2019届二轮复习（理）第十二章第75讲　不等式选讲学案（江苏专用）

第75讲　不等式选讲
考试要求　1.不等式的基本性质(B级要求)；2.|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法(B级要求)；3.不等式证明的基本方法(比较法、综合法、分析法)(B级要求)；4.算术—几何平均不等式与柯西不等式(A级要求)；5.利用不等式求最大(小)值(B级要求)；6.运用数学归纳法证明不等式(B级要求).

诊 断 自 测
1.求不等式|x－1|－|x－5|<2的解集.
解　①当x≤1时，原不等式可化为1－x－(5－x)<2，
∴－4<2，不等式恒成立，∴x≤1.
②当1 ∴x<4，∴1 ③当x≥5时，原不等式可化为x－1－(x－5)<2，该不等式不成立.
综上，原不等式的解集为(－∞，4).
2.若存在实数x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，求实数a的取值范围.
解　∵|x－a|＋|x－1|≥|(x－a)－(x－1)|＝|a－1|，
要使|x－a|＋|x－1|≤3有解，
可使|a－1|≤3，∴－3≤a－1≤3，∴－2≤a≤4.
故实数a的取值范围为[－2，4].
3.设a，b，m，n∈R，且a2＋b2＝5，ma＋nb＝5，求的最小值.
解　根据柯西不等式(ma＋nb)2≤(a2＋b2)(m2＋n2)，得25≤5(m2＋n2)，m2＋n2≥5，的最小值为.
4.若a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1，求＋＋的最大值.
解　(＋＋)2＝(1×＋1×＋1×)2
≤(12＋12＋12)(a＋b＋c)＝3.
当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立.
∴(＋＋)2≤3.
故＋＋的最大值为.
5.设x>0，y>0，若不等式＋＋≥0恒成立，求实数λ的最小值.
解　∵x>0，y>0，
∴原不等式可化为－λ≤(＋)(x＋y)＝2＋＋.
∵2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当x＝y时等号成立.
∴＝4，即－λ≤4，λ≥－4.
故λ的最小值为－4.
知 识 梳 理
1.绝对值不等式的解法
(1)含绝对值的不等式|x|a的解集：
不等式
a>0
a＝0
a<0
|x| (－a，a)
∅
∅
|x|>a
(－∞，－a)∪
(a，＋∞)
(－∞，0)∪
(0，＋∞)
R
(2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法：
①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；
②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c；
(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法：
①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；
②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.
2.含有绝对值的不等式的性质
(1)如果a，b是实数，则|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立.
(2)如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立.
3.不等式证明的方法
(1)比较法：
①作差比较法：
知道a>b⇔a－b>0，ab只要证明a－b>0即可，这种方法称为作差比较法.
②作商比较法：
由a>b>0⇔>1且a>0，b>0，因此当a>0，b>0时，要证明a>b，只要证明>1即可，这种方法称为作商比较法.
(2)综合法：
从已知条件出发，利用不等式的有关性质或定理，经过推理论证，最终推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法叫综合法.即“由因导果”的方法.
(3)分析法：
从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式(已知条件、定理等)，从而得出要证的不等式成立，这种证明方法叫分析法.即“执果索因”的方法.
(4)反证法和放缩法：
①先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，这种方法叫做反证法.
②在证明不等式时，有时要把所证不等式的一边适当地放大或缩小，此利于化简并使它与不等式的另一边的关系更为明显，从而得出原不等式成立，这种方法称为放缩法.
(5)数学归纳法：
一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤：
①证明当n＝n0时命题成立；
②假设当n＝k (k∈N ，且k≥n0)时命题成立，证明n＝k＋1时命题也成立.
在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立.这种证明方法称为数学归纳法.
4.几个常用基本不等式
(1)柯西不等式：
①柯西不等式的代数形式：设a，b，c，d均为实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2(当且仅当ad＝bc时，等号成立).
②柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则|α β|≥|α·β|，等号当且仅当α，β共线时成立.
③柯西不等式的三角不等式：设x1，y1，x2，y2，x3，y3∈R，则＋≥.
④柯西不等式的一般形式：设n为大于1的自然数，ai，bi (i＝1，2，…，n)为实数，则(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，等号当且仅当＝＝…＝时成立(当ai＝0时，约定bi＝0，i＝1，2，…，n).
(2)算术—几何平均不等式
若a1，a2，…，an为正数，则≥，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立.

考点一　绝对值不等式的解法及利用绝对值不等式求最值
【例1－1】 (2015·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝|x＋1|－2|x－a|，a>0.
(1)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；
(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围.
解　(1)当a＝1时，f(x)>1化为|x＋1|－2|x－1|－1>0.
当x≤－1时，不等式化为x－4>0，无解；
当－10，解得 当x≥1时，不等式化为－x＋2>0，解得1≤x<2.
所以f(x)>1的解集为.
(2)由题设可得，f(x)＝
所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A，B(2a＋1，0)，C(a，a＋1)，
△ABC的面积为(a＋1)2.
由题设得(a＋1)2>6，故a>2.
所以a的取值范围为(2，＋∞).
规律方法　形如|x－a|＋|x－b|≥c(或≤c)型的不等式主要有三种解法：(1)分段讨论法，利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(－∞，a]，(a，b]，(b，
＋∞)(此处设a＜b)三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集；(2)几何法，利用|x－a|＋|x－b|＞c(c＞0)的几何意义：数轴上到点x1＝a和x2＝b的距离之和大于c的全体；(3)图象法：作出函数y1＝|x－a|＋|x－b|和y2＝c的图象，结合图象求解.
【例1－2】 (1)对任意x，y∈R，求|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值.
(2)对于实数x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，求|x－2y＋1|的最大值.
解　(1)∵x，y∈R，
∴|x－1|＋|x|≥|(x－1)－x|＝1，
|y－1|＋|y＋1|≥|(y－1)－(y＋1)|＝2，
∴|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|≥1＋2＝3.
∴|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值为3.
(2)|x－2y＋1|＝|(x－1)－2(y－1)|≤|x－1|＋|2(y－2)＋2|≤1＋2|y－2|＋2≤5，
即|x－2y＋1|的最大值为5.
规律方法　求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种
(1)利用绝对值的几何意义.
(2)利用绝对值三角不等式，即|a|＋|b|≥|a±b|≥|a|－|b|.
(3)利用零点分区间法.
考点二　绝对值不等式的综合应用
【例2】 (2016·全国Ⅱ卷)已知函数f(x)＝＋，M为不等式f(x)<2的解集.
(1)求M；
(2)证明：当a，b∈M时，|a＋b|<|1＋ab|.
(1)解　f(x)＝
当x≤－时，由f(x)<2得－2x<2，
解得x>－1，所以－1 当－ 当x≥时，由f(x)<2得2x<2，
解得x<1，所以≤x<1.
所以f(x)<2的解集M＝{x|－1 (2)证明　由(1)知，当a，b∈M时，－1 规律方法　(1)解决与绝对值有关的综合问题的关键是去掉绝对值，化为分段函数来解决.
(2)数形结合是解决与绝对值有关的综合问题的常用方法.
【训练1】 (2016·全国Ⅲ卷)已知函数f(x)＝|2x－a|＋a.
(1)当a＝2时，求不等式f(x)≤6的解集；
(2)设函数g(x)＝|2x－1|.当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3，求实数a的取值范围.
解　(1)当a＝2时，f(x)＝|2x－2|＋2.
解不等式|2x－2|＋2≤6得－1≤x≤3.
因此f(x)≤6的解集为{x|－1≤x≤3}.
(2)当x∈R时，
f(x)＋g(x)＝|2x－a|＋a＋|1－2x|≥|2x－a＋1－2x|＋a＝|1－a|＋a，当x＝时等号成立，
所以当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3等价于
|1－a|＋a≥3.①
当a≤1时，①等价于1－a＋a≥3，无解.
当a>1时，①等价于a－1＋a≥3，解得a≥2.
所以实数a的取值范围是[2，＋∞).
考点三　证明不等式
【例3－1】 若a，b∈R，求证：≤＋.
证明　当|a＋b|＝0时，不等式显然成立.
当|a＋b|≠0时，
由0<|a＋b|≤|a|＋|b|⇒≥，
所以＝
≤＝
＝＋≤＋.
规律方法　(1)在不等式的证明中，“放”和“缩”是常用的推证技巧.常见的放缩变换有：
①变换分式的分子和分母，如<，>，<，>.上面不等式中k∈N ，k>1；
②利用函数的单调性；
③真分数性质“若00，则<”.
(2)在用放缩法证明不等式时，“放”和“缩”均需把握一个度.
【例3－2】 设a，b，c＞0，且ab＋bc＋ca＝1.
求证：(1)a＋b＋c≥；
(2)＋＋≥ (＋＋).
证明　(1)要证a＋b＋c≥ ，
由于a，b，c＞0，因此只需证明(a＋b＋c)2≥3.
即证：a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3，而ab＋bc＋ca＝1，
故需证明：a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3(ab＋bc＋ca).
即证：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
而这可以由ab＋bc＋ca≤＋＋＝a2＋b2＋c2(当且仅当a＝b＝c时等号成立)证得.
∴原不等式成立.
(2)＋＋＝.
由于(1)中已证a＋b＋c≥.
因此要证原不等式成立，只需证明≥ ＋＋.
即证a＋b＋c≤1，
即证a＋b＋c≤ab＋bc＋ca.
而a＝≤，
b≤，c≤.
∴a＋b＋c≤ab＋bc＋ca
.
∴原不等式成立.
规律方法　当所证明的不等式不能使用比较法，且和重要不等式、基本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆.
【训练2】 设n是正整数，求证：≤＋＋…＋<1.
证明　由2n≥n＋k>n(k＝1，2，…，n)，得
≤<.
当k＝1时，≤<；
当k＝2时，≤<；
…
当k＝n时，≤<，
∴＝≤＋＋…＋<＝1.
∴原不等式成立.
考点四　柯西不等式的应用
【例4】 (2017·苏、锡、常、镇二模)已知a，b，c为正数，且a＋b＋c＝3，求＋＋的最大值.
解　由柯西不等式可得
(＋＋)2≤[12＋12＋12][()2＋()2＋()2]＝3×12，
∴＋＋≤6，当且仅当＝＝时取等号.
∴＋＋的最大值是6.
规律方法　(1)使用柯西不等式证明的关键是恰当变形，化为符合它的结构形式，当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时，就可使用柯西不等式进行证明.
(2)利用柯西不等式求最值的一般结构为：(a＋a＋…＋a)≥(1＋1＋…＋1)2＝n2.在使用柯西不等式时，要注意右边为常数且应注意等号成立的条件.
【训练3】 已知大于1的正数x，y， 满足x＋y＋ ＝3.求证：＋＋≥.
证明　由柯西不等式及题意得，

·[(x＋2y＋3 )＋(y＋2 ＋3x)＋( ＋2x＋3y)]≥(x＋y＋ )2＝27.
又(x＋2y＋3 )＋(y＋2 ＋3x)＋( ＋2x＋3y)＝6(x＋y＋ )＝18，
∴＋＋≥＝，
当且仅当x＝y＝ ＝时，等号成立.

一、必做题
1.在实数范围内，求不等式 x－2|－1|≤1的解集.
解　由 x－2|－1|≤1得－1≤|x－2|－1≤1，
解得0≤x≤4.
∴不等式的解集为[0，4].
2.(2013·江苏卷)已知a≥b>0，求证：2a3－b3≥2ab2－a2b.
证明　2a3－b3－(2ab2－a2b)＝2a(a2－b2)＋b(a2－b2)
＝(a2－b2)(2a＋b)＝(a－b)(a＋b)(2a＋b).
因为a≥b>0，所以a－b≥0，a＋b>0，2a＋b>0，
从而(a－b)(a＋b)(2a＋b)≥0，即2a3－b3≥2ab2－a2b.
3.(2014·江苏卷)已知x>0，y>0，证明：(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥9xy.
证明　因为x>0，y>0，所以1＋x＋y2≥3>0，
1＋x2＋y≥3>0，故(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥3·3＝9xy.
4.(2018·徐州模拟)设a、b、c是正实数，且a＋b＋c＝9，求＋＋的最小值.
解　∵(a＋b＋c)
＝[()2＋()2＋()2]·
≥
＝18，当且仅当a＝b＝c＝3时取等号.
∴＋＋≥2.∴＋＋的最小值为2.
5.(一题多解)已知a，b，c均为正实数，且互不相等，且abc＝1，求证：＋＋＜＋＋.
证明　法一　∵a，b，c均为正实数，且互不相等，且abc＝1，
∴＋＋＝＋＋＜＋＋＝＋＋.
∴＋＋＜＋＋.
法二　∵＋≥2＝2；
＋≥2＝2；＋≥2＝2.
∴以上三式相加，得＋＋≥ ＋＋.
又∵a，b，c互不相等，∴＋＋＞＋＋.
法三　∵a，b，c是不等正数，且abc＝1，
∴＋＋＝bc＋ca＋ab＝＋＋＞＋＋＝＋＋.
∴＋＋＜＋＋.
6.设x，y， ∈R，且满足：x2＋y2＋ 2＝1，x＋2y＋3 ＝，求x＋y＋ .
解　由柯西不等式可得(x2＋y2＋ 2)(12＋22＋32)≥(x＋2y＋3 )2，即(x＋2y＋3 )2≤14，因此x＋2y＋3 ≤.因为x＋2y＋3 ＝，所以x＝＝，解得x＝，y＝， ＝，于是x＋y＋ ＝.
7.(2017·南通二模) 设x，y， 均为正实数，且xy ＝1，求证：＋＋≥xy＋y ＋ x.
证明　因为x，y， 均为正实数，且xy ＝1，
所以＋xy≥＝2y ，＋y ≥＝2x ，＋x ≥＝2xy，当且仅当x＝y＝1时取等号.
所以＋＋≥xy＋y ＋ x.
8.(2018·苏州模拟)已知a，b，c∈R，且2a＋2b＋c＝8，求(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2的最小值.
解　由柯西不等式得
(4＋4＋1)×[(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2]≥[2(a－1)＋2(b＋2)＋c－3]2，
∴9[(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2]≥(2a＋2b＋c－1)2.
∵2a＋2b＋c＝8，
∴(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2≥，
当且仅当＝＝c－3时等号成立，
∴(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2的最小值是.
二、选做题
9.已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)＝x＋3.
(1)当a＝－2时，求不等式f(x) (2)设a>－1，且当x∈时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围.
解　(1)当a＝－2时，不等式f(x) 设函数y＝|2x－1|＋|2x－2|－x－3，
则y＝
其图象如图所示，由图象可知，当且仅当x∈(0，2)时，y<0，∴原不等式的解集是{x|0
(2)∵a>－1，则－<，
∴f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|
＝
当x∈时，f(x)＝a＋1，
即a＋1≤x＋3在x∈上恒成立.
∴a＋1≤－＋3，即a≤，
∴a的取值范围为.
10.(1)关于x的不等式|x－3|＋|x－4| (2)设x，y， ∈R，且＋＋＝1，求x＋y＋ 的取值范围.
解　(1)∵|x－3|＋|x－4|≥|(x－3)－(x－4)|＝1，
且|x－3|＋|x－4| ∴a>1，即a的取值范围是(1，＋∞).
(2)由柯西不等式，得
[42＋()2＋22]·

＝(x＋y＋ )2，
即25×1≥(x＋y＋ )2.
∴5≥|x＋y＋ |，
∴－5≤x＋y＋ ≤5.
∴x＋y＋ 的取值范围是[－5，5].