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2020届二轮复习考前冲刺必备四二级结论巧用学案（江苏专用）
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必备四 二级结论巧用
结论一 函数的奇偶性
1.奇函数与偶函数的定义域关于原点对称.
2.函数f(x)为奇函数,且在x=0处有定义,则f(0)=0.
3.如果f(x)为偶函数,那么f(x)=f(|x|).
4.奇函数在对称的区间内有相同的单调性,偶函数在对称的区间内有不同的单调性.
跟踪集训
1.定义在R上的奇函数f(x)满足:当x≥0时, f(x)=log2(x+2)+(a-1)x+b(a,b为常数),若f(2)=-1,则f(-6)的值为 .
2.已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,则满足f(2x-1)
结论二 函数的单调性、极值与最值
1.函数的单调性
(1)∀x1,x2∈D,x1≠x2,f(x1)-f(x2)x1-x2>0(<0)⇔y=f(x),x∈D单调递增(递减).
(2)复合函数的单调性:“同增异减”;单调区间是定义域的子集.
(3)f(x)在(a,b)上是增函数⇒f '(x)≥0在区间(a,b)上恒成立; f(x)在(a,b)上是减函数⇒f '(x)≤0在区间(a,b)上恒成立.注意:①等号不能少;②逆命题不成立;③单调区间不能用“∪”连接.
(4)f(x)在(a,b)上存在单调递增区间⇒f '(x)>0,x∈(a,b)有解.
(5)存在x1,x2∈D,x1≠x2, f(x1)=f(x2)⇔y=f(x),x∈D不单调.
2.函数的单调性与极值
(1)函数f(x)有三个单调区间⇔f(x)有两个极值点⇔f '(x)=0有两个不等实根;
(2)函数f(x)在(a,b)上不单调⇔f(x)在(a,b)上有极值点,可求出f(x)的极值点x0∈(a,b).
3.函数的最值
函数f(x)在D上的最大值为M⇔∃x0∈D, f(x0)=M,f(x)≤M,x∈D恒成立.函数f(x)在D上的最小值为m⇔∃x0∈D, f(x0)=m,f(x)≥m,x∈D恒成立.
跟踪集训
4.设f(x)=4x3+mx2+(m-3)x+n(m,n∈R)是R上的单调增函数,则m的值为 .
5.已知函数f(x)=|x2-4|+a|x-2|,x∈[-3,3]的最大值是0,则实数a的取值范围是 .
6.(2018南通泰州中学高三期初考试)已知函数f(x)=ax(x<0),(a-3)x+4a(x≥0)满足对任意x1≠x2,都有 f(x1)-f(x2)x1-x2<0成立,则a的取值范围是 .
7.已知函数f(x)=-x2+ax(x≤1),2ax-5(x>1),若存在x1,x2∈R,且x1≠x2,使得f(x1)=f(x2)成立,则实数a的取值范围是 .
结论三 抽象函数的周期性与单调性
1.函数的周期性
(1)若函数f(x)满足f(x+a)=f(x-a),则f(x)为周期函数,2a是它的一个周期.
(2)设f(x)是R上的偶函数,且图象关于直线x=a(a≠0)对称,则f(x)是周期函数,2a是它的一个周期.
(3)设f(x)是R上的奇函数,且图象关于直线x=a(a≠0)对称,则f(x)是周期函数,4a是它的一个周期.
(4)f(x+a)f(x)=k(a>0)、 f(x+a)+f(x)=k(a>0)(k为常数)都表明函数f(x)是周期为2a的周期函数.
2.函数图象的对称性
(1)若函数f(x)满足f(a+x)=f(a-x),即f(x)=f(2a-x),则f(x)的图象关于直线x=a对称.
(2)若函数f(x)满足f(a+x)=-f(a-x),即f(x)=-f(2a-x),则f(x)的图象关于点(a,0)对称.
(3)若函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x),则函数f(x)的图象关于直线x=a+b2对称.
(4)若f(x+a)+f(b-x)=c,则函数y=f(x)的图象关于点a+b2,c2对称.
跟踪集训
8.奇函数f(x)的定义域为R.若f(x+2)为偶函数,且f(1)=1,则f(8)+f(9)= .
9.若偶函数f(x)的图象关于直线x=2对称,且f(3)=3,则f(-1)= .
10.函数f(x)对任意x∈R都有f(x+2)=f(-x)成立,且函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称, f(1)=4,则f(2 016)+f(2 017)+f(2 018)的值为 .
结论四 函数零点
1.一元二次方程实根分布理论:一元二次方程的两个实根分布在同一区间上的条件:开口方向、对称轴、判别式、区间端点的函数值的符号;两个实根分布在两个不同区间上的条件:开口方向、区间端点的函数值的符号.
2.函数有零点(方程有解)问题,利用分离参数法将参数的取值范围转化为函数值域求解.
3.确定函数的零点个数或者已知函数的零点个数求参数的值或范围,一般利用数形结合法求解,画图形时尽量是动直线与定曲线的图形.
跟踪集训
11.(2018南京、盐城一模)设函数f(x)是偶函数,当x≥0时, f(x)=x(3-x),0≤x≤3,-3x+1,x>3,若函数y=f(x)-m有四个不同的零点,则实数m的取值范围是 .
12.已知函数f(x)=3x-32x-m在[-1,1]上有零点,则实数m的取值范围是 .
13.已知函数f(x)=ex,x<2,(1-x)(a+x),x≥2(a为常数,e为自然对数的底数)的图象在点A(0,1)处的切线与该函数的图象恰好有三个公共点,则实数a的取值范围是 .
结论五 三角函数
1.sinnπ2+α=(-1)n2sinα(n=2k,k∈Z),(-1)n2cosα(n=2k+1,k∈Z).
2.cosnπ2+α=(-1)n2cosα(n=2k,k∈Z),(-1)n+12sinα(n=2k+1,k∈Z).
3.asin α+bcos α=a2+b2sin(α+φ)辅助角φ所在象限由点(a,b)所在象限决定,tan φ=ba.
4.求三角函数在给定范围上的单调区间:一般是求出所有的单调区间,再与给定区间取交集.
5.正弦函数、余弦函数最值的等价说法: f(a)≤f(x),∀x成立等价于f(a)是f(x)的最小值,直线x=a是函数图象的一条对称轴.
跟踪集训
14.已知角α的始边为x轴正半轴,终边上一点P的坐标为(-4,3),则cosπ2+αsin(-π-α)cos11π2-αsin9π2+α的值为 .
15.设α,β∈[0,π],且满足sin αcos β-cos αsin β=1,则sin(2α-β)+sin(α-2β)的取值范围为 .
16.设f(x)=sin2x-3cos xcosx+π2,则f(x)在0,π2上的单调增区间为 .
结论六 解三角形
1.sin A=sin(B+C),cos A=-cos(B+C).
2.A>B⇔sin A>sin B,cos A
4.对锐角三角形的理解和应用:三个角都是锐角的三角形;任意两个角的和是钝角的三角形;在锐角三角形中,任意一个角的正弦值大于其余两个角的余弦值,任意两边的平方和大于第三边的平方,即sin A>cos B,sin A>cos C,a2+b2>c2,b2+c2>a2,c2+a2>b2.
跟踪集训
17.在斜△ABC中,若tan A∶tan B∶tan C=1∶2∶3,则cos A= .
18.锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=2bsin A.
(1)求B的大小;
(2)求cos A+sin C的取值范围.
结论七 不等式
1.2aba+b≤ab≤a+b2≤a2+b22(a,b>0).
2.(1)xy≤x2+y22;(2)xy≤x+y22;(3)当x>0时,x+1x≥2;
(4)当x,y同号时,xy+yx≥2;当x,y异号时,xy+yx≤-2.
3.不等式恒成立、有解问题:二次不等式在R上恒成立,利用判别式;若给定区间,则分离参数是常用方法.通过分离参数,不等式恒成立问题可以转化为a0,x∈D恒成立,即为f(x)min>0,x∈D.
跟踪集训
19.若在区间[1,3]内,存在实数x满足不等式2x2+mx-1<0,则实数m的取值范围是 .
20.不等式a2+8b2≥λb(a+b)对任意a,b∈R恒成立,则实数λ的取值范围为 .
21.已知实数x,y满足x2+y2=1,则2xyx+y+1的最小值为 .
22.若a>0,b>0,且2a+b=1,则S=2ab-(4a2+b2)的最大值是 .
结论八 平面向量
1.三点共线的判定
A,B,C三点共线⇔AB,AC共线;向量PA,PB,PC中,A,B,C三点共线⇔存在实数α,β使得PA=αPB+βPC,且α+β=1.
2.三角形“四心”的向量形式的充要条件
设O为△ABC所在平面上一点,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,则
(1)O为△ABC的外心⇔|OA|=|OB|=|OC|=a2sinA=b2sinB=c2sinC.
(2)O为△ABC的重心⇔OA+OB+OC=0.
(3)O为△ABC的垂心⇔OA·OB=OB·OC=OC·OA.
(4)O为△ABC的内心⇔aOA+bOB+cOC=0.
3.向量中线定理:△ABC中,点D为BC的中点,则AB+AC=2AD.
4.||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|,注意等号成立的条件.
5.若a,b都是非零向量,则a∥b⇔a=λb⇔x1y2=x2y1⇔夹角等于0°或180°⇔|a·b|=|a||b|.
6.若a,b都是非零向量,则a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2=0⇔夹角等于90°⇔|a+b|=|a-b|.
7.数量积的其他结论:当a与b同向共线时,a·b=|a|·|b|;当a与b反向共线时,a·b=-|a|·|b|;当a与b共线时,|a·b|=|a|·|b|;当a与b为任意向量时,|a·b|=|a|·|b|·|cos θ|≤|a|·|b|(θ为a与b的夹角);a与b的夹角为锐角的充要条件是a·b=x1x2+y1y2>0,x1y2-x2y1≠0.a与b的夹角为钝角的充要条件是a·b=x1x2+y1y2<0,x1y2-x2y1≠0.
跟踪集训
23.已知A,B,C是直线l上不同的三个点,点O不在直线l上,则使等式x2OA+xOB+BC=0成立的实数x的取值集合为 .
24.P是△ABC所在平面内一点,若PA·PB=PB·PC=PC·PA,则P是△ABC的 .(填“外心”“重心”“内心”“垂心”中的一种)
25.已知A,B,C是平面上不共线的三点,O为平面ABC内任一点,动点P满足OP=13[(1-λ)OA+(1-λ)OB+(1+2λ)OC],λ∈R,则点P的轨迹一定经过△ABC的 .(填“外心”“重心”“内心”“垂心”中的一种)
结论九 等差数列
1.在等差数列{an}中,ap=q,aq=p(p≠q)⇒ap+q=0;Sm+n=Sm+Sn+mnd.
2.若Sm,S2m,S3m分别为{an}的前m项,前2m项,前3m项的和,则Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差数列.
3.若等差数列{an}的项数为2m,公差为d,所有奇数项之和为S奇,所有偶数项之和为S偶,则所有项之和S2m=m(am+am+1),S偶-S奇=md,S奇S偶=amam+1.
4.若等差数列{an}的项数为2m-1,所有奇数项之和为S奇,所有偶数项之和为S偶,则所有项之和S2m-1=(2m-1)am,S奇=mam,S偶=(m-1)am,S奇-S偶=am,S奇S偶=mm-1.
跟踪集训
26.等差数列{an}的前n项和为Sn,若S10=20,S20=50,则S30= .
27.一个等差数列的前12项和为354,前12项中偶数项的和与奇数项的和之比为32∶27,则该数列的公差为 .
结论十 等比数列
1.等比数列{an}的前n项和为Sn,若Sm,S2m-Sm,S3m-S2m均不为0,则Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等比数列.
2.Sm+n=Sm+qmSn=Sn+qnSm.
3.在有限等比数列{an}中,公比为q,所有奇数项之和为S奇,所有偶数项之和为S偶.若n为偶数,则S偶=qS奇;若n为奇数,则S奇=a1+qS偶.
4.如果数列{an}是等差数列,那么数列{Aan}(Aan总有意义)必是等比数列.如果数列{an}是等比数列,那么数列{loga|an|}(a>0,且a≠1)必是等差数列.
跟踪集训
28.在等比数列{an}中,若S10=10,S20=30,则S30= .
29.数列{an}中,an+12=4an,a1=1,an>0,则an= .
30.等比数列{an}共有奇数项,所有奇数项和S奇=255,所有偶数项和S偶=-126,末项是192,则首项a1= .
结论十一 直线与圆
1.阿波罗尼斯圆:若点A,B是定点,M是动点,且MA=kMB,k>0,k≠1,则动点M的轨迹是圆(阿波罗尼斯圆).
2.定点A到动直线l的距离等于定长的直线l是以A为圆心,定长为半径的圆的切线.
3.以AB为直径的圆经过点C(异于A,B),则AC⊥BC,可以利用斜率或向量求解.
4.对角互补的四边形有外接圆.
5.以A(x1,y1),B(x2,y2)为直径两端点的圆的方程为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.
6.过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点(x0,y0)的切线方程为(x-a)(x0-a)+(y-b)(y0-b)=r2,过圆外一点可以作圆的两条切线.
7.过圆内一定点的弦长最长的有1条,是过该点的直径,最短的弦有1条,是垂直于过该点直径的弦.
跟踪集训
31.若A(1,1),B(3,4),且点A和B到直线l的距离都等于1,则这样的直线l有 条.
32.已知圆M:(x-1)2+(y-1)2=4,直线l:x+y-6=0,A为直线l上一点.若圆M上存在两点B,C,使得∠BAC=60°,则点A横坐标的取值范围是 .
33.在平面四边形ABCD中,∠BAD=90°,AB=2,AD=1.若AB·AC+BA·BC=43CA·CB,则CB+12CD的最小值为 .
结论十二 圆锥曲线
1.椭圆中的常用结论:(1)焦点弦长公式:左焦点弦AB=2a+e(x1+x2),右焦点弦AB=2a-e(x1+x2);
(2)通径长为2b2a;
(3)焦点三角形的面积S=b2tan θ2;
(4)若A,B是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)上关于坐标原点对称的两点,P为椭圆C上任意一点,则kPAkPB=-b2a2.
2.双曲线中焦点三角形的面积S=b2tan θ2.
3.若点M(x0,y0)在曲线x2a2±y2b2=1上,则过M的切线方程为x0xa2±y0yb2=1.
4.过抛物线y2=2px(p>0)焦点的弦AB有如下结论:
(1)xA·xB=p24;(2)yA·yB=-p2;(3)|AB|=2psin2α(α是直线AB的倾斜角).
跟踪集训
34.设P是有公共焦点F1,F2的椭圆C1与双曲线C2的一个交点,且PF1⊥PF2,椭圆C1的离心率为e1,双曲线C2的离心率为e2,若e2=3e1,则e1= .
35.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0),M,N是椭圆上关于原点对称的两点,P是椭圆上任意一点,且直线PM,PN的斜率分别为k1,k2(k1k2≠0),若椭圆的离心率为32,则|k1|+|k2|的最小值为 .
36.设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为 .
答案精解精析
结论一 函数的奇偶性
跟踪集训
1.答案 4
解析 由已知得f(0)=0=1+b,∴b=-1,又f(2)=2+2(a-1)-1=-1,∴a=0,∴f(x)=log2(x+2)-x-1(x≥0),∴f(-6)=-f(6)=-3+6+1=4.
2.答案 13,23
解析 由f(x)是偶函数知f(x)=f(-x)=f(|x|),则f(2x-1)
解析 ∵函数f(x)为定义在R上的奇函数,
∴当x=0时, f(0)=0,不满足不等式f(x)<-e.
当x≠0时,设x<0,则-x>0,
∵当x>0时, f(x)=xln x,
∴f(-x)=-xln(-x),
∵函数f(x)是奇函数,∴f(x)=-f(-x)=xln(-x),
则f(x)=xlnx,x>0,xln(-x),x<0.
当x>0时, f '(x)=ln x+x·1x=ln x+1,
令f '(x)=0,得x=1e,
当01e时, f '(x)>0,
∴函数f(x)在0,1e上递减,在1e,+∞上递增,
再由函数f(x)是奇函数,画出函数f(x)的图象,如图:
当x=1e时取到极小值, f1e=1eln1e=-1e>-e,
∴不等式f(x)<-e在(0,+∞)上无解.
∵f(-e)=(-e)ln[-(-e)]=-e,
∴不等式f(x)<-e的解集是(-∞,-e).
结论二 函数的单调性、
极值与最值
跟踪集训
4.答案 6
解析 由f(x)=4x3+mx2+(m-3)x+n(m,n∈R)是R上的单调增函数,得f '(x)=12x2+2mx+m-3≥0在R上恒成立,则4m2-48(m-3)≤0,即(m-6)2≤0,故m=6.
5.答案 (-∞,-5]
解析 易知f(2)=0,则要使f(x),x∈[-3,3]的最大值是0,只需f(x)≤0,x∈[-3,3]恒成立,则-a|x-2|≥|x2-4|,x∈[-3,3],-a≥|x+2|max=5,所以a≤-5,实数a的取值范围是(-∞,-5].
6.答案 0,14
解析 由对任意x1≠x2都有 f(x1)-f(x2)x1-x2<0成立,知f(x)是减函数,于是0
解析 由∃x1≠x2,x1,x2∈R, f(x1)=f(x2),得f(x)在R上不单调.若f(x)在R上单调,只能单调递增,此时a2≥1,a>0,-1+a≤2a-5,
解得a≥4,故函数不单调时实数a的取值范围是a<4.
结论三 抽象函数的
周期性与单调性
跟踪集训
8.答案 1
解析 因为f(x)为R上的奇函数,所以f(-x)=-f(x), f(0)=0.因为f(x+2)为偶函数,所以f(x+2)=f(-x+2),所以f(x+4)=f(-x)=-f(x),所以f(x+8)=f(x),即函数f(x)的周期为8,故f(8)+f(9)=f(0)+f(1)=1.
9.答案 3
解析 因为f(x)的图象关于直线x=2对称,
所以f(x)=f(4-x), f(-x)=f(4+x),
又f(-x)=f(x),所以f(x)=f(4+x),
则f(-1)=f(4-1)=f(3)=3.
10.答案 4
解析 因为函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,所以f(x)是R上的奇函数,所以f(x)=-f(-x).因为f(x+2)=f(-x),所以f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),故f(x)的周期为4.所以f(2 017)=f(504×4+1)=f(1)=4,又因为f(2 016)+f(2 018)=-f(2 014)+f(2 014+4)=-f(2 014)+f (2 014)=0,所以f(2 016)+f(2 017)+f(2 018)=4.
结论四 函数零点
跟踪集训
11.答案 1,94
解析 画出当x≥0时f(x)的图象,根据偶函数的图象关于y轴对称可得x<0时的图象,如图,由图象可得m∈1,94.
12.答案 -6,14
解析 令3x=t,t∈13,3,则函数f(x)=3x-32x-m在[-1,1]上有零点⇔m=-t2+t在t∈13,3内有解,则m∈-6,14.
13.答案 [-5,-22-2)
解析 曲线f(x)在点(0,1)处的切线方程为y=x+1,该切线与f(x)的图象恰有三个公共点,则该切线与f(x)=(1-x)(a+x),x≥2的图象有两个不同的交点,即关于x的方程x+1=(1-x)(a+x),x∈[2,+∞)有两个不等根,整理得x2+ax+1-a=0,x∈[2,+∞)有两个不等根,所以Δ=a2-4(1-a)>0,-a2>2,4+2a+1-a≥0,
解得-5≤a<-22-2.
结论五 三角函数
跟踪集训
14.答案 -34
解析 由已知得,tan α=-34,
则cosπ2+αsin(-π-α)cos11π2-αsin9π2+α
=-sin2αcos3π2-αsinπ2+α
=-sin2α-cosπ2-αcosα=-sin2α-sinαcosα=tan α=-34.
15.答案 [-1,1]
解析 由sin αcos β-cos αsin β=sin(α-β)=1,α,β∈[0,π],得α-β=π2,所以α=β+π2,β=α-π2,所以sin(2α-β)+sin(α-2β)=sinα+π2+sinπ2-β=cos α+cos β=cos β+cosβ+π2=cos β-sin β=2cosβ+π4,由α,β∈[0,π],α=β+π2得β∈0,π2,则β+π4∈π4,3π4,
则cosβ+π4∈-22,22,
所以2cosβ+π4∈[-1,1].
16.答案 0,π3
解析 f(x)=1-cos2x2+3cos xsin x=32sin 2x-12cos 2x+12=sin2x-π6+12,由2kπ-π2≤2x-π6≤2kπ+π2,k∈Z得kπ-π6≤x≤kπ+π3,k∈Z,与0,π2取交集得所求递增区间是0,π3.
结论六 解三角形
跟踪集训
17.答案 22
解析 设tan A=k,k>0,则tan B=2k,tan C=3k,由
tan A+tan B+tan C=tan Atan Btan C得6k=6k3,解得k=1,
则tan A=1,则A=π4,cos A=22.
18.解析 (1)由a=2bsin A得sin A=2sin Bsin A,因为sin A≠0,所以sin B=12,又B是锐角,则B=π6.
(2)cos A+sin C=cos A+sin(A+B)=cos A+sinA+π6=32sin A+32cos A=3·sinA+π3,又由△ABC为锐角三角形得0
3sinA+π3∈32,32,
即cos A+sin C的取值范围是32,32.
结论七 不等式
跟踪集训
19.答案 m<-1
解析 由题意知,不等式m<1x-2x(x∈[1,3]),易知函数y=1x-2x,x∈[1,3]单调递减,则ymax=-1,∴m<-1,即实数m的取值范围是m<-1.
20.答案 [-8,4]
解析 由题意知a2-λab+(8-λ)b2≥0对任意a∈R恒成立,则Δ=λ2b2-4(8-λ)b2≤0,即λ2+4λ-32≤0,解得-8≤λ≤4.即实数λ的取值范围是[-8,4].
21.答案 -2-1
解析 因为2xy=(x+y)2-(x2+y2)=(x+y)2-1=(x+y+1)·(x+y-1),又x+y22≤x2+y22=12,所以2xyx+y+1=x+y-1≥-2(x2+y2)-1=-2-1,当且仅当x=y时取等号.故2xyx+y+1的最小值为-2-1.
22.答案 2-12
解析 由(2a)2+b22≥2a+b2≥2a·b,得2ab≤12,且4a2+b2≥12,所以S=2ab-(4a2+b2)=2·2ab-(4a2+b2)≤22-12,当且仅当2a=b=12时取等号,即S的最大值为2-12.
结论八 平面向量
跟踪集训
23.答案 {-1}
解析 ∵BC=OC-OB,
∴x2OA+xOB+OC-OB=0,
即OC=-x2OA+(1-x)OB.
∵点A,B,C都在直线l上,点O不在l上,
∴-x2+(1-x)=1,
即x=0(舍去)或x=-1,
∴x的取值集合为{-1}.
24.答案 垂心
解析 由PA·PB=PB·PC,可得PB·(PA-PC)=0,即PB·CA=0,∴PB⊥CA,同理可证PC⊥AB,PA⊥BC,∴P是△ABC的垂心.
25.答案 重心
解析 取AB的中点D,则2OD=OA+OB,
∵OP=13[(1-λ)OA+(1-λ)OB+(1+2λ)OC],
∴OP=13[2(1-λ)OD+(1+2λ)OC]=2(1-λ)3OD+1+2λ3OC.
∵2(1-λ)3+1+2λ3=1,
∴P,C,D三点共线,
∴点P的轨迹一定经过△ABC的重心.
结论九 等差数列
跟踪集训
26.答案 90
解析 (S20-S10)-S10=(S30-S20)-(S20-S10),则S30=3S20-3S10=3×50-3×20=90.
27.答案 5
解析 设该等差数列的前12项中奇数项的和为S奇,偶数项的和为S偶,公差为d.
由已知条件,得S奇+S偶=354,S偶∶S奇=32∶27,
解得S偶=192,S奇=162.
又S偶-S奇=6d,所以d=192-1626=5.
结论十 等比数列
跟踪集训
28.答案 70
解析 解法一:∵S10=a1+a2+…+a10,
S20-S10=a11+a12+…+a20=a1q10+a2q10+…+a10q10=q10S10,
S30-S20=a21+a22+…+a30=a1q20+a2q20+…+a10q20=q20S10,
∴S10,S20-S10,S30-S20成等比数列,公比为q10,
∴(S20-S10)2=S10(S30-S20).
∵S10=10,S20=30,
∴(30-10)2=10(S30-30),∴S30=70.
解法二:∵S10=10,S20=30,
∴S20=S10+a11+a12+…+a20
=S10+a1q10+a2q10+…+a10q10
=S10+q10S10=10(1+q10)=30,
∴q10=2,
∴S30=S20+a21+a22+…+a30
=S10+q10S10+q20S10
=10(1+q10+q20)
=70.
29.答案 22-12n-2
解析 对于an+12=4an,等号两边取以2为底的对数得,2log2an+1=log2an+2.
令bn=log2an,则2bn+1=bn+2,
即2(bn+1-2)=bn-2.
令Cn=bn-2,则Cn+1=12Cn,
∵a1=1,∴b1=0,C1=-2,
∴{Cn}是首项为-2,公比为12的等比数列,
∴Cn=-212n-1=-12n-2,
∴bn=2-12n-2,an=22-12n-2.
30.答案 3
解析 等比数列{an}共有2k+1(k∈N*)项,则a2k+1=192,则S奇=a1+a3+…+a2k-1+a2k+1=1q(a2+a4+…+a2k)+a2k+1=1qS偶+a2k+1=-126q+192=255,解得q=-2,而S奇=a1-a2k+1q21-q2=a1-192×(-2)21-(-2)2=255,解得a1=3.
结论十一 直线与圆
跟踪集训
31.答案 4
解析 由题意可得直线l与圆A:(x-1)2+(y-1)2=1和圆B:(x-3)2+(y-4)2=1都相切,又AB=13>2,则圆A和圆B相外离,所以两圆有4条公切线,即直线l有4条.
32.答案 [1,5]
解析 由题意可得过点A作圆M的两条切线,则两切线之间的夹角大于等于60°,连接CM,则CM与一条切线的夹角大于等于30°,又圆M的半径为2,设A(x,6-x),则MA=(x-1)2+(5-x)2≤4,解得1≤x≤5.
33.答案 262
解析 以点A为坐标原点,AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系,则B(2,0),D(0,1),设C(x,y),由AB·AC+BA·BC=43CA·CB得2x-2(x-2)=43(x2-2x+y2),化简得(x-1)2+y2=4,取E(5,0),可以验证对圆(x-1)2+y2=4上任意一点C都有CB=12CE,则CB+12CD=12(CE+CD)≥12DE=262,当点C在线段DE与圆的交点处时取等号,故CB+12CD的最小值为262.
结论十二 圆锥曲线
跟踪集训
34.答案 53
解析 设椭圆的长、短半轴分别为a1,b1,双曲线的实、虚半轴分别为a2,b2,因为点P是椭圆与双曲线的一个交点,
则由焦点三角形的面积得b12tan 45°=b22tan45°,即b12=b22,
由e2=3e1得ca2=3ca1,即a2=13a1,又由b12=b22得a12-c2=c2-a22,即a12-c2=c2-19a12,109a12=2c2,则e1=ca1=53.
35.答案 1
解析 设P(x0,y0),M(x1,y1),N(-x1,-y1),
则k1k2=y0-y1x0-x1·y0+y1x0+x1=y02-y12x02-x12=-b2a2=-a2-c2a2=-1+34=-14,
所以|k1|+|k2|≥2|k1k2|=1,
当且仅当|k1|=|k2|=12时取等号,
所以|k1|+|k2|的最小值为1.
36.答案 94
解析 由已知得焦点坐标为F34,0,
因此直线AB的方程为y=33x-34,即4x-43y-3=0.
解法一:与抛物线方程联立,消去x得4y2-123y-9=0,
则yA+yB=33,yAyB=-94,
故|yA-yB|=(yA+yB)2-4yAyB=6.
因此S△OAB=12|OF||yA-yB|=12×34×6=94.
解法二:与抛物线方程联立,消去y得x2-212x+916=0,
故xA+xB=212.
根据抛物线的定义有|AB|=xA+xB+p=212+32=12,
又原点到直线AB的距离
d=|-3|42+(-43)2=38,
因此S△OAB=12|AB|·d=94.
解法三:∵|AB|=2psin2α=3sin230°=12,
原点到直线AB的距离
d=|OF|·sin 30°=38,
∴S△OAB=12|AB|·d=12×12×38=94.
必备四 二级结论巧用
结论一 函数的奇偶性
1.奇函数与偶函数的定义域关于原点对称.
2.函数f(x)为奇函数,且在x=0处有定义,则f(0)=0.
3.如果f(x)为偶函数,那么f(x)=f(|x|).
4.奇函数在对称的区间内有相同的单调性,偶函数在对称的区间内有不同的单调性.
跟踪集训
1.定义在R上的奇函数f(x)满足:当x≥0时, f(x)=log2(x+2)+(a-1)x+b(a,b为常数),若f(2)=-1,则f(-6)的值为 .
2.已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,则满足f(2x-1)
结论二 函数的单调性、极值与最值
1.函数的单调性
(1)∀x1,x2∈D,x1≠x2,f(x1)-f(x2)x1-x2>0(<0)⇔y=f(x),x∈D单调递增(递减).
(2)复合函数的单调性:“同增异减”;单调区间是定义域的子集.
(3)f(x)在(a,b)上是增函数⇒f '(x)≥0在区间(a,b)上恒成立; f(x)在(a,b)上是减函数⇒f '(x)≤0在区间(a,b)上恒成立.注意:①等号不能少;②逆命题不成立;③单调区间不能用“∪”连接.
(4)f(x)在(a,b)上存在单调递增区间⇒f '(x)>0,x∈(a,b)有解.
(5)存在x1,x2∈D,x1≠x2, f(x1)=f(x2)⇔y=f(x),x∈D不单调.
2.函数的单调性与极值
(1)函数f(x)有三个单调区间⇔f(x)有两个极值点⇔f '(x)=0有两个不等实根;
(2)函数f(x)在(a,b)上不单调⇔f(x)在(a,b)上有极值点,可求出f(x)的极值点x0∈(a,b).
3.函数的最值
函数f(x)在D上的最大值为M⇔∃x0∈D, f(x0)=M,f(x)≤M,x∈D恒成立.函数f(x)在D上的最小值为m⇔∃x0∈D, f(x0)=m,f(x)≥m,x∈D恒成立.
跟踪集训
4.设f(x)=4x3+mx2+(m-3)x+n(m,n∈R)是R上的单调增函数,则m的值为 .
5.已知函数f(x)=|x2-4|+a|x-2|,x∈[-3,3]的最大值是0,则实数a的取值范围是 .
6.(2018南通泰州中学高三期初考试)已知函数f(x)=ax(x<0),(a-3)x+4a(x≥0)满足对任意x1≠x2,都有 f(x1)-f(x2)x1-x2<0成立,则a的取值范围是 .
7.已知函数f(x)=-x2+ax(x≤1),2ax-5(x>1),若存在x1,x2∈R,且x1≠x2,使得f(x1)=f(x2)成立,则实数a的取值范围是 .
结论三 抽象函数的周期性与单调性
1.函数的周期性
(1)若函数f(x)满足f(x+a)=f(x-a),则f(x)为周期函数,2a是它的一个周期.
(2)设f(x)是R上的偶函数,且图象关于直线x=a(a≠0)对称,则f(x)是周期函数,2a是它的一个周期.
(3)设f(x)是R上的奇函数,且图象关于直线x=a(a≠0)对称,则f(x)是周期函数,4a是它的一个周期.
(4)f(x+a)f(x)=k(a>0)、 f(x+a)+f(x)=k(a>0)(k为常数)都表明函数f(x)是周期为2a的周期函数.
2.函数图象的对称性
(1)若函数f(x)满足f(a+x)=f(a-x),即f(x)=f(2a-x),则f(x)的图象关于直线x=a对称.
(2)若函数f(x)满足f(a+x)=-f(a-x),即f(x)=-f(2a-x),则f(x)的图象关于点(a,0)对称.
(3)若函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x),则函数f(x)的图象关于直线x=a+b2对称.
(4)若f(x+a)+f(b-x)=c,则函数y=f(x)的图象关于点a+b2,c2对称.
跟踪集训
8.奇函数f(x)的定义域为R.若f(x+2)为偶函数,且f(1)=1,则f(8)+f(9)= .
9.若偶函数f(x)的图象关于直线x=2对称,且f(3)=3,则f(-1)= .
10.函数f(x)对任意x∈R都有f(x+2)=f(-x)成立,且函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称, f(1)=4,则f(2 016)+f(2 017)+f(2 018)的值为 .
结论四 函数零点
1.一元二次方程实根分布理论:一元二次方程的两个实根分布在同一区间上的条件:开口方向、对称轴、判别式、区间端点的函数值的符号;两个实根分布在两个不同区间上的条件:开口方向、区间端点的函数值的符号.
2.函数有零点(方程有解)问题,利用分离参数法将参数的取值范围转化为函数值域求解.
3.确定函数的零点个数或者已知函数的零点个数求参数的值或范围,一般利用数形结合法求解,画图形时尽量是动直线与定曲线的图形.
跟踪集训
11.(2018南京、盐城一模)设函数f(x)是偶函数,当x≥0时, f(x)=x(3-x),0≤x≤3,-3x+1,x>3,若函数y=f(x)-m有四个不同的零点,则实数m的取值范围是 .
12.已知函数f(x)=3x-32x-m在[-1,1]上有零点,则实数m的取值范围是 .
13.已知函数f(x)=ex,x<2,(1-x)(a+x),x≥2(a为常数,e为自然对数的底数)的图象在点A(0,1)处的切线与该函数的图象恰好有三个公共点,则实数a的取值范围是 .
结论五 三角函数
1.sinnπ2+α=(-1)n2sinα(n=2k,k∈Z),(-1)n2cosα(n=2k+1,k∈Z).
2.cosnπ2+α=(-1)n2cosα(n=2k,k∈Z),(-1)n+12sinα(n=2k+1,k∈Z).
3.asin α+bcos α=a2+b2sin(α+φ)辅助角φ所在象限由点(a,b)所在象限决定,tan φ=ba.
4.求三角函数在给定范围上的单调区间:一般是求出所有的单调区间,再与给定区间取交集.
5.正弦函数、余弦函数最值的等价说法: f(a)≤f(x),∀x成立等价于f(a)是f(x)的最小值,直线x=a是函数图象的一条对称轴.
跟踪集训
14.已知角α的始边为x轴正半轴,终边上一点P的坐标为(-4,3),则cosπ2+αsin(-π-α)cos11π2-αsin9π2+α的值为 .
15.设α,β∈[0,π],且满足sin αcos β-cos αsin β=1,则sin(2α-β)+sin(α-2β)的取值范围为 .
16.设f(x)=sin2x-3cos xcosx+π2,则f(x)在0,π2上的单调增区间为 .
结论六 解三角形
1.sin A=sin(B+C),cos A=-cos(B+C).
2.A>B⇔sin A>sin B,cos A
4.对锐角三角形的理解和应用:三个角都是锐角的三角形;任意两个角的和是钝角的三角形;在锐角三角形中,任意一个角的正弦值大于其余两个角的余弦值,任意两边的平方和大于第三边的平方,即sin A>cos B,sin A>cos C,a2+b2>c2,b2+c2>a2,c2+a2>b2.
跟踪集训
17.在斜△ABC中,若tan A∶tan B∶tan C=1∶2∶3,则cos A= .
18.锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=2bsin A.
(1)求B的大小;
(2)求cos A+sin C的取值范围.
结论七 不等式
1.2aba+b≤ab≤a+b2≤a2+b22(a,b>0).
2.(1)xy≤x2+y22;(2)xy≤x+y22;(3)当x>0时,x+1x≥2;
(4)当x,y同号时,xy+yx≥2;当x,y异号时,xy+yx≤-2.
3.不等式恒成立、有解问题:二次不等式在R上恒成立,利用判别式;若给定区间,则分离参数是常用方法.通过分离参数,不等式恒成立问题可以转化为a
跟踪集训
19.若在区间[1,3]内,存在实数x满足不等式2x2+mx-1<0,则实数m的取值范围是 .
20.不等式a2+8b2≥λb(a+b)对任意a,b∈R恒成立,则实数λ的取值范围为 .
21.已知实数x,y满足x2+y2=1,则2xyx+y+1的最小值为 .
22.若a>0,b>0,且2a+b=1,则S=2ab-(4a2+b2)的最大值是 .
结论八 平面向量
1.三点共线的判定
A,B,C三点共线⇔AB,AC共线;向量PA,PB,PC中,A,B,C三点共线⇔存在实数α,β使得PA=αPB+βPC,且α+β=1.
2.三角形“四心”的向量形式的充要条件
设O为△ABC所在平面上一点,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,则
(1)O为△ABC的外心⇔|OA|=|OB|=|OC|=a2sinA=b2sinB=c2sinC.
(2)O为△ABC的重心⇔OA+OB+OC=0.
(3)O为△ABC的垂心⇔OA·OB=OB·OC=OC·OA.
(4)O为△ABC的内心⇔aOA+bOB+cOC=0.
3.向量中线定理:△ABC中,点D为BC的中点,则AB+AC=2AD.
4.||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|,注意等号成立的条件.
5.若a,b都是非零向量,则a∥b⇔a=λb⇔x1y2=x2y1⇔夹角等于0°或180°⇔|a·b|=|a||b|.
6.若a,b都是非零向量,则a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2=0⇔夹角等于90°⇔|a+b|=|a-b|.
7.数量积的其他结论:当a与b同向共线时,a·b=|a|·|b|;当a与b反向共线时,a·b=-|a|·|b|;当a与b共线时,|a·b|=|a|·|b|;当a与b为任意向量时,|a·b|=|a|·|b|·|cos θ|≤|a|·|b|(θ为a与b的夹角);a与b的夹角为锐角的充要条件是a·b=x1x2+y1y2>0,x1y2-x2y1≠0.a与b的夹角为钝角的充要条件是a·b=x1x2+y1y2<0,x1y2-x2y1≠0.
跟踪集训
23.已知A,B,C是直线l上不同的三个点,点O不在直线l上,则使等式x2OA+xOB+BC=0成立的实数x的取值集合为 .
24.P是△ABC所在平面内一点,若PA·PB=PB·PC=PC·PA,则P是△ABC的 .(填“外心”“重心”“内心”“垂心”中的一种)
25.已知A,B,C是平面上不共线的三点,O为平面ABC内任一点,动点P满足OP=13[(1-λ)OA+(1-λ)OB+(1+2λ)OC],λ∈R,则点P的轨迹一定经过△ABC的 .(填“外心”“重心”“内心”“垂心”中的一种)
结论九 等差数列
1.在等差数列{an}中,ap=q,aq=p(p≠q)⇒ap+q=0;Sm+n=Sm+Sn+mnd.
2.若Sm,S2m,S3m分别为{an}的前m项,前2m项,前3m项的和,则Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差数列.
3.若等差数列{an}的项数为2m,公差为d,所有奇数项之和为S奇,所有偶数项之和为S偶,则所有项之和S2m=m(am+am+1),S偶-S奇=md,S奇S偶=amam+1.
4.若等差数列{an}的项数为2m-1,所有奇数项之和为S奇,所有偶数项之和为S偶,则所有项之和S2m-1=(2m-1)am,S奇=mam,S偶=(m-1)am,S奇-S偶=am,S奇S偶=mm-1.
跟踪集训
26.等差数列{an}的前n项和为Sn,若S10=20,S20=50,则S30= .
27.一个等差数列的前12项和为354,前12项中偶数项的和与奇数项的和之比为32∶27,则该数列的公差为 .
结论十 等比数列
1.等比数列{an}的前n项和为Sn,若Sm,S2m-Sm,S3m-S2m均不为0,则Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等比数列.
2.Sm+n=Sm+qmSn=Sn+qnSm.
3.在有限等比数列{an}中,公比为q,所有奇数项之和为S奇,所有偶数项之和为S偶.若n为偶数,则S偶=qS奇;若n为奇数,则S奇=a1+qS偶.
4.如果数列{an}是等差数列,那么数列{Aan}(Aan总有意义)必是等比数列.如果数列{an}是等比数列,那么数列{loga|an|}(a>0,且a≠1)必是等差数列.
跟踪集训
28.在等比数列{an}中,若S10=10,S20=30,则S30= .
29.数列{an}中,an+12=4an,a1=1,an>0,则an= .
30.等比数列{an}共有奇数项,所有奇数项和S奇=255,所有偶数项和S偶=-126,末项是192,则首项a1= .
结论十一 直线与圆
1.阿波罗尼斯圆:若点A,B是定点,M是动点,且MA=kMB,k>0,k≠1,则动点M的轨迹是圆(阿波罗尼斯圆).
2.定点A到动直线l的距离等于定长的直线l是以A为圆心,定长为半径的圆的切线.
3.以AB为直径的圆经过点C(异于A,B),则AC⊥BC,可以利用斜率或向量求解.
4.对角互补的四边形有外接圆.
5.以A(x1,y1),B(x2,y2)为直径两端点的圆的方程为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.
6.过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点(x0,y0)的切线方程为(x-a)(x0-a)+(y-b)(y0-b)=r2,过圆外一点可以作圆的两条切线.
7.过圆内一定点的弦长最长的有1条,是过该点的直径,最短的弦有1条,是垂直于过该点直径的弦.
跟踪集训
31.若A(1,1),B(3,4),且点A和B到直线l的距离都等于1,则这样的直线l有 条.
32.已知圆M:(x-1)2+(y-1)2=4,直线l:x+y-6=0,A为直线l上一点.若圆M上存在两点B,C,使得∠BAC=60°,则点A横坐标的取值范围是 .
33.在平面四边形ABCD中,∠BAD=90°,AB=2,AD=1.若AB·AC+BA·BC=43CA·CB,则CB+12CD的最小值为 .
结论十二 圆锥曲线
1.椭圆中的常用结论:(1)焦点弦长公式:左焦点弦AB=2a+e(x1+x2),右焦点弦AB=2a-e(x1+x2);
(2)通径长为2b2a;
(3)焦点三角形的面积S=b2tan θ2;
(4)若A,B是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)上关于坐标原点对称的两点,P为椭圆C上任意一点,则kPAkPB=-b2a2.
2.双曲线中焦点三角形的面积S=b2tan θ2.
3.若点M(x0,y0)在曲线x2a2±y2b2=1上,则过M的切线方程为x0xa2±y0yb2=1.
4.过抛物线y2=2px(p>0)焦点的弦AB有如下结论:
(1)xA·xB=p24;(2)yA·yB=-p2;(3)|AB|=2psin2α(α是直线AB的倾斜角).
跟踪集训
34.设P是有公共焦点F1,F2的椭圆C1与双曲线C2的一个交点,且PF1⊥PF2,椭圆C1的离心率为e1,双曲线C2的离心率为e2,若e2=3e1,则e1= .
35.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0),M,N是椭圆上关于原点对称的两点,P是椭圆上任意一点,且直线PM,PN的斜率分别为k1,k2(k1k2≠0),若椭圆的离心率为32,则|k1|+|k2|的最小值为 .
36.设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为 .
答案精解精析
结论一 函数的奇偶性
跟踪集训
1.答案 4
解析 由已知得f(0)=0=1+b,∴b=-1,又f(2)=2+2(a-1)-1=-1,∴a=0,∴f(x)=log2(x+2)-x-1(x≥0),∴f(-6)=-f(6)=-3+6+1=4.
2.答案 13,23
解析 由f(x)是偶函数知f(x)=f(-x)=f(|x|),则f(2x-1)
解析 ∵函数f(x)为定义在R上的奇函数,
∴当x=0时, f(0)=0,不满足不等式f(x)<-e.
当x≠0时,设x<0,则-x>0,
∵当x>0时, f(x)=xln x,
∴f(-x)=-xln(-x),
∵函数f(x)是奇函数,∴f(x)=-f(-x)=xln(-x),
则f(x)=xlnx,x>0,xln(-x),x<0.
当x>0时, f '(x)=ln x+x·1x=ln x+1,
令f '(x)=0,得x=1e,
当0
∴函数f(x)在0,1e上递减,在1e,+∞上递增,
再由函数f(x)是奇函数,画出函数f(x)的图象,如图:
当x=1e时取到极小值, f1e=1eln1e=-1e>-e,
∴不等式f(x)<-e在(0,+∞)上无解.
∵f(-e)=(-e)ln[-(-e)]=-e,
∴不等式f(x)<-e的解集是(-∞,-e).
结论二 函数的单调性、
极值与最值
跟踪集训
4.答案 6
解析 由f(x)=4x3+mx2+(m-3)x+n(m,n∈R)是R上的单调增函数,得f '(x)=12x2+2mx+m-3≥0在R上恒成立,则4m2-48(m-3)≤0,即(m-6)2≤0,故m=6.
5.答案 (-∞,-5]
解析 易知f(2)=0,则要使f(x),x∈[-3,3]的最大值是0,只需f(x)≤0,x∈[-3,3]恒成立,则-a|x-2|≥|x2-4|,x∈[-3,3],-a≥|x+2|max=5,所以a≤-5,实数a的取值范围是(-∞,-5].
6.答案 0,14
解析 由对任意x1≠x2都有 f(x1)-f(x2)x1-x2<0成立,知f(x)是减函数,于是0
解析 由∃x1≠x2,x1,x2∈R, f(x1)=f(x2),得f(x)在R上不单调.若f(x)在R上单调,只能单调递增,此时a2≥1,a>0,-1+a≤2a-5,
解得a≥4,故函数不单调时实数a的取值范围是a<4.
结论三 抽象函数的
周期性与单调性
跟踪集训
8.答案 1
解析 因为f(x)为R上的奇函数,所以f(-x)=-f(x), f(0)=0.因为f(x+2)为偶函数,所以f(x+2)=f(-x+2),所以f(x+4)=f(-x)=-f(x),所以f(x+8)=f(x),即函数f(x)的周期为8,故f(8)+f(9)=f(0)+f(1)=1.
9.答案 3
解析 因为f(x)的图象关于直线x=2对称,
所以f(x)=f(4-x), f(-x)=f(4+x),
又f(-x)=f(x),所以f(x)=f(4+x),
则f(-1)=f(4-1)=f(3)=3.
10.答案 4
解析 因为函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,所以f(x)是R上的奇函数,所以f(x)=-f(-x).因为f(x+2)=f(-x),所以f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),故f(x)的周期为4.所以f(2 017)=f(504×4+1)=f(1)=4,又因为f(2 016)+f(2 018)=-f(2 014)+f(2 014+4)=-f(2 014)+f (2 014)=0,所以f(2 016)+f(2 017)+f(2 018)=4.
结论四 函数零点
跟踪集训
11.答案 1,94
解析 画出当x≥0时f(x)的图象,根据偶函数的图象关于y轴对称可得x<0时的图象,如图,由图象可得m∈1,94.
12.答案 -6,14
解析 令3x=t,t∈13,3,则函数f(x)=3x-32x-m在[-1,1]上有零点⇔m=-t2+t在t∈13,3内有解,则m∈-6,14.
13.答案 [-5,-22-2)
解析 曲线f(x)在点(0,1)处的切线方程为y=x+1,该切线与f(x)的图象恰有三个公共点,则该切线与f(x)=(1-x)(a+x),x≥2的图象有两个不同的交点,即关于x的方程x+1=(1-x)(a+x),x∈[2,+∞)有两个不等根,整理得x2+ax+1-a=0,x∈[2,+∞)有两个不等根,所以Δ=a2-4(1-a)>0,-a2>2,4+2a+1-a≥0,
解得-5≤a<-22-2.
结论五 三角函数
跟踪集训
14.答案 -34
解析 由已知得,tan α=-34,
则cosπ2+αsin(-π-α)cos11π2-αsin9π2+α
=-sin2αcos3π2-αsinπ2+α
=-sin2α-cosπ2-αcosα=-sin2α-sinαcosα=tan α=-34.
15.答案 [-1,1]
解析 由sin αcos β-cos αsin β=sin(α-β)=1,α,β∈[0,π],得α-β=π2,所以α=β+π2,β=α-π2,所以sin(2α-β)+sin(α-2β)=sinα+π2+sinπ2-β=cos α+cos β=cos β+cosβ+π2=cos β-sin β=2cosβ+π4,由α,β∈[0,π],α=β+π2得β∈0,π2,则β+π4∈π4,3π4,
则cosβ+π4∈-22,22,
所以2cosβ+π4∈[-1,1].
16.答案 0,π3
解析 f(x)=1-cos2x2+3cos xsin x=32sin 2x-12cos 2x+12=sin2x-π6+12,由2kπ-π2≤2x-π6≤2kπ+π2,k∈Z得kπ-π6≤x≤kπ+π3,k∈Z,与0,π2取交集得所求递增区间是0,π3.
结论六 解三角形
跟踪集训
17.答案 22
解析 设tan A=k,k>0,则tan B=2k,tan C=3k,由
tan A+tan B+tan C=tan Atan Btan C得6k=6k3,解得k=1,
则tan A=1,则A=π4,cos A=22.
18.解析 (1)由a=2bsin A得sin A=2sin Bsin A,因为sin A≠0,所以sin B=12,又B是锐角,则B=π6.
(2)cos A+sin C=cos A+sin(A+B)=cos A+sinA+π6=32sin A+32cos A=3·sinA+π3,又由△ABC为锐角三角形得0
3sinA+π3∈32,32,
即cos A+sin C的取值范围是32,32.
结论七 不等式
跟踪集训
19.答案 m<-1
解析 由题意知,不等式m<1x-2x(x∈[1,3]),易知函数y=1x-2x,x∈[1,3]单调递减,则ymax=-1,∴m<-1,即实数m的取值范围是m<-1.
20.答案 [-8,4]
解析 由题意知a2-λab+(8-λ)b2≥0对任意a∈R恒成立,则Δ=λ2b2-4(8-λ)b2≤0,即λ2+4λ-32≤0,解得-8≤λ≤4.即实数λ的取值范围是[-8,4].
21.答案 -2-1
解析 因为2xy=(x+y)2-(x2+y2)=(x+y)2-1=(x+y+1)·(x+y-1),又x+y22≤x2+y22=12,所以2xyx+y+1=x+y-1≥-2(x2+y2)-1=-2-1,当且仅当x=y时取等号.故2xyx+y+1的最小值为-2-1.
22.答案 2-12
解析 由(2a)2+b22≥2a+b2≥2a·b,得2ab≤12,且4a2+b2≥12,所以S=2ab-(4a2+b2)=2·2ab-(4a2+b2)≤22-12,当且仅当2a=b=12时取等号,即S的最大值为2-12.
结论八 平面向量
跟踪集训
23.答案 {-1}
解析 ∵BC=OC-OB,
∴x2OA+xOB+OC-OB=0,
即OC=-x2OA+(1-x)OB.
∵点A,B,C都在直线l上,点O不在l上,
∴-x2+(1-x)=1,
即x=0(舍去)或x=-1,
∴x的取值集合为{-1}.
24.答案 垂心
解析 由PA·PB=PB·PC,可得PB·(PA-PC)=0,即PB·CA=0,∴PB⊥CA,同理可证PC⊥AB,PA⊥BC,∴P是△ABC的垂心.
25.答案 重心
解析 取AB的中点D,则2OD=OA+OB,
∵OP=13[(1-λ)OA+(1-λ)OB+(1+2λ)OC],
∴OP=13[2(1-λ)OD+(1+2λ)OC]=2(1-λ)3OD+1+2λ3OC.
∵2(1-λ)3+1+2λ3=1,
∴P,C,D三点共线,
∴点P的轨迹一定经过△ABC的重心.
结论九 等差数列
跟踪集训
26.答案 90
解析 (S20-S10)-S10=(S30-S20)-(S20-S10),则S30=3S20-3S10=3×50-3×20=90.
27.答案 5
解析 设该等差数列的前12项中奇数项的和为S奇,偶数项的和为S偶,公差为d.
由已知条件,得S奇+S偶=354,S偶∶S奇=32∶27,
解得S偶=192,S奇=162.
又S偶-S奇=6d,所以d=192-1626=5.
结论十 等比数列
跟踪集训
28.答案 70
解析 解法一:∵S10=a1+a2+…+a10,
S20-S10=a11+a12+…+a20=a1q10+a2q10+…+a10q10=q10S10,
S30-S20=a21+a22+…+a30=a1q20+a2q20+…+a10q20=q20S10,
∴S10,S20-S10,S30-S20成等比数列,公比为q10,
∴(S20-S10)2=S10(S30-S20).
∵S10=10,S20=30,
∴(30-10)2=10(S30-30),∴S30=70.
解法二:∵S10=10,S20=30,
∴S20=S10+a11+a12+…+a20
=S10+a1q10+a2q10+…+a10q10
=S10+q10S10=10(1+q10)=30,
∴q10=2,
∴S30=S20+a21+a22+…+a30
=S10+q10S10+q20S10
=10(1+q10+q20)
=70.
29.答案 22-12n-2
解析 对于an+12=4an,等号两边取以2为底的对数得,2log2an+1=log2an+2.
令bn=log2an,则2bn+1=bn+2,
即2(bn+1-2)=bn-2.
令Cn=bn-2,则Cn+1=12Cn,
∵a1=1,∴b1=0,C1=-2,
∴{Cn}是首项为-2,公比为12的等比数列,
∴Cn=-212n-1=-12n-2,
∴bn=2-12n-2,an=22-12n-2.
30.答案 3
解析 等比数列{an}共有2k+1(k∈N*)项,则a2k+1=192,则S奇=a1+a3+…+a2k-1+a2k+1=1q(a2+a4+…+a2k)+a2k+1=1qS偶+a2k+1=-126q+192=255,解得q=-2,而S奇=a1-a2k+1q21-q2=a1-192×(-2)21-(-2)2=255,解得a1=3.
结论十一 直线与圆
跟踪集训
31.答案 4
解析 由题意可得直线l与圆A:(x-1)2+(y-1)2=1和圆B:(x-3)2+(y-4)2=1都相切,又AB=13>2,则圆A和圆B相外离,所以两圆有4条公切线,即直线l有4条.
32.答案 [1,5]
解析 由题意可得过点A作圆M的两条切线,则两切线之间的夹角大于等于60°,连接CM,则CM与一条切线的夹角大于等于30°,又圆M的半径为2,设A(x,6-x),则MA=(x-1)2+(5-x)2≤4,解得1≤x≤5.
33.答案 262
解析 以点A为坐标原点,AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系,则B(2,0),D(0,1),设C(x,y),由AB·AC+BA·BC=43CA·CB得2x-2(x-2)=43(x2-2x+y2),化简得(x-1)2+y2=4,取E(5,0),可以验证对圆(x-1)2+y2=4上任意一点C都有CB=12CE,则CB+12CD=12(CE+CD)≥12DE=262,当点C在线段DE与圆的交点处时取等号,故CB+12CD的最小值为262.
结论十二 圆锥曲线
跟踪集训
34.答案 53
解析 设椭圆的长、短半轴分别为a1,b1,双曲线的实、虚半轴分别为a2,b2,因为点P是椭圆与双曲线的一个交点,
则由焦点三角形的面积得b12tan 45°=b22tan45°,即b12=b22,
由e2=3e1得ca2=3ca1,即a2=13a1,又由b12=b22得a12-c2=c2-a22,即a12-c2=c2-19a12,109a12=2c2,则e1=ca1=53.
35.答案 1
解析 设P(x0,y0),M(x1,y1),N(-x1,-y1),
则k1k2=y0-y1x0-x1·y0+y1x0+x1=y02-y12x02-x12=-b2a2=-a2-c2a2=-1+34=-14,
所以|k1|+|k2|≥2|k1k2|=1,
当且仅当|k1|=|k2|=12时取等号,
所以|k1|+|k2|的最小值为1.
36.答案 94
解析 由已知得焦点坐标为F34,0,
因此直线AB的方程为y=33x-34,即4x-43y-3=0.
解法一:与抛物线方程联立,消去x得4y2-123y-9=0,
则yA+yB=33,yAyB=-94,
故|yA-yB|=(yA+yB)2-4yAyB=6.
因此S△OAB=12|OF||yA-yB|=12×34×6=94.
解法二:与抛物线方程联立,消去y得x2-212x+916=0,
故xA+xB=212.
根据抛物线的定义有|AB|=xA+xB+p=212+32=12,
又原点到直线AB的距离
d=|-3|42+(-43)2=38,
因此S△OAB=12|AB|·d=94.
解法三:∵|AB|=2psin2α=3sin230°=12,
原点到直线AB的距离
d=|OF|·sin 30°=38,
∴S△OAB=12|AB|·d=12×12×38=94.
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