2020届二轮复习导数中参数问题教案（全国通用）

【例1】已知函数.

（1）若，当时，求的单调递减区间；

（2）若函数有唯一的零点，求实数的取值范围.

如图，作出函数的大致图象，则要使方程的唯一的实根，

【点评】有唯一的实根,如果直接研究，左边函数含有参数，和右边的函数分析交点，不是很方便，但是分离参数后得，左边函数没有参数，容易画出它的图像，右边是一个常数函数，交点分析起来比较方便.

【反馈检测1】已知函数和．

（1）若函数在区间不单调，求实数的取值范围；

（2）当时，不等式恒成立，求实数的最大值．

【反馈检测2】已知，．

（1）如果函数的单调递减区间为，求函数的解析式；

（2）在（1）的条件下，求函数的图象在点处的切线方程；

（3）已知不等式恒成立，若方程恰有两个不等实根，求的取值范围．

【例2】已知函数，其中为常数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若存在两个极值点，求证：无论实数取什么值都有.

【解析】（1）函数的定义域为.

，记，判别式.

①当即时，恒成立，，所以在区间上单调递增.

②当或时，方程有两个不同的实数根，记，，显然

综上，当时，在区间上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.

（2）由（1）知当时，没有极值点，当时，有两个极值点，且.

，

∴又，

.记，，则，所以在时单调递增，，所以，所以.

【点评】（1）第1问，要研究导函数，必须研究二次函数的图像，但是二次函数的判别式无法确定正负，所以要分类讨论. (2)第2问，与第1问同，也要分类讨论. .

【反馈检测3】已知函数.

（1）若函数在时取得极值，求实数的值；

（2）若对任意恒成立，求实数的取值范围.

【反馈检测4】已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若对任意的，均有，求实数的范围.

高中数常见题型解法归纳及反馈检测第21讲：

导数中参数问题的求解策略参考答案

【反馈检测1答案】（1）；（2）．

（2）由已知得，

令，则

，所以在单调递增，

∴，∴，即的最大值为

【反馈检测2答案】（1）；（2）；（3）．

【反馈检测2详细解析】（1），

由题意的解集为，

即的两根分别是，，

代入得，

∴．

（2）由（1）知，，∴，，

∴点处的切线斜率，

∴函数的图象在点处的切线方程为，

即．

【反馈检测3答案】（1）（2）

【反馈检测3详细解析】

（1），

依题意有，即，解得.

检验：当时，.

此时，函数在上单调递减，在上单调递增，满足在时取得极值.

综上可知.

【反馈检测4答案】（1）见解析; （2）..

【反馈检测4详细解析】（1），

当时，，由得，所以函数的单调递增区间为；

当时，.

若，由得，所以函数的单调递增区间为；

若，由，所以函数的不存在单调递增区间；

若，由得，所以函数的单调递增区间为；

若，由得或，所以函数的单调递增区间为，.

当时，，

①当时，恒成立，即恒大于零，则：

单调递增，.

单调递增，，满足条件.

②当，则时，，即在单调递减，

，在单调递减，，不符题意，故舍去.

综上所述：时，恒成立.