2020届高考数学二轮教师用书：第二章第4节　指数与指数函数

第4节　指数与指数函数

1．根式

(1)概念：式子叫做　根式　，其中n叫做根指数，a叫做被开方数．

(2)性质：()n＝　a　(a使有意义)；当n为奇数时，＝　a　，当n为偶数时，＝|a|＝

2．分数指数幂

(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a＝　　(a>0，m，n∈N*，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是a－＝　　(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂　没有意义　.

(2)有理指数幂的运算性质：aras＝　ar＋s　；(ar)s＝　ars　；(ab)r＝　arbr　，其中a>0，b>0，r，s∈Q.

3．指数函数及其性质

(1)概念：函数　y＝ax(a>0且a≠1)　叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数．

(2)指数函数的图象与性质

[思考辨析]

判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．

(1)与()n都等于a(n∈N*)．(　　)

(2)2a·2b＝2ab.(　　)

(3)函数y＝3·2x与y＝2x＋1都不是指数函数．(　　)

(4)函数y＝ax2＋1(a>1)的值域是(0，＋∞)．(　　)

(5)函数y＝2－x在R上为单调减函数．(　　)

答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)√

[小题查验]

1．化简[(－2)6]－(－1)0的结果为(　　 )

A．－9　　　　　　　　　 B．7

C．－10  D．9

解析：B　[原式＝(26)－1＝8－1＝7.]

2．在同一坐标系中，函数y＝2x与y＝x的图象之间的关系是(　　 )

A．关于y轴对称  B．关于x轴对称

C．关于原点对称  D．关于直线y＝x对称

解析：A　[∵y＝x＝2－x，

∴它与函数y＝2x的图象关于y轴对称．]

3．已知函数f(x)＝4＋ax－1的图象恒过定点P，则点P的坐标是(　　)

A．(1,5)　　　　　　 B．(1,4)

C．(0,4)  D．(4,0)

解析：A　[由a0＝1知，当x－1＝0，即x＝1时，f(1)＝5，即图象必过定点(1,5). 故选A.]

4．(教材改编)已知0.2m<0.2n，则m　______　n(填“>”或“<”)．

答案：>

5．若函数y＝(a2－1)x在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a的取值范围是　________　.

解析：由题意知0＜a2－1＜1，即1＜a2＜2，

得－＜a＜－1或1＜a＜.

答案：(－，－1)∪

考点一　根式与有理数指数幂的运算(自主练透)

数学运算——巧算指数式

指数的运算除了熟练运用定义和法则外，根据不同的题目结构，会有不同的方法技巧， 可以化为同指数，也可以化为同底数，展现出其运算之“芬芳”．

[题组集训]

1．下列等式能够成立的是(　　)

A.5＝mn5　　　 B.＝

C.＝(x＋y)  D.＝

解析：D　[5＝n5m－5，＝， ＝(x3＋y3)≠(x＋y)，＝＝＝.故选D.]

2．求值与化简．

(1)(0.027)－－－2＋－(－1)0；

(2)－·.

解：(1)原式＝－－(－1)－2·－2＋－1＝－49＋－1＝－45.

(2)原式＝·a·a－·b·b－＝a0·b0＝.

指数幂运算的一般原则

(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算．

(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．

(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数．

(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．

易错警示：运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．

考点二　指数函数的图象及应用(师生共研)

[典例]　(1)函数f(x)＝1－e|x|的图象大致是(　　)

(2)函数f(x)＝ax－b的图象如图，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(　　)

A．a>1，b<0　　　　　　 B．a>1，b>0

C．0<a<1，b>0  D．0<a<1，b<0

(3)(2019·衡水模拟)若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是　________　.

[解析]　(1)将函数解析式与图象对比分析，

因为函数f(x)＝1－e|x|是偶函数，且值域是(－∞，0]，只有A满足上述两个性质，故选A.

(2)由f(x)＝ax－b的图象可以观察出，函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，所以0<a<1，函数f(x)＝ax－b的图象是在y＝ax的基础上向左平移得到的，所以b<0，故选D.

(3)曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b的图象如图所示，由图象可得：如果|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1,1]．

[答案]　(1)A　(2)D　(3)[－1,1]

[互动探究1]

若将本例(3)中“|y|＝2x＋1”改为“y＝|2x－1|”，且与直线y＝b有两个公共点，则b的取值范围是　________　.

解析：曲线y＝|2x－1|与直线y＝b的图象如图所示，由图象可得，如果曲线y＝|2x－1|与直线y＝b有两个公共点，则b的取值范围是(0,1)．

答案：(0,1)

[互动探究2]

若将本例(3)改为：函数y＝|2x－1|在(－∞，k]上单调递减，则k的取值范围是　________　.

解析：因为函数y＝|2x－1|的单调递减区间为(－∞，0]，所以k≤0，即k的取值范围为(－∞，0]．

答案：(－∞，0]

[互动探究3]

若将本例(3)改为：直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a＞0且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是______________________________．

解析：y＝|ax－1|的图象是由y＝ax先向下平移1个单位，再将x轴下方的图象沿x轴翻折过来得到的．

当a＞1时，两图象只有一个交点，不合题意，如图(1)；

当0＜a＜1时，要使两个图象有两个交点，则0＜2a＜1，得到0＜a＜，如图(2)．

综上，a的取值范围是.

答案：

指数函数图象可解决的两类热点问题及思路

(1)求解指数型函数的图象与性质问题

对指数型函数的图象与性质问题(单调性、最值、大小比较、零点等)的求解往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象，然后数形结合使问题得解．

(2)求解指数型方程、不等式问题

一些指数型方程、不等式问题的求解，往往利用相应指数型函数图象数形结合求解．

易错警示：应用指数函数的图象解决指数方程、不等式问题以及指数型函数的性质，要注意画出图象的准确性，否则数形结合得到的可能为错误结论．

[跟踪训练]

1．函数y＝ax－(a>0，且a≠1)的图象可能是(　　 )

解析：D　[法一：当0<a<1时，函数y＝ax－是减函数，且其图象可视为是由函数y＝ax的图象向下平移个单位长度得到的，结合各选项知选D.

法二：因为函数y＝ax－(a>0，且a≠1)的图象必过点(－1,0)，所以选D.]

2．方程2x＝2－x的解的个数是　________　.

解析：方程的解可看作函数y＝2x和y＝2－x的图象交点的横坐标，分别作出这两个函数图象(如图所示)．

由图象得只有一个交点，因此该方程只有一个解．

答案：1

考点三　指数函数的性质及应用(多维探究)

[命题角度1]　比较指数式的大小　

1．设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是　________　.

解析：∵y＝x(x>0)为增函数，∴a>c.

∵y＝x(x∈R)为减函数，∴c>b，∴a>c>b.

答案：a>c>b

[命题角度2]　简单的指数方程或不等式的应用　

2．设函数f(x)＝若f(a)＜1，则实数a的取值范围是(　　 )

A．(－∞，－3)　　　　 B．(1，＋∞)

C．(－3,1)  D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)

解析：C　[当a＜0时，不等式f(a)＜1可化为a－7＜1，即a＜8，即a＜－3，

因为0＜＜1，所以a＞－3，此时－3＜a＜0；

当a≥0时，不等式f(a)＜1可化为＜1，

所以0≤a＜1.故a的取值范围是(－3,1)，故选C.]

[命题角度3]　探究指数型函数的性质　

3．已知函数f(x)＝ax2－4x＋3.

(1)若a＝－1，求f(x)的单调区间；

(2)若f(x)有最大值3，求a的值；

(3)若f(x)的值域是(0，＋∞)，求a的值．

[思路导引]　(1)遵循“同增异减”法则求f(x)的单调区间；(2)由于f(x)有最大值3，所以g(x)应有最小值－1，由此可求出a的值；(3)要使f(x)的值域为(0，＋∞)，应使g(x)＝ax2－4x＋3的值域为R，由此可求出a的值．

解：(1)当a＝－1时，f(x)＝－x2－4x＋3，

令g(x)＝－x2－4x＋3，

由于g(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y＝t在R上单调递减，

所以f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f(x)的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)．

(2)令g(x)＝ax2－4x＋3，f(x)＝g(x)，

由于f(x)有最大值3，所以g(x)应有最小值－1，

因此必有

解得a＝1，即当f(x)有最大值3时，a的值等于1.

(3)由指数函数的性质知，

要使y＝g(x)的值域为(0，＋∞)，

应使g(x)＝ax2－4x＋3的值域为R，

因此只能a＝0.(因为若a≠0，则g(x)为二次函数，其值域不可能为R)．故a的值为0.

　指数函数的性质及应用问题解题策略

(1)比较大小问题．常利用指数函数的单调性及中间值(0或1)法．

(2)简单的指数方程或不等式的求解问题．解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论．

(3)解决指数函数的综合问题时，要把指数函数的概念和性质同函数的其他性质(如奇偶性、周期性)相结合，同时要特别注意底数不确定时，对底数的分类讨论．

1．已知f(x)＝2x＋2－x，若f(a)＝3，则f(2a)等于(　　)

A．5　　　　　　　　　 B．7

C．9  D．11

解析：B　[由f(a)＝3得2a＋2－a＝3，两边平方得22a＋2－2a＋2＝9，即22a＋2－2a＝7，故f(2a)＝7.]

2．(2020·蚌埠市模拟)已知a＝21.2，b＝－0.8，c＝ln 2，则a，b，c的大小关系为(　　 )

A．c＜a＜b  B．c＜b＜a

C．b＜a＜c  D．b＜c＜a

解析：B　[a＝21.2＞b＝－0.8＝20.8＞1＞c＝ln 2，故a＞b＞c故选B.]

3．函数y＝(0<a<1)图象的大致形状是(　　)

解析：D　[函数定义域为{x|x∈R，x≠0}，且y＝＝当x>0时，函数是一个指数函数，因为0<a<1，所以函数在(0，＋∞)上是减函数；故排除A、C；当x<0时，函数图象与指数函数y＝ax(x<0,0<a<1)的图象关于x轴对称，在(－∞，0)上是增函数．故排除B.]

4．若函数f(x)＝a|2x－4| (a>0，a≠1)，满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是(　　)

A．(－∞，2]  B．[2，＋∞)

C．[－2，＋∞)  D．(－∞，－2]

解析：B　[由f(1)＝，得a2＝，

∴a＝ ，即f(x)＝|2x－4|.由于y＝|2x－4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，

所以f(x)在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减．故选B.]

5．已知函数f(x)＝ex(e为自然对数的底数)，对任意实数x、y都有(　　)

A．f(xy)＝f(x)f(y)  B．f(xy)＝f(x)＋f(y)

C．f(x＋y)＝f(x)f(y)  D．f(x＋y)＝f(x)＋f(y)

解析：C　[由指数幂的运算法则可得f(xy)＝exy，f(x＋y)＝ex＋y；f(x)＋f(y)＝ex＋ey, f(x＋y)＝ex＋y＝ex·ey＝f(x)f(y)；∴选项C正确，故选C.]

6．(2020·烟台市模拟)化简：6＝　________　.

解析：原式＝6·6＝x3y2.

答案：x3y2

7．设偶函数f(x)满足f(x)＝2x－4(x≥0)，则{x|f(x－2)>0}＝　____________　.

解析：∵f(x)为偶函数，当x<0时，f(x)＝f(－x)

＝2－x－4.

所以f(x)＝

有或

当f(x－2)>0时，

解得x>4或x<0.

所以{x|f(x－2)>0}＝{x|x<0或x>4}

答案： {x|x<0或x>4}

8．函数y＝x－x＋1在x∈[－3,2]上的值域是　________　.

解析：y＝x－x＋1

＝2－x＋1＝2＋，

因为x∈[－3,2]，所以≤x≤8.

当x＝，即x＝1时ymin＝；当x＝8，即x＝－3时，ymax＝57.

所以函数y的值域为.

答案：

9．化简下列各式：

(1)0.5＋0.1－2＋－－3π0＋；

(2)· .

解：(1)原式＝＋＋－－3＋

＝＋100＋－3＋＝100.

(2)原式＝·＝a－·b－＝a＝a.

10．已知函数f(x)＝是奇函数．

(1)求m的值；

(2)设g(x)＝2x＋1－a，若函数f(x)与g(x)的图象至少有一个公共点，求实数a的取值范围．

解析：(1)由函数f(x)是奇函数可知f(0)＝1＋m＝0，解得m＝－1.

(2)函数f(x)与g(x)的图象至少有一个公共点，

即方程＝2x＋1－a至少有一个实根，

即方程4x－a·2x＋1＝0至少有一个实根．

令t＝2x>0，则方程t2－at＋1＝0至少有一个正根．

方法一：由于a＝t＋≥2，∴a的取值范围为[2，＋∞)．

方法二：令h(t)＝t2－at＋1，由于h(0)＝1>0，

∴只须

解得a≥2.∴a的取值范围为[2，＋∞)．