2019届二轮复习平面向量平面向量的应用学案（全国通用）
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34 平面向量 平面向量的应用
【考点讲解】
一、具本目标：
一）向量的应用
1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.
2.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.
二）考点解读与备考:
1.近几年常以考查向量的共线、数量积、夹角、模为主，基本稳定为选择题或填空题，难度较低；
2.常与平面几何、三角函数、解析几何等相结合，以工具的形式进行考查，常用向量的知识入手.力学方面应用的考查较少.
3.备考重点：
(1) 理解有关概念是基础，掌握线性运算、坐标运算的方法是关键；
(2)解答与平面几何、三角函数、解析几何等交汇问题时，应注意运用数形结合的数学思想，将共线、垂直等问题，通过建立平面直角坐标系，利用坐标运算解题.
4.难点：向量与函数、三角函数、解析几何的综合问题.以向量形式为条件，综合考查了函数、三角、数列、曲线等问题.要充分应用向量的公式及相关性质，会用向量的几何意义解决问题，有时运用向量的坐标运算更能方便运算.
二、知识概述：
常见的向量法解决简单的平面几何问题：
1.垂直问题:
(1)对非零向量与, .
(2)若非零向量 .
2.平行问题:
(1)向量与非零向量共线,当且仅当存在唯一一个实数,使得 .
(2)设是平面向量,则向量与非零向量共线 .
3.求角问题:
(1)设是两个非零向量,夹角记为,则 .
(2)若是平面向量,则 .
4.距离（长度）问题:
(1)设,则 ,即 .
(2)若,且,则 .
【答案】1.
2.(1),(2)
3.(1),(2).
4.(1)(2).
【优秀题型展示】
- 在平面几何中的应用：
已知中，,边上的高为，求点和向量的坐标.
解得 ∴点D坐标为（1，1），＝（－1，2）.
【答案】＝（－1，2）
【变式】已知四边形的三个顶点，，，且，则顶点的坐标为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【变式】已知正方形的边长为，点分别为的中点，求的值.
【解析】以为坐标轴建立直角坐标系,如图所示.
由已知条件,可得
2.在三角函数中的应用：
已知向量，．设函数，已知在中，内角的对边分别为，若，，，求（）的取值范围.
因为+.
所以,
，,
所以 .
【答案】
3.在解析几何中的应用：
（1）已知直线x＋y＝a与圆x2＋y2＝4交于A、B两点，且|＋|＝|－|，其中O为坐标原点，则实数a的值为 ．
【解析】如图所示，以OA、OB为边作平行四边形OACB，
则由|＋|＝|－|得，
平行四边形OACB是矩形，⊥. 学
由图象得，直线y＝－x＋a在y轴上的截距为±2.
【答案】±2
（2)椭圆的焦点为FF，点P为其上的动点，当∠FP F为钝角时，点P横坐标的取值范围是 .
【答案】（）
法二：F1（－,0）F2（,0）,设P（x,y）.
为钝角，
∴
=.
解得：.
∴点P横坐标的取值范围是（）.
【答案】（）
【真题分析】
1.【2017浙江，15】已知向量满足则的最小值是 ，最大值是 ．
设，则，
那么有，因为，所以，可以得到的最小值是4，最大值是.
【答案】4，
2. 【2015高考安徽，文15】是边长为2的等边三角形，已知向量满足，，则下列结论中正确的是 .（写出所有正确结论得序号）
①为单位向量；②为单位向量；③；④；⑤。
【解析】本题主要考查平面向量的基本概念和基本性质的应用.
∵等边三角形ABC的边长为2,∴＝2＝2,故①正确；
∵ ∴，故②错误，④正确；由于夹角为，故③错误；又∵
∴，故⑤正确 因此，正确的编号是①④⑤
【答案】①④⑤
3.【2014上海,文14】已知曲线C：，直线l：x=6.若对于点A（m，0）,存在C上的点P和l上的点Q使得，则m的取值范围为 .
【解析】本题考点是向量线性运算与解析几何中点与直线的位置关系的应用.由知是的中点，设，则，由题意，，解得．
【答案】
4.【 2014湖南16】在平面直角坐标系中,为原点,动点满足=1，则的最大值是 .
【答案】
5.【2014，安徽文10】设为非零向量，，两组向量和均由2个和2个排列而成，若所有可能取值中的最小值为，则与的夹角为
（ ）
A． B． C． D．0
【解析】本题的考点是向量的数量积运算与分类讨论思想的应用．
由题意有以下三种可能：①
；②
；③
，已知第②种情况原式的值最小，即，解得，即，故选B．学
【答案】B．
6.【2017江苏，12】如图,在同一个平面内，向量,,的模分别为1,1, ,与的夹角为,且tan=7,与的夹角为45°.若, 则 .
【答案】3
7.【2017广东佛山二模】直角中， 为斜边边的高，若， ，则（ ）
A. B. C. D.
【解析】依题意，由射影定理得，其中，所以有.
【答案】A
8.【2016四川文】已知正三角形ABC的边长为，平面ABC内的动点P，M满足，，则的最大值是( )
A. B. C. D.
学 ]
，它表示圆上点与点距离平方的，，故选B.【答案】B
【模拟考场】
1.等差数列的前项和，且，则过点和的直线的一个方向向量是（ ）
A． B． C． D．
【解析】本题考点是等差数列的性质，解几中的直线方向量的综合运用.
由题意可以设等差数列的公差为，则有，解得
过点和点即和的直线的方程为，此时直线的一个方向向量为，由选项中可得，所以选D.
【答案】D
2.在中，若,则是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
【答案】A
3.已知数列为等差数列，且满足，若，点为直线外一点，则（ ）
A. B. C. D.
【解析】∵， ∴，
即， 又∵，
∴， ∴.
【答案】A ]
4.设O是△ABC的外心(三角形外接圆的圆心)．若＝＋，
则∠BAC的度数等于 .
【答案】60°
5.设向量ak，则(akak+1)的值
为
【解析】本题考点是向量的坐标运算与三角函数的周期性的运算.
akak+1
]
因为的周期皆为，一个周期的和皆为零，
因此(akak+1). 学
【答案】
6.已知向量＝(sinθ，cosθ)与＝(，1)，其中θ∈(0，)．
(1)若∥，求sinθ和cosθ的值；(2)若f(θ)＝(＋)2，求f(θ)的值域．
【解析】(1)∵∥，∴sinθ·1－cosθ＝0，求得tanθ＝.
又∵θ∈(0，)，∴θ＝.
∴sinθ＝，cosθ＝.
(注：本问也可以结合sin2θ＋cos2θ＝1或化为2sin(θ－)＝0来求解)
(2)f(θ)＝(sinθ＋)2＋(cosθ＋1)2＝2sinθ＋2cosθ＋5＝4sin(θ＋)＋5，
又∵θ∈(0，)，θ＋∈(，)，<sin(θ＋)≤1，
∴7<f(θ)≤9，即函数f(θ)的值域为(7,9].
7.已知是x,y轴正方向的单位向量，设=, =,且满足 |－| =2.求点P(x,y)的轨迹C的方程.
8.在直角坐标系中，已知点，点在三边围成的区域（含边界）上，且.
（1）若，求；（2）用表示，并求的最大值.
【解析】
（1），.
，又.
，
. ]
（2）
即，两式相减得：.
令，由图可知，当直线过点时，取得最大值1，故的最大值为1.
【答案】（1）；（2），1.
