2020届二轮复习平面向量教案（全国通用）

2020届二轮复习  平面向量  教案（全国通用）1．向量的基本概念(1)既有大小又有方向的量叫做向量．(2)零向量的模为0，方向是任意的，记作0.(3)长度等于1的向量叫单位向量．(4)长度相等且方向相同的向量叫相等向量．(5)方向相同或相反的非零向量叫平行向量，也叫共线向量．零向量和任一向量平行．2．共线向量定理向量a(a≠0)与b共线，当且仅当存在唯一一个实数λ，使b＝λa.3．平面向量基本定理如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 4．两向量的夹角已知两个非零向量a和b，在平面上任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫作a与b的夹角．5．向量的坐标表示及运算(1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a±b＝(x1±x2，y1±y2)，λa＝(λx1，λy1)．(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)．6．平面向量共线的坐标表示已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，当且仅当x1y2－x2y1＝0时，向量a与b共线．7．平面向量的数量积设θ为a与b的夹角．(1)定义：a·b＝|a||b|cosθ.(2)投影：＝|a|cosθ叫做向量a在b方向上的投影．8．数量积的性质(1)a⊥b⇔a·b＝0；(2)当a与b同向时，a·b＝|a|·|b|；当a与b反向时，a·b＝－|a|·|b|；特别地，a·a＝|a|2；(3)|a·b|≤|a|·|b|；(4)cosθ＝.9．数量积的坐标表示、模、夹角已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(1)a·b＝x1x2＋y1y2；(2)|a|＝；(3)a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0；(4)cosθ＝.【误区警示】1．两向量夹角的范围是[0，π]， a·b>0与〈a，b〉为锐角不等价；a·b<0与〈a，b〉为钝角不等价．2．点共线和向量共线，直线平行与向量平行既有联系又有区别．3．a在b方向上的投影为，而不是.4．若a与b都是非零向量，则λa＋μb＝0⇔a与b共线，若a与b不共线，则λa＋μb＝0⇔λ＝μ＝0.高频考点一　平面向量的概念及运算例1．【2017课标1，理13】已知向量a，b的夹角为60°，|a|=2，|b|=1，则| a +2 b |=        .【答案】【解析】利用如下图形，可以判断出的模长是以2为边长的菱形对角线的长度，所以.【变式探究】已知向量a＝(m,4)，b＝(3，－2)，且a∥b，则m＝________.解析：基本法：∵a∥b，∴a＝λb即(m,4)＝λ(3，－2)＝(3λ，－2λ)∴故m＝－6.速解法：根据向量平行的坐标运算求解：∵a＝(m,4)，b＝(3，－2)，a∥b∴m×(－2)－4×3＝0∴－2m－12＝0，∴m＝－6.答案：－6【变式探究】(1)已知点A(0,1)，B(3,2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝(　　)A．(－7，－4)　　　　　　　　B．(7,4)C．(－1,4)  D．(1,4)【举一反三】向量的三角形法则要保证各向量“首尾相接”；平行四边形法则要保证两向量“共起点”，结合几何法、代数法(坐标)求解．(2)设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则＋＝(　　)A.  B.C.  D.解析：基本法一：设＝a，＝b，则＝－b＋a，＝－a＋b，从而＋＝＋＝(a＋b)＝，故选A.基本法二：如图，＋＝＋＋＋＝＋＝(＋)＝·2＝.答案：A高频考点二　平面向量数量积的计算与应用例2．（2018年全国I卷理数）设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（–2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则=A. 5    B. 6    C. 7    D. 8【答案】D【解析】根据题意，过点（–2，0）且斜率为的直线方程为，与抛物线方程联立，消元整理得：，解得，又，所以，从而可以求得，故选D.【变式探究】已知向量＝，＝，则∠ABC＝(　　)A．30°  B．45°C．60°  D．120°解析：基本法：根据向量的夹角公式求解．∵＝，＝，∴||＝1，||＝1，·＝×＋×＝，∴cos∠ABC＝cos〈，〉＝＝.∵0°≤〈，〉≤180°，∴∠ABC＝〈，〉＝30°.速解法：如图，B为原点，则A∴∠ABx＝60°，C∠CBx＝30°，∴∠ABC＝30°.答案：A【变式探究】(1)向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝(　　)A．－1  B．0C．1  D．2【举一反三】当向量以几何图形的形式(有向线段)出现时，其数量积的计算可利用定义法；当向量以坐标形式出现时，其数量积的计算用坐标法；如果建立坐标系，表示向量的有向线段可用坐标表示，计算向量较简单． 【考点定位】平面向量的应用、线性规划.7. 【2014高考北京卷理第10题】已知向量、满足，，且（），则          .【答案】【解析】当，则，于是，因为，所以，又因为，所以.【考点定位】平面向量的模8. 【2014高考湖北卷理第11题】设向量，，若，则实数           .【答案】【解析】因为，，因为，所以，解得.【考点定位】平面向量的坐标运算、数量积10. 【2014江西高考理第15题】已知单位向量与的夹角为，且，向量与的夹角为，则=       .【答案】【解析】因为所以【考点定位】向量数量积及夹角11. 【2014辽宁高考理第5题】设是非零向量，已知命题P：若，，则；命题q：若，则，则下列命题中真命题是（     ）A．   B．  C．  D．【答案】A【解析】由题意可知，命题P是假命题；命题q是真命题，故为真命题.【考点定位】命题的真假12. 【2014全国1高考理第15题】已知为圆上的三点，若，则与的夹角为_______．【答案】．【解析】由，故三点共线，且是线段中点，故是圆的直径，从而，因此与的夹角为【考点定位】平面向量基本定理13. 【2014全国2高考理第3题】设向量a,b满足|a+b|=，|a-b|=，则ab = (   )A.  1        B.  2        C. 3          D. 5【答案】A【解析】因为=10，，两式相加得：，所以，故选A.【考点定位】本小题主要考查平面向量的模、平面向量的数量积等平面向量14. 【2014高考安徽卷理第15题】已知两个不相等的非零向量两组向量和均由2个和3个排列而成.记，表示所有可能取值中的最小值.则下列命题的是_________（写出所有正确命题的编号）.①有5个不同的值.②若则与无关.③若则与无关.④若，则.⑤若，则与的夹角为，∴，∴，故⑤错误.所以正确的编号为②④ 【考点定位】平面向量的运算、平面向量的数量积.15. 【2014四川高考理第7题】平面向量，，（），且与的夹角等于与的夹角，则（    ）A．   B．    C．    D．【答案】 D.【解析】 由题意得：，选D.法二、由于OA，OB关于直线对称，故点C必在直线上，由此可得【考点定位】向量的夹角及向量的坐标运算.16. 【2014浙江高考理第8题】记，，设为平面向量，则（    ） A. B. C. D.【答案】Ｄ【解析】根据向量运算的几何意义，即三角形法则，可知与的大小不确定，由平行四边形法则及余弦定理可知，所对的角大于或等于，故，故选Ｄ【考点定位】向量运算的几何意义.17. 【2014重庆高考理第4题】已知向量，且，则实数=（   ）                                                 D.【答案】C【解析】因为所以又因为，所以，，所以，，解得：故选C.【考点定位】平面向量的坐标运算、平面向量的数量积.19. 【2014大纲高考理第4题】若向量满足：则 （     ）                       A．2    B．   C．1    D．【答案】B．【解析】把①代入②得故选B．【考点定位】1.向量垂直的充要条件；2. 平面向量的数量积运算．20. 【2014高考陕西第18题】在直角坐标系中，已知点，点在三边围成的区域（含边界）上  （1）若，求；  （2）设，用表示，并求的最大值.【答案】（1）；（2），1.【解析】（1）因为所以即得所以（2）即两式相减得：令，由图可知，当直线过点时，取得最大值1，故的最大值为1.【考点定位】平面向量的线性运算、线性规划.学+科网21.【2014高考上海理科第16题】如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，是上底面上其余的八个点，则的不同值的个数为（    ）（A）1    (B)2    (C)4        (D)8【答案】A【解析】如图，与上底面垂直，因此，．【考点定位】数量积的定义与几何意义．22.【2014高考上海理科第14题】已知曲线C：，直线l：x=6.若对于点A（m，0）,存在C上的点P和l上的点Q使得，则m的取值范围为         .【答案】【解析】由知是的中点，设，则，由题意，，解得．【考点定位】向量的坐标运算．