2019届二轮复习（文）不等式与线性规划学案（全国通用）


与区域有关的面积、距离、参数范围问题及线性规划问题；利用基本不等式求函数最值、运用不等式性质求参数范围、证明不等式是高考热点．备考时，应切实文解与线性规划有关的概念，要熟练掌握基本不等式求最值的方法，特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧方法．要特别加强综合能力的培养，提升运用不等式性质分析、解决问题的能力．

1．(1)若ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根x1和x2(x10(a>0)的解为{ >x2，或x0，若a＋b＝P，当且仅当a＝b时，ab的最大值为2；若ab＝S，当且仅当a＝b时，a＋b的最小值为2.
3．不等式y> x＋b表示直线y＝ x＋b上方的区域；y< x＋b表示直线y＝ x＋b下方的区域．

高频考点一　不等式性质及解不等式
例1、(1)已知实数x，y满足axx得x>5；
当xx得－5x时，x∈(5，＋∞)及(－5,0)．
答案：(－5,0)∪(5，＋∞)
高频考点二　基本不等式及应用
例2、（2018年天津卷）已知a，b∈R，且a–3b+6=0，则2a+的最小值为__________．
【答案】
【解析】由可知，且：，因为对于任意x，恒成立，
结合均值不等式的结论可得：.
当且仅当，即时等号成立.
综上可得的最小值为.
【变式探究】【2017江苏，10】某公司一年购买某种货物600吨，每次购买吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为万元,要使一年的总运费与总存储之和最小,则的值是 ▲ .
【答案】30
【解析】总费用，当且仅当，即时等号成立.
【变式探究】(1)设a＞0，b＞0.若关于x，y的方程组无解，则a＋b的取值范围是________．
解析：通解：依题意，由ax＋y＝1得y＝1－ax，代入x＋by＝1得x＋b(1－ax)＝1，即(1－ab)x＝1－b.由原方程组无解得，关于x的方程(1－ab)x＝1－b无解，因此1－ab＝0且1－b≠0，即ab＝1且b≠1.
又a＞0，b＞0，a≠b，ab＝1，因此a＋b＞2＝2，即a＋b的取值范围是(2，＋∞)．
优解：由题意，关于x，y的方程组无解，则直线ax＋y＝1与x＋by＝1平行且不重合，从而可得ab＝1，且a≠b.
又a＞0，b＞0，故a＋b＞2＝2，即a＋b的取值范围是(2，＋∞)．
答案：(2，＋∞)
(2)若直线＋＝1(a＞0，b＞0)过点(1,1)，则a＋b的最小值等于(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5


答案：C
【方法技巧】
1．常数代换法求最值的关键在于常数的变形，利用此方法求最值应注意以下三个方面：(1)注意条件的灵活变形，确定或分离出常数，这是解题的基础；(2)将常数化成“1”，这是代数式等价变形的基础；(3)利用基本不等式求解最值时要满足“一正、二定、三相等”，否则容易出现错解．
2．拼凑法就是将代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．此方法适用于已知关于变量的等式，求解相关代数式的最值问题，或已知函数解析式，求函数的最值问题．
【变式探究】已知函数f(x)＝x＋＋2的值域为(－∞，0 ∪[4，＋∞) ，则a的值是(　　)
A. B.
C．1 D．2
解析：选C.由题意可得a＞0，①当x＞0时，f(x)＝x＋＋2≥2＋2，当且仅当x＝时取等号；②当x＜0时，f(x)＝x＋＋2≤－2＋2，当且仅当x＝－时取等号．所以解得a＝1，故选C.
高频考点三　求线性规划中线性目标函数的最值
例3、（2018年北京卷）若?,y满足，则2y−?的最小值是_________.
【答案】3
【解析】不等式可转化为，即
满足条件的在平面直角坐标系中的可行域如下图

令，
由图象可知，当过点时，取最小值，此时，
的最小值为.
【变式探究】【2017山东，文3】已知x,y满足约束条件,则 =x+2y的最大值是
A.-3 B.-1 C.1 D.3
【答案】D
【解析】画出约束条件表示的可行域,如图中阴影部分所示，平移直线,可知当其经过直线与的交点时, 取得最大值，为,故选D.

【变式探究】(1)某高 技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5 g，乙材料1 g，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 g，乙材料0.3 g，用3个工时．生产一件产品A的利润为2 100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150 g，乙材料90 g，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元．
解析：由题意，设产品A生产x件，产品B生产y件，利润 ＝2 100x＋900y，线性约束条件为，作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，又由x∈N ，y∈N ，可知取得最大值时的最优解为(60,100)，所以 max＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)．

答案：216 000
(2)若x，y满足约束条件则 ＝x－2y的最小值为________．
解析：通解：作出可行域如图中阴影部分所示，由 ＝x－2y得y＝x－ ，作直线y＝x并平移，观察可知，当直线经过点A(3,4)时， min＝3－2×4＝－5.

优解：因为可行域为封闭区域，所以线性目标函数的最值只可能在边界点处取得，易求得边界点分别为(3,4)，(1,2)，(3,0)，依次代入目标函数可求得 min＝－5.
答案：－5
【方法技巧】求目标函数的最值的方法
1．几何意义法
(1)常见的目标函数
①截距型：形如 ＝ax＋by，求这类目标函数的最值常将函数 ＝ax＋by转化为y＝－x＋，通过求直线的截距的最值间接求出 的最值．
②距离型：形如 ＝(x－a)2＋(y－b)2，设动点P(x，y)，定点M(a，b)，则 ＝ PM 2.
③斜率型：形如 ＝，设动点P(x，y)，定点M(a，b)，则 ＝ PM.
(2)目标函数 ＝xy的几何意义
①由已知得y＝，故可理解为反比例函数y＝的图象，最值需根据该函数图象与可行域有公共点时进行判断．
②设P(x，y)，则 xy 表示以线段OP(O为坐标原点)为对角线的矩形面积．
2．界点定值法，利用可行域所对应图形的边界顶点求最值．
【变式探究】设x，y满足约束条件且 ＝x＋ay的最小值为7，则a＝(　　)
A．－5　　　　　　　　 B．3
C．－5或3 D．5或－3
解析：通解：选B.二元一次不等式组表示的平面区域如图所示，其中A.平移直线x＋ay＝0，可知在点A处， 取得最小值，
.
因此＋a×＝7，化简得a2＋2a－15＝0，
解得a＝3或a＝－5，但a＝－5时， 取得最大值，故舍去，答案为a＝3，故选B.
优解：由 ＝x＋ay得y＝－x＋
当a＜0时，由可行域知，当y＝－x＋过A点时最小， 有最大值，不合题意．
当a＞0时，y＝－x＋过A点时，最小， 也最小，故只能选B.

1. （2018年全国I卷）设变量满足约束条件则目标函数的最大值为
A. 6 B. 19
C. 21 D. 45
【答案】C
【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，联立直线方程：，可得点A的坐标为：，据此可知目标函数的最大值为：，本题选择C选项。

2. （2018年北京卷）设集合则
A. 对任意实数a，
B. 对任意实数a，（2,1）
C. 当且仅当a