还剩24页未读，
继续阅读
2019届二轮复习（理）专题25平面向量的数量积及平面向量的应用学案（全国通用）
展开
1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义．了解平面向量的数量积与向量投影的关系．
2.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．
3.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．
4.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．
1．平面向量的数量积
(1)定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a b|cos θ 叫作a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a b|cos θ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0.
(2)几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积．
2．平面向量数量积的性质及其坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角．
(1)数量积：a·b＝|a b|cos θ＝x1x2＋y1y2.
(2)模：|a|＝＝.
(3)夹角：cos θ＝＝.
(4)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.
(5)|a·b|≤|a b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤ ·.
3．平面向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a(交换律)．
(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．
4．向量在平面几何中的应用
向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题．
(1)证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线向量定理：a∥b(b≠0)⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0．
(2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质
a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0(a，b均为非零向量)．
(3)求夹角问题，利用夹角公式
cos θ＝＝(θ为a与b的夹角)．
5．向量在三角函数中的应用
与三角函数相结合考查向量的数量积的坐标运算及其应用是高考热点题型．解答此类问题，除了要熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、向量模、向量夹角的坐标运算公式外，还应掌握三角恒等变换的相关知识．
6．向量在解析几何中的应用
向量在解析几何中的应用，是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述．它主要强调向量的坐标问题，进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答，坐标的运算是考查的主体．
【必会结论】
1．设e是单位向量，且e与a的夹角为θ，则e·a＝a·e＝|a|cosθ；
2．当a与b同向时，a·b＝|a b|；当a与b反向时，a·b＝－|a b|，特别地，a·a＝a2或|a|＝；
3．a·b≤|a b|.
高频考点一 平面向量数量积的运算
例1、[2017·北京高考]已知点P在圆x2＋y2＝1上，点A的坐标为(－2,0)，O为原点，则·的最大值为 ．
答案 6
解析 解法一：根据题意作出图象，如图所示，A(－2,0)，P(x，y)．
由点P向x轴作垂线交x轴于点Q，则点Q的坐标为(x,0)．
·＝| |cosθ，
||＝2，||＝，
cosθ＝＝，
所以·＝2(x＋2)＝2x＋4.
点P在圆x2＋y2＝1上，所以x∈[－1,1]．
所以·的最大值为2＋4＝6.
【举一反三】(1)设四边形ABCD为平行四边形，||＝6，||＝4，若点M，N满足＝3，＝2，则·等于( )
A．20 B.15 C．9 D．6
(2)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则·的值为 ；·的最大值为 ．
答案 (1)C (2)1 1
解析 (1)＝＋，
＝－＝－＋，
∴·＝(4＋3)·(4－3)
＝(162－92)＝(16×62－9×42)＝9，
故选C.
(2)方法一 以射线AB，AD为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(1,0)，C(1,1)， D(0,1)，
方法二 由图知，无论E点在哪个位置，在方向上的投影都是CB＝1，∴·＝||·1＝1，
当E运动到B点时，在方向上的投影最大即为DC＝1，
∴(·)max＝||·1＝1.
【感悟提升】(1)求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．(2)解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时，可先利用向量的加、减运算或数量积的运算律化简再运算，但一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补．
【变式探究】(1)如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，＝3，·＝2，则·＝ .
(2)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则·＝ .
答案 (1)22 (2)2
解析 (1)由＝3，得＝＝，＝＋＝＋，＝－＝＋－＝－.因为·＝2，所以(＋)·(－)＝2，即2－·－2＝2.又因为2＝25，2＝64，所以·＝22.
(2)由题意知：·＝(＋)·(－)
＝(＋)·(－)
＝2－·－2＝4－0－2＝2.
高频考点二 用数量积求向量的模、夹角
例2、已知平面向量a，b，|a|＝1，|b|＝，且|2a＋b|＝，则向量a与向量a＋b的夹角为( )
A. B. C. D．π
答案 B
解析 由题意，得|2a＋b|2＝4＋4a·b＋3＝7，所以a·b＝0，所以a·(a＋b)＝1，且|a＋b|＝＝2，故cos〈a，a＋b〉＝＝，所以〈a，a＋b〉＝.故选B.
【举一反三】(1)已知向量a＝(1，m)，b＝(3，－2)，且(a＋b)⊥b，则m＝( )
A.－8 B.－6
C.6 D.8
(2)若向量a＝(k，3)，b＝(1，4)，c＝(2，1)，已知2a－3b与c的夹角为钝角，则k的取值范围是 .
答案 (1)D (2)∪
【方法规律】平面向量数量积求解问题的策略
(1)求两向量的夹角：cosθ＝，要注意θ∈[0，π]．
(2)两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|.
(3)求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有：
①a2＝a·a＝|a|2或|a|＝；
②|a±b|＝＝；
③若a＝(x，y)，则|a|＝.
【变式探究】 (1)已知向量＝，＝，则∠ABC＝( )
A.30° B.45°
C.60° D.120°
(2)设向量a＝(m，1)，b＝(1，2)，且|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，则m＝ .
答案 (1)A (2)－2
【感悟提升】(1)根据平面向量数量积的定义，可以求向量的模、夹角，解决垂直、夹角问题；两向量夹角θ为锐角的充要条件是cos θ＞0且两向量不共线；
(2)求向量模的最值(范围)的方法：①代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解；②几何法(数形结合法)，弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解．
【举一反三】(1)已知单位向量e1与e2的夹角为α，且cosα＝，向量a＝3e1－2e2与b＝3e1－e2的夹角为β，则cosβ＝ .
(2)在△ABC中，若A＝120°，·＝－1，则||的最小值是( )
A. B．2
C. D．6
答案 (1) (2)C
(2)∵·＝－1，
∴||·||·cos120°＝－1，
即||·||＝2，
∴||2＝|－|2＝2－2·＋2
≥2||·||－2·＝6，
∴||min＝.
高频考点三 平面向量与三角函数
例3、在平面直角坐标系xOy中，已知向量m＝，n＝(sinx，cosx)，x∈.
(1)若m⊥n，求tanx的值；
(2)若m与n的夹角为，求x的值．
解 (1)因为m＝，n＝(sinx，cosx)，m⊥n.
所以m·n＝0，即sinx－cosx＝0，
所以sinx＝cosx，所以tanx＝1.
(2)因为|m|＝|n|＝1，所以m·n＝cos＝，
即sinx－cosx＝，所以sin＝，
因为0
【感悟提升】平面向量与三角函数的综合问题的解题思路
(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立得到三角函数的关系式，然后求解．
(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等． ]
【变式探究】已知O为坐标原点，向量＝(3sinα，cosα)，＝(2sinα，5sinα－4cosα)，α∈，且⊥，则tanα的值为( )
A．－ B．－
C. D.
答案 A
高频考点四 向量在平面几何中的应用
例4、[2017·天津高考]在△ABC中，∠A＝60°，AB＝3，AC＝2.若＝2，＝λ－(λ∈R)，且·＝－4，则λ的值为 ．
解析 解法一：由＝2得＝＋，
所以·＝·(λ－)＝λ·－2＋λ2－·，
又·＝3×2×cos60°＝3，2＝9，2＝4，
所以·＝λ－3＋λ－2＝λ－5＝－4，
解得λ＝.
答案
【感悟提升】向量具有代数和几何的双重特征，比如向量运算的平行四边形法则、三角形法则、平面向量基本定理等都可以认为是从几何的角度来研究向量的特征；而引入坐标后，就可以通过代数运算来研究向量，凸显出了向量的代数特征，为用代数的方法研究向量问题奠定了基础.在处理很多与向量有关的问题时，坐标化是一种常见的思路，利用坐标可以使许多问题变得更加简捷.
【变式探究】(1)在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若·＝1，则AB＝ .
(2)平面四边形ABCD中，＋＝0，(－)·＝0，则四边形ABCD是( )
A．矩形 B．梯形
C．正方形 D．菱形
答案 (1) (2)D
解析 (1)在平行四边形ABCD中，取AB的中点F，则＝，∴＝＝－，
又∵＝＋，
∴·＝(＋)·(－)
＝2－·＋·－2
＝||2＋| |cos60°－||2
＝1＋×||－||2＝1.
∴||＝0，又||≠0，∴||＝.
(2)＋＝0⇒＝－＝⇒平面四边形ABCD是平行四边形，(－)·＝·＝0⇒⊥，所以平行四边形ABCD是菱形．学 .
高频考点五、 向量在解析几何中的应用
例5、(1)已知向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(10，k)，且A、B、C三点共线，当k<0时，若k为直线的斜率，则过点(2，－1)的直线方程为 ．
(2)设O为坐标原点，C为圆(x－2)2＋y2＝3的圆心，且圆上有一点M(x，y)满足·＝0，则＝ .
答案 (1)2x＋y－3＝0 (2)±
(2)∵·＝0，∴OM⊥CM，
∴OM是圆的切线，设OM的方程为y＝kx，
由＝，得k＝±，即＝±.
【感悟提升】向量在解析几何中的作用：(1)载体作用，向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题关键是利用向量的意义、运算，脱去“向量外衣”；(2)工具作用，利用a⊥b⇔a·b＝0；a∥b⇔a＝λb(b≠0)，可解决垂直、平行问题．
【变式探究】已知圆C：(x－2)2＋y2＝4，圆M：(x－2－5cosθ)2＋(y－5sinθ)2＝1(θ∈R)，过圆M上任意一点P作圆C的两条切线PE，PF，切点分别为E，F，则·的最小值是( )
A．5 B．6
C．10 D．12
答案 B
·＝||·||cos∠EHF＝2×2×＝6，故选B.
高频考点六 向量的综合应用
例6、(1)已知x，y满足若＝(x,1)，＝(2，y)，且·的最大值是最小值的8倍，则实数a的值是( )
A．1 B.
C. D.
(2)函数y＝sin(ωx＋φ)在一个周期内的图象如图所示，M、N分别是最高点、最低点，O为坐标原点，且·＝0，则函数f(x)的最小正周期是 ．
答案 (1)D (2)3
(2)由图象可知，M，N，所以·＝·(xN，－1)＝xN－1＝0，解得xN＝2，所以函数f(x)的最小正周期是2×＝3.
【感悟提升】利用向量的载体作用，可以将向量与三角函数、不等式结合起来，解题时通过定义或坐标运算进行转化，使问题的条件结论明晰化．
【变式探究】在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足||＝||＝·＝2，则点集{P|＝λ＋μ，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的区域面积是( )
A．2 B．2
C．4 D．4
答案 D
解析 由||＝||＝·＝2，
知〈，〉＝.
当λ≥0，μ≥0，λ＋μ＝1时，
在△OAB中，取＝λ，过点C作CD∥OB交AB于点D，作DE∥OA交OB于点E，显然＝λ＋.由于＝，＝，∴＝(1－λ)，
∴＝λ＋(1－λ)＝λ＋μ＝，
∴λ＋μ＝1时，点P在线段AB上，
∴λ≥0，μ≥0，λ＋μ≤1时，点P必在△OAB内(包括边界)．
考虑|λ|＋|μ|≤1的其他情形，点P构成的集合恰好是以AB为一边，以OA，OB为对角线一半的矩形，
其面积为S＝4S△OAB＝4××2×2sin＝4.
高频考点七 向量运算的最值或取值范围
例7、平行四边形ABCD中，AB＝4，AD＝2，·＝4，点P在边CD上，则·的取值范围是( )
A．[－1,8] B．[－1，＋∞)
C．[0,8] D．[－1,0]
答案 A
【方法技巧】求向量的最值或范围问题
求最值或取值范围必须有函数或不等式，因此，对于题目中给出的条件，要结合要求的夹角或长度或其他量，得出相应的不等式或函数(包括自变量的范围)，然后利用相关知识求出最值或取值范围．
【变式探究】 在平行四边形ABCD中，∠A＝，边AB，AD的长分别为2,1，若M，N分别是边BC，CD上的点，且满足＝，则·的取值范围是 ．
答案 [2,5]
解析 设＝＝λ(0≤λ≤1)，
即·的取值范围是[2,5]．
1. （2018年浙江卷）已知a，b，e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为，向量b满足b2−4e·b+3=0，则|a−b|的最小值是
A. −1 B. +1 C. 2 D. 2−
【答案】A
【解析】设，则由得，
由得
因此的最小值为圆心到直线的距离减去半径1，为选A.
2. （2018年天津卷）如图，在平面四边形ABCD中，，，，. 若点E为边CD上的动点，则的最小值为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，，
由数量积的坐标运算法则可得：
，
整理可得：， ]
结合二次函数的性质可知，当时，取得最小值.
本题选择A选项.
3. （2018年全国I卷理数）设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（–2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则=
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
【答案】D
4. （2018年全国Ⅲ卷理数）已知向量，，．若，则 ．
【答案】
【解析】由题可得
,即
故答案为
1．[2017·全国卷Ⅰ]已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2, |b|＝1，则|a＋2b|＝ .
答案 2
解析 解法一：|a＋2b|＝
＝
＝
＝＝2.
解法二：(数形结合法)由|a|＝|2b|＝2，知以a与2b为邻边可作出边长为2的菱形OACB，如图，则|a＋2b|＝||.又∠AOB＝60°，所以|a＋2b|＝2.
2.[2017·北京高考]已知点P在圆x2＋y2＝1上，点A的坐标为(－2,0)，O为原点，则·的最大值为 ．
答案 6
解析 解法一：根据题意作出图象，如图所示，A(－2,0)，P(x，y)．
解法二：如图所示，因为点P在圆x2＋y2＝1上， . ]
所以可设P(cosα，sinα)(0≤α＜2π)，
所以＝(2,0)，＝(cosα＋2，sinα)，
·＝2cosα＋4≤2＋4＝6，
当且仅当cosα＝1，即α＝0，P(1,0)时“＝”号成立．
3.[2017·全国卷Ⅰ]已知向量a＝(－1,2)，b＝(m,1)．若向量a＋b与a垂直，则m＝ .
答案 7
解析 ∵a＝(－1,2)，b＝(m,1)，
∴a＋b＝(－1＋m,2＋1)＝(m－1,3)．
又a＋b 与a垂直，∴(a＋b)·a＝0，
即(m－1)×(－1)＋3×2＝0， 学 ]
解得m＝7.
4.[2017·山东高考]已知e1，e2是互相垂直的单位向量．若e1－e2与e1＋λe2的夹角为60°，则实数λ的值是 ．
答案
解得λ＝.
5.[2017·天津高考]在△ABC中，∠A＝60°，AB＝3，AC＝2.若＝2，＝λ－(λ∈R)，且·＝－4，则λ的值为 ．
解析 解法一：由＝2得＝＋，
所以·＝·(λ－)＝λ·－2＋λ2－·，
又·＝3×2×cos60°＝3，2＝9，2＝4，
所以·＝λ－3＋λ－2＝λ－5＝－4，
解得λ＝.
答案
1.【2016高考江苏卷】如图，在中，是的中点，是上的两个三等分点，， ，则 的值是 ▲ .
【答案】
【解析】因为，
，
因此，
【2015高考山东，理4】已知菱形的边长为 ， ,则（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】D
【解析】因为
故选D.
【2015高考陕西，理7】对任意向量，下列关系式中不恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【2015高考四川，理7】设四边形ABCD为平行四边形，，.若点M，N满足，，则（ ）
（A）20 （B）15 （C）9 （D）6
【答案】C
【解析】
，所以
，选C.
【2015高考安徽，理8】是边长为的等边三角形，已知向量，满足，，则下列结论正确的是（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】D
【解析】如图，
【2015高考福建，理9】已知 ，若 点是 所在平面内一点，且 ，则 的最大值等于（ ）
A．13 B． 15 C．19 D．21
【答案】A
【解析】以为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，
则，，，即，
所以，，因此，
因为，所以 的最大值等于，当，即时取等号．
【2015高考天津，理14】在等腰梯形 中,已知 ,动点 和 分别在线段 和 上,且, 则的最小值为 .
【答案】
【解析】因为，
，
，，
当且仅当即时的最小值为.
1．（2014·北京卷）已知向量a，b满足|a|＝1，b＝(2，1)，且λa＋b＝0(λ∈R)，则|λ|＝ ．
【答案】
2．（2014·湖北卷）设向量a＝(3，3)，b＝(1，－1)．若(a＋λb)⊥(a－λb)，则实数λ＝ ．
【答案】±3
【解析】因为a＋λb＝(3＋λ，3－λ)，a－λb＝(3－λ，3＋λ)，又(a＋λb)⊥(a－λb)，所以(a＋λb)·(a－λb)＝(3＋λ)(3－λ)＋(3－λ)(3＋λ)＝0，解得λ＝±3.
3．（2014·江西卷）已知单位向量e1与e2的夹角为α，且cos α＝，向量a＝3e1－2e2与b＝3e1－e2的夹角为β，则cos β＝ ．
【答案】
4．（2014·全国卷）若向量a，b满足：＝1，(a＋b)⊥a，(＋b)⊥b，则|＝( )
A．2 B.
C．1 D.
【答案】B
【解析】因为(a＋b)⊥a，所以(a＋b)＝0，即2＋＝因为(＋b)⊥b，所以(＋b)＝0，即b＋2＝0，与2＋＝0联立，可得－2＝0，所以＝＝.
5．（2014·新课标全国卷Ⅱ] 设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则＝( )
A．1 B．2 C．3 D．5
【答案】A
【解析】由已知得|a＋b|2＝10，|a－b|2＝6，两式相减，得4a·b＝4，所以a·b＝1.
6．（2014·山东卷）在△ABC中，已知·＝tan A，当A＝时，△ABC的面积为 ．
【答案】
【解析】因为AB·AC＝||·||cos A＝tan A，且A＝，所以||·||＝，所以△ABC的面积S＝||·||sin A＝××sin ＝ .
7．（2014·天津卷）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC，DC上，BE＝λBC，DF＝μDC.若·＝1，·＝－，则λ＋μ＝( )
A. B. C. D.
【答案】C
8．(2013年高考湖北卷)已知点A(－1,1)、B(1,2)、C(－2，－1)、D(3,4)，则向量在方向上的投影为( )
A. B.
C．－ D．－
解析：＝(2,1)，＝(5,5)，向量＝(2,1)在＝(5,5)上的投影为||cos〈，〉＝||＝＝＝，故选A.
答案：A
9．(2013年高考湖南卷)已知a，b是单位向量，a·b＝0.若向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的取值范围是( )
A．[－1，＋1] B.
C．[1，＋1] D．[1，＋2]
解析：由a，b为单位向量且a·b＝0，可设a＝(1,0)，b＝(0,1)，又设c＝(x，y)，代入|c－a－b|＝1得(x－1)2＋(y－1)2＝1，又|c|＝ ，故由几何性质得－1≤|c|≤ ＋1，即－1≤|c|≤ ＋1.
答案：A
10．(2013年高考辽宁卷)设向量a＝(sin x，sin x)，b＝(cos x，sin x)，x∈.
(1)若|a|＝|b|，求 x的值；
(2)设函数f(x)＝a·b，求f(x)的最大值．
(2)f(x)＝a·b＝sin x·cos x＋sin2x
＝sin 2x－cos 2x＋＝sin＋，
当x＝∈[0，]时，sin取最大值1.
所以f(x)的最大值为.
11．(2013年高考陕西卷)已知向量a＝，b＝ (sin x，cos 2x)，x∈R，设函数f(x)＝a·b.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在上的最大值和最小值．
解析：f(x)＝·(sin x，cos 2x)
＝cos xsin x－cos 2x
＝sin 2x－cos 2x
＝cossin 2x－sincos 2x
＝sin.
(1)f(x)的最小正周期为T＝＝＝π，
即函数f(x)的最小正周期为π.
1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义．了解平面向量的数量积与向量投影的关系．
2.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．
3.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．
4.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．
1．平面向量的数量积
(1)定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a b|cos θ 叫作a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a b|cos θ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0.
(2)几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积．
2．平面向量数量积的性质及其坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角．
(1)数量积：a·b＝|a b|cos θ＝x1x2＋y1y2.
(2)模：|a|＝＝.
(3)夹角：cos θ＝＝.
(4)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.
(5)|a·b|≤|a b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤ ·.
3．平面向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a(交换律)．
(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．
4．向量在平面几何中的应用
向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题．
(1)证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线向量定理：a∥b(b≠0)⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0．
(2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质
a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0(a，b均为非零向量)．
(3)求夹角问题，利用夹角公式
cos θ＝＝(θ为a与b的夹角)．
5．向量在三角函数中的应用
与三角函数相结合考查向量的数量积的坐标运算及其应用是高考热点题型．解答此类问题，除了要熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、向量模、向量夹角的坐标运算公式外，还应掌握三角恒等变换的相关知识．
6．向量在解析几何中的应用
向量在解析几何中的应用，是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述．它主要强调向量的坐标问题，进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答，坐标的运算是考查的主体．
【必会结论】
1．设e是单位向量，且e与a的夹角为θ，则e·a＝a·e＝|a|cosθ；
2．当a与b同向时，a·b＝|a b|；当a与b反向时，a·b＝－|a b|，特别地，a·a＝a2或|a|＝；
3．a·b≤|a b|.
高频考点一 平面向量数量积的运算
例1、[2017·北京高考]已知点P在圆x2＋y2＝1上，点A的坐标为(－2,0)，O为原点，则·的最大值为 ．
答案 6
解析 解法一：根据题意作出图象，如图所示，A(－2,0)，P(x，y)．
由点P向x轴作垂线交x轴于点Q，则点Q的坐标为(x,0)．
·＝| |cosθ，
||＝2，||＝，
cosθ＝＝，
所以·＝2(x＋2)＝2x＋4.
点P在圆x2＋y2＝1上，所以x∈[－1,1]．
所以·的最大值为2＋4＝6.
【举一反三】(1)设四边形ABCD为平行四边形，||＝6，||＝4，若点M，N满足＝3，＝2，则·等于( )
A．20 B.15 C．9 D．6
(2)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则·的值为 ；·的最大值为 ．
答案 (1)C (2)1 1
解析 (1)＝＋，
＝－＝－＋，
∴·＝(4＋3)·(4－3)
＝(162－92)＝(16×62－9×42)＝9，
故选C.
(2)方法一 以射线AB，AD为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(1,0)，C(1,1)， D(0,1)，
方法二 由图知，无论E点在哪个位置，在方向上的投影都是CB＝1，∴·＝||·1＝1，
当E运动到B点时，在方向上的投影最大即为DC＝1，
∴(·)max＝||·1＝1.
【感悟提升】(1)求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．(2)解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时，可先利用向量的加、减运算或数量积的运算律化简再运算，但一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补．
【变式探究】(1)如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，＝3，·＝2，则·＝ .
(2)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则·＝ .
答案 (1)22 (2)2
解析 (1)由＝3，得＝＝，＝＋＝＋，＝－＝＋－＝－.因为·＝2，所以(＋)·(－)＝2，即2－·－2＝2.又因为2＝25，2＝64，所以·＝22.
(2)由题意知：·＝(＋)·(－)
＝(＋)·(－)
＝2－·－2＝4－0－2＝2.
高频考点二 用数量积求向量的模、夹角
例2、已知平面向量a，b，|a|＝1，|b|＝，且|2a＋b|＝，则向量a与向量a＋b的夹角为( )
A. B. C. D．π
答案 B
解析 由题意，得|2a＋b|2＝4＋4a·b＋3＝7，所以a·b＝0，所以a·(a＋b)＝1，且|a＋b|＝＝2，故cos〈a，a＋b〉＝＝，所以〈a，a＋b〉＝.故选B.
【举一反三】(1)已知向量a＝(1，m)，b＝(3，－2)，且(a＋b)⊥b，则m＝( )
A.－8 B.－6
C.6 D.8
(2)若向量a＝(k，3)，b＝(1，4)，c＝(2，1)，已知2a－3b与c的夹角为钝角，则k的取值范围是 .
答案 (1)D (2)∪
【方法规律】平面向量数量积求解问题的策略
(1)求两向量的夹角：cosθ＝，要注意θ∈[0，π]．
(2)两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|.
(3)求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有：
①a2＝a·a＝|a|2或|a|＝；
②|a±b|＝＝；
③若a＝(x，y)，则|a|＝.
【变式探究】 (1)已知向量＝，＝，则∠ABC＝( )
A.30° B.45°
C.60° D.120°
(2)设向量a＝(m，1)，b＝(1，2)，且|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，则m＝ .
答案 (1)A (2)－2
【感悟提升】(1)根据平面向量数量积的定义，可以求向量的模、夹角，解决垂直、夹角问题；两向量夹角θ为锐角的充要条件是cos θ＞0且两向量不共线；
(2)求向量模的最值(范围)的方法：①代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解；②几何法(数形结合法)，弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解．
【举一反三】(1)已知单位向量e1与e2的夹角为α，且cosα＝，向量a＝3e1－2e2与b＝3e1－e2的夹角为β，则cosβ＝ .
(2)在△ABC中，若A＝120°，·＝－1，则||的最小值是( )
A. B．2
C. D．6
答案 (1) (2)C
(2)∵·＝－1，
∴||·||·cos120°＝－1，
即||·||＝2，
∴||2＝|－|2＝2－2·＋2
≥2||·||－2·＝6，
∴||min＝.
高频考点三 平面向量与三角函数
例3、在平面直角坐标系xOy中，已知向量m＝，n＝(sinx，cosx)，x∈.
(1)若m⊥n，求tanx的值；
(2)若m与n的夹角为，求x的值．
解 (1)因为m＝，n＝(sinx，cosx)，m⊥n.
所以m·n＝0，即sinx－cosx＝0，
所以sinx＝cosx，所以tanx＝1.
(2)因为|m|＝|n|＝1，所以m·n＝cos＝，
即sinx－cosx＝，所以sin＝，
因为0
【感悟提升】平面向量与三角函数的综合问题的解题思路
(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立得到三角函数的关系式，然后求解．
(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等． ]
【变式探究】已知O为坐标原点，向量＝(3sinα，cosα)，＝(2sinα，5sinα－4cosα)，α∈，且⊥，则tanα的值为( )
A．－ B．－
C. D.
答案 A
高频考点四 向量在平面几何中的应用
例4、[2017·天津高考]在△ABC中，∠A＝60°，AB＝3，AC＝2.若＝2，＝λ－(λ∈R)，且·＝－4，则λ的值为 ．
解析 解法一：由＝2得＝＋，
所以·＝·(λ－)＝λ·－2＋λ2－·，
又·＝3×2×cos60°＝3，2＝9，2＝4，
所以·＝λ－3＋λ－2＝λ－5＝－4，
解得λ＝.
答案
【感悟提升】向量具有代数和几何的双重特征，比如向量运算的平行四边形法则、三角形法则、平面向量基本定理等都可以认为是从几何的角度来研究向量的特征；而引入坐标后，就可以通过代数运算来研究向量，凸显出了向量的代数特征，为用代数的方法研究向量问题奠定了基础.在处理很多与向量有关的问题时，坐标化是一种常见的思路，利用坐标可以使许多问题变得更加简捷.
【变式探究】(1)在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若·＝1，则AB＝ .
(2)平面四边形ABCD中，＋＝0，(－)·＝0，则四边形ABCD是( )
A．矩形 B．梯形
C．正方形 D．菱形
答案 (1) (2)D
解析 (1)在平行四边形ABCD中，取AB的中点F，则＝，∴＝＝－，
又∵＝＋，
∴·＝(＋)·(－)
＝2－·＋·－2
＝||2＋| |cos60°－||2
＝1＋×||－||2＝1.
∴||＝0，又||≠0，∴||＝.
(2)＋＝0⇒＝－＝⇒平面四边形ABCD是平行四边形，(－)·＝·＝0⇒⊥，所以平行四边形ABCD是菱形．学 .
高频考点五、 向量在解析几何中的应用
例5、(1)已知向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(10，k)，且A、B、C三点共线，当k<0时，若k为直线的斜率，则过点(2，－1)的直线方程为 ．
(2)设O为坐标原点，C为圆(x－2)2＋y2＝3的圆心，且圆上有一点M(x，y)满足·＝0，则＝ .
答案 (1)2x＋y－3＝0 (2)±
(2)∵·＝0，∴OM⊥CM，
∴OM是圆的切线，设OM的方程为y＝kx，
由＝，得k＝±，即＝±.
【感悟提升】向量在解析几何中的作用：(1)载体作用，向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题关键是利用向量的意义、运算，脱去“向量外衣”；(2)工具作用，利用a⊥b⇔a·b＝0；a∥b⇔a＝λb(b≠0)，可解决垂直、平行问题．
【变式探究】已知圆C：(x－2)2＋y2＝4，圆M：(x－2－5cosθ)2＋(y－5sinθ)2＝1(θ∈R)，过圆M上任意一点P作圆C的两条切线PE，PF，切点分别为E，F，则·的最小值是( )
A．5 B．6
C．10 D．12
答案 B
·＝||·||cos∠EHF＝2×2×＝6，故选B.
高频考点六 向量的综合应用
例6、(1)已知x，y满足若＝(x,1)，＝(2，y)，且·的最大值是最小值的8倍，则实数a的值是( )
A．1 B.
C. D.
(2)函数y＝sin(ωx＋φ)在一个周期内的图象如图所示，M、N分别是最高点、最低点，O为坐标原点，且·＝0，则函数f(x)的最小正周期是 ．
答案 (1)D (2)3
(2)由图象可知，M，N，所以·＝·(xN，－1)＝xN－1＝0，解得xN＝2，所以函数f(x)的最小正周期是2×＝3.
【感悟提升】利用向量的载体作用，可以将向量与三角函数、不等式结合起来，解题时通过定义或坐标运算进行转化，使问题的条件结论明晰化．
【变式探究】在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足||＝||＝·＝2，则点集{P|＝λ＋μ，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的区域面积是( )
A．2 B．2
C．4 D．4
答案 D
解析 由||＝||＝·＝2，
知〈，〉＝.
当λ≥0，μ≥0，λ＋μ＝1时，
在△OAB中，取＝λ，过点C作CD∥OB交AB于点D，作DE∥OA交OB于点E，显然＝λ＋.由于＝，＝，∴＝(1－λ)，
∴＝λ＋(1－λ)＝λ＋μ＝，
∴λ＋μ＝1时，点P在线段AB上，
∴λ≥0，μ≥0，λ＋μ≤1时，点P必在△OAB内(包括边界)．
考虑|λ|＋|μ|≤1的其他情形，点P构成的集合恰好是以AB为一边，以OA，OB为对角线一半的矩形，
其面积为S＝4S△OAB＝4××2×2sin＝4.
高频考点七 向量运算的最值或取值范围
例7、平行四边形ABCD中，AB＝4，AD＝2，·＝4，点P在边CD上，则·的取值范围是( )
A．[－1,8] B．[－1，＋∞)
C．[0,8] D．[－1,0]
答案 A
【方法技巧】求向量的最值或范围问题
求最值或取值范围必须有函数或不等式，因此，对于题目中给出的条件，要结合要求的夹角或长度或其他量，得出相应的不等式或函数(包括自变量的范围)，然后利用相关知识求出最值或取值范围．
【变式探究】 在平行四边形ABCD中，∠A＝，边AB，AD的长分别为2,1，若M，N分别是边BC，CD上的点，且满足＝，则·的取值范围是 ．
答案 [2,5]
解析 设＝＝λ(0≤λ≤1)，
即·的取值范围是[2,5]．
1. （2018年浙江卷）已知a，b，e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为，向量b满足b2−4e·b+3=0，则|a−b|的最小值是
A. −1 B. +1 C. 2 D. 2−
【答案】A
【解析】设，则由得，
由得
因此的最小值为圆心到直线的距离减去半径1，为选A.
2. （2018年天津卷）如图，在平面四边形ABCD中，，，，. 若点E为边CD上的动点，则的最小值为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，，
由数量积的坐标运算法则可得：
，
整理可得：， ]
结合二次函数的性质可知，当时，取得最小值.
本题选择A选项.
3. （2018年全国I卷理数）设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（–2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则=
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
【答案】D
4. （2018年全国Ⅲ卷理数）已知向量，，．若，则 ．
【答案】
【解析】由题可得
,即
故答案为
1．[2017·全国卷Ⅰ]已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2, |b|＝1，则|a＋2b|＝ .
答案 2
解析 解法一：|a＋2b|＝
＝
＝
＝＝2.
解法二：(数形结合法)由|a|＝|2b|＝2，知以a与2b为邻边可作出边长为2的菱形OACB，如图，则|a＋2b|＝||.又∠AOB＝60°，所以|a＋2b|＝2.
2.[2017·北京高考]已知点P在圆x2＋y2＝1上，点A的坐标为(－2,0)，O为原点，则·的最大值为 ．
答案 6
解析 解法一：根据题意作出图象，如图所示，A(－2,0)，P(x，y)．
解法二：如图所示，因为点P在圆x2＋y2＝1上， . ]
所以可设P(cosα，sinα)(0≤α＜2π)，
所以＝(2,0)，＝(cosα＋2，sinα)，
·＝2cosα＋4≤2＋4＝6，
当且仅当cosα＝1，即α＝0，P(1,0)时“＝”号成立．
3.[2017·全国卷Ⅰ]已知向量a＝(－1,2)，b＝(m,1)．若向量a＋b与a垂直，则m＝ .
答案 7
解析 ∵a＝(－1,2)，b＝(m,1)，
∴a＋b＝(－1＋m,2＋1)＝(m－1,3)．
又a＋b 与a垂直，∴(a＋b)·a＝0，
即(m－1)×(－1)＋3×2＝0， 学 ]
解得m＝7.
4.[2017·山东高考]已知e1，e2是互相垂直的单位向量．若e1－e2与e1＋λe2的夹角为60°，则实数λ的值是 ．
答案
解得λ＝.
5.[2017·天津高考]在△ABC中，∠A＝60°，AB＝3，AC＝2.若＝2，＝λ－(λ∈R)，且·＝－4，则λ的值为 ．
解析 解法一：由＝2得＝＋，
所以·＝·(λ－)＝λ·－2＋λ2－·，
又·＝3×2×cos60°＝3，2＝9，2＝4，
所以·＝λ－3＋λ－2＝λ－5＝－4，
解得λ＝.
答案
1.【2016高考江苏卷】如图，在中，是的中点，是上的两个三等分点，， ，则 的值是 ▲ .
【答案】
【解析】因为，
，
因此，
【2015高考山东，理4】已知菱形的边长为 ， ,则（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】D
【解析】因为
故选D.
【2015高考陕西，理7】对任意向量，下列关系式中不恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【2015高考四川，理7】设四边形ABCD为平行四边形，，.若点M，N满足，，则（ ）
（A）20 （B）15 （C）9 （D）6
【答案】C
【解析】
，所以
，选C.
【2015高考安徽，理8】是边长为的等边三角形，已知向量，满足，，则下列结论正确的是（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】D
【解析】如图，
【2015高考福建，理9】已知 ，若 点是 所在平面内一点，且 ，则 的最大值等于（ ）
A．13 B． 15 C．19 D．21
【答案】A
【解析】以为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，
则，，，即，
所以，，因此，
因为，所以 的最大值等于，当，即时取等号．
【2015高考天津，理14】在等腰梯形 中,已知 ,动点 和 分别在线段 和 上,且, 则的最小值为 .
【答案】
【解析】因为，
，
，，
当且仅当即时的最小值为.
1．（2014·北京卷）已知向量a，b满足|a|＝1，b＝(2，1)，且λa＋b＝0(λ∈R)，则|λ|＝ ．
【答案】
2．（2014·湖北卷）设向量a＝(3，3)，b＝(1，－1)．若(a＋λb)⊥(a－λb)，则实数λ＝ ．
【答案】±3
【解析】因为a＋λb＝(3＋λ，3－λ)，a－λb＝(3－λ，3＋λ)，又(a＋λb)⊥(a－λb)，所以(a＋λb)·(a－λb)＝(3＋λ)(3－λ)＋(3－λ)(3＋λ)＝0，解得λ＝±3.
3．（2014·江西卷）已知单位向量e1与e2的夹角为α，且cos α＝，向量a＝3e1－2e2与b＝3e1－e2的夹角为β，则cos β＝ ．
【答案】
4．（2014·全国卷）若向量a，b满足：＝1，(a＋b)⊥a，(＋b)⊥b，则|＝( )
A．2 B.
C．1 D.
【答案】B
【解析】因为(a＋b)⊥a，所以(a＋b)＝0，即2＋＝因为(＋b)⊥b，所以(＋b)＝0，即b＋2＝0，与2＋＝0联立，可得－2＝0，所以＝＝.
5．（2014·新课标全国卷Ⅱ] 设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则＝( )
A．1 B．2 C．3 D．5
【答案】A
【解析】由已知得|a＋b|2＝10，|a－b|2＝6，两式相减，得4a·b＝4，所以a·b＝1.
6．（2014·山东卷）在△ABC中，已知·＝tan A，当A＝时，△ABC的面积为 ．
【答案】
【解析】因为AB·AC＝||·||cos A＝tan A，且A＝，所以||·||＝，所以△ABC的面积S＝||·||sin A＝××sin ＝ .
7．（2014·天津卷）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC，DC上，BE＝λBC，DF＝μDC.若·＝1，·＝－，则λ＋μ＝( )
A. B. C. D.
【答案】C
8．(2013年高考湖北卷)已知点A(－1,1)、B(1,2)、C(－2，－1)、D(3,4)，则向量在方向上的投影为( )
A. B.
C．－ D．－
解析：＝(2,1)，＝(5,5)，向量＝(2,1)在＝(5,5)上的投影为||cos〈，〉＝||＝＝＝，故选A.
答案：A
9．(2013年高考湖南卷)已知a，b是单位向量，a·b＝0.若向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的取值范围是( )
A．[－1，＋1] B.
C．[1，＋1] D．[1，＋2]
解析：由a，b为单位向量且a·b＝0，可设a＝(1,0)，b＝(0,1)，又设c＝(x，y)，代入|c－a－b|＝1得(x－1)2＋(y－1)2＝1，又|c|＝ ，故由几何性质得－1≤|c|≤ ＋1，即－1≤|c|≤ ＋1.
答案：A
10．(2013年高考辽宁卷)设向量a＝(sin x，sin x)，b＝(cos x，sin x)，x∈.
(1)若|a|＝|b|，求 x的值；
(2)设函数f(x)＝a·b，求f(x)的最大值．
(2)f(x)＝a·b＝sin x·cos x＋sin2x
＝sin 2x－cos 2x＋＝sin＋，
当x＝∈[0，]时，sin取最大值1.
所以f(x)的最大值为.
11．(2013年高考陕西卷)已知向量a＝，b＝ (sin x，cos 2x)，x∈R，设函数f(x)＝a·b.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在上的最大值和最小值．
解析：f(x)＝·(sin x，cos 2x)
＝cos xsin x－cos 2x
＝sin 2x－cos 2x
＝cossin 2x－sincos 2x
＝sin.
(1)f(x)的最小正周期为T＝＝＝π，
即函数f(x)的最小正周期为π.
相关资料
更多
