不够熟练的情况下，我们可以先化成直角坐标系下的普通方程，这样思路可能更加清晰.
(2)对于一些运算比较复杂的问题，用参数方程计算会比较简洁.
(3)利用极坐标方程解决问题时，要注意题目所给的限制条件及隐含条件.

1．(参数几何意义的应用)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)．在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且与直角坐标系长度单位相同的极坐标系中，曲线C的极坐标方程是ρ＝2sin.
(1)求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；
(2)设点P(0，－1)，若直线l与曲线C相交于A，B两点，求|PA|＋|PB|的值．
[解]　(1)将直线l的参数方程消去参数t并化简，
得直线l的普通方程为x－y－1＝0.
曲线C的极坐标方程可化为
ρ2＝2ρ，
即ρ2＝2ρsin θ＋2ρcos θ，∴x2＋y2＝2y＋2x，
故曲线C的直角坐标方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.
(2)将直线l的参数方程代入(x－1)2＋(y－1)2＝2中，
得2＋2＝2，
化简，得t2－(1＋2)t＋3＝0.
∵Δ>0，∴此方程的两根为直线l与曲线C的交点A，B对应的参数t1，t2.
由根与系数的关系，得t1＋t2＝2＋1，t1t2＝3，故t1，t2同正．
由直线的参数方程中参数的几何意义，知|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝t1＋t2＝2＋1.
2．(弦长及距离问题)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数)，在以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4cos θ＋2sin θ.
(1)求C1的极坐标方程与C2的直角坐标方程；
(2)设点P的极坐标为，φ＝，C1与C2相交于A，B两点，求△PAB的面积．
[解]　(1)曲线C1表示过原点，且倾斜角为φ的直线，从而其极坐标方程为θ＝φ，ρ∈R.由ρ＝4cos θ＋2sin θ得ρ2＝4ρcos θ＋2ρsin θ，得x2＋y2＝4x＋2y，即曲线C2的直角坐标方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.
(2)由(1)知曲线C1为θ＝，ρ∈R，将θ＝代入曲线C2的极坐标方程ρ＝4cos θ＋2sin θ得ρ＝3，
故|AB|＝3.
因为点P的极坐标为，所以点P到直线AB的距离为2.
所以S△PAB＝×3×2＝6.