2019届二轮复习第3练　不等式与线性规划学案（全国通用）

第3练　不等式与线性规划
[明晰考情]　1.命题角度：不等式的性质和线性规划在高考中一直是命题的热点.2.题目难度：中低档难度.

考点一　不等关系与不等式的性质
要点重组　不等式的常用性质
(1)如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.
(2)如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥1).
(3)如果a>b>0，那么>(n∈N，n≥2).
1.若a，b，c为实数，则下列命题为真命题的是(　　)
A.若a＞b，则ac2>bc2
B.若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2
C.若a＜b＜0，则＜
D.若a＜b＜0，则＞
答案　B
解析　B中，∵a＜b＜0，
∴a2－ab＝a(a－b)＞0，
ab－b2＝b(a－b)＞0.
故a2＞ab＞b2，B正确.
2.(2018·全国Ⅲ)设a＝log0.20.3，b＝log20.3，则(　　)
A.a＋b＜ab＜0 B.ab＜a＋b＜0
C.a＋b＜0＜ab D.ab＜0＜a＋b
答案　B
解析　∵a＝log0.20.3＞log0.21＝0，b＝log20.3＜log21＝0，∴ab＜0.
∵＝＋＝log0.30.2＋log0.32＝log0.30.4，
∴1＝log0.30.3＞log0.30.4＞log0.31＝0，
∴0＜＜1，∴ab＜a＋b＜0.
3.(2017·山东)若a＞b＞0，且ab＝1，则下列不等式成立的是(　　)
A.a＋＜＜log2(a＋b) B.＜log2(a＋b)＜a＋
C.a＋＜log2(a＋b)＜ D.log2(a＋b)＜a＋＜
答案　B
解析　方法一　∵a＞b＞0，ab＝1，
∴log2(a＋b)＞log2(2)＝1.
∵a>b>0，ab＝1，∴a>1，0 ∴2a>2，<，∴<.
∵a＋＝a＋a＝2a＞a＋b＞log2(a＋b)，
∴＜log2(a＋b)＜a＋.
故选B.
方法二　∵a＞b＞0，ab＝1，∴取a＝2，b＝，
此时a＋＝4，＝，log2(a＋b)＝log25－1≈1.3，
∴＜log2(a＋b)＜a＋.
故选B.
4.若x＞y，a＞b，则在：①a－x＞b－y；②a＋x＞b＋y；③ax＞by；④＞这四个式子中，恒成立的所有不等式的序号是____________.
答案　②
考点二　不等式的解法
方法技巧　(1)解一元二次不等式的步骤
一化(二次项系数化为正)，二判(看判别式Δ)，三解(解对应的一元二次方程)，四写(根据“大于取两边，小于取中间”写出不等式解集).
(2)可化为＜0(或＞0)型的分式不等式，转化为一元二次不等式求解.
(3)指数不等式、对数不等式可利用函数单调性求解.
5.用min{a，b}表示a，b两数中的最小值，若函数f(x)＝min{x＋3，－x2＋3x＋6}，则不等式f(x－1)<2的解集为(　　)
A.{x|x<－1} B.{x|x>4}
C.{x|x<－1或x>4} D.{x|x<0或x>5}
答案　D
解析　画出y＝x＋3与y＝－x2＋3x＋6的图象如图所示，

由图易得f(x)＝
故f(x)的图象如图中的粗线部分所示，由f(x)<2，作出直线y＝2，数形结合得x<－1或x>4，
则由不等式f(x－1)<2，可得x－1<－1或x－1>4，得x<0或x>5，故选D.
6.已知x∈(－∞，1]，不等式1＋2x＋(a－a2)·4x>0恒成立，则实数a的取值范围为(　　)
A. B.
C. D.(－∞，6]
答案　C
解析　令2x＝t (00⇔a－a2>－，故只要求解h(t)＝－ (0 又≥，结合二次函数的图象知，当＝，
即t＝2时，h(t)取得最大值－，
即a－a2>－，所以4a2－4a－3<0，
解得实数a的取值范围为，
故选C.
7.若关于x的不等式ax－b＞0的解集是(－∞，－2)，则关于x的不等式＞0的解集为____________.
答案　{x|x＜0或1＜x＜2}
解析　∵关于x的不等式ax－b＞0的解集是(－∞，－2)，
∴a＜0，＝－2，
∴b＝－2a，
∴＝＞0，
即＜0，
解得x＜0或1＜x＜2.
8.已知函数f(x)＝若对任意的x∈R，不等式f(x)≤m2－m恒成立，则实数m的取值范围为____________.
答案　∪[1，＋∞)
解析　由题意知，m2－m≥f(x)max.
当x＞1时，f(x)＝是减函数，∴f(x)＜f(1)＝0；
当x≤1时，f(x)＝－x2＋x，其图象的对称轴方程是x＝，且开口向下，
∴f(x)max＝－＋＝.
∴f(x)在R上的最大值为f ＝.
∴m2－m≥，
即4m2－3m－1≥0，
∴m≤－或m≥1.
考点三　基本不等式
要点重组　基本不等式：≥，a>0，b>0
(1)利用基本不等式求最值的条件：一正二定三相等.
(2)求最值时若连续利用两次基本不等式，必须保证两次等号成立的条件一致.
9.(2018·大庆模拟)设a，b∈R，a2＋2b2＝6，则a＋b的最小值为(　　)
A.－2 B.－ C.－3 D.－
答案　A
解析　因为由基本不等式a2＋2b2≥2ab，
所以2(a2＋2b2)≥a2＋2b2＋2ab＝(a＋b)2.
又因为a2＋2b2＝6，
则有2×6≥(a＋b)2，即－2≤a＋b≤2.
10.两圆x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0和x2＋y2－4by－1＋4b2＝0恰有三条公切线，若a∈R，b∈R且ab≠0，则＋的最小值为(　　)
A.1 B.3 C. D.
答案　A
解析　由两圆恰有三条公切线知，两圆外切，
可得a2＋4b2＝9，
∴＋＝·＝≥1，
当且仅当a2＝2b2时取等号.
11.如图，在Rt△ABC中，P是斜边BC上一点，且满足＝，点M，N在过点P的直线上，若＝λ，＝μ(λ>0，μ>0)，则λ＋2μ的最小值为(　　)

A.2 B. C.3 D.
答案　B
解析　＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝＋，
因为M，N，P三点共线，所以＋＝1.
因此λ＋2μ＝(λ＋2μ)＝＋＋≥＋2＝，
当且仅当λ＝，μ＝时“＝”成立，
故选B.
12.(2017·天津)若a，b∈R，ab>0，则的最小值为________.
答案　4
解析　∵a，b∈R，ab＞0，
∴≥＝4ab＋≥2＝4，
当且仅当即且a，b同号时取得等号.
故的最小值为4.
考点四　简单的线性规划问题
方法技巧　(1)求目标函数最值的一般步骤：一画二移三求.
(2)常见的目标函数
①截距型：z＝ax＋by；
②距离型：z＝(x－a)2＋(y－b)2；
③斜率型：z＝.
13.(2018·天津)设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝3x＋5y的最大值为(　　)
A.6 B.19　C.21 D.45
答案　C
解析　画出可行域如图中阴影部分所示(含边界)，由z＝3x＋5y，得y＝－x＋.

设直线l0为y＝－x，平移直线l0，当直线y＝－x＋过点P(2，3)时，z取得最大值，zmax＝3×2＋5×3＝21.故选C.
14.(2018·安徽省“皖南八校”联考)设x，y满足约束条件则z＝|x＋3y|的最大值为(　　)
A.15 B.13 C.3 D.2
答案　A
解析　画出约束条件所表示的可行域，如图(阴影部分含边界)所示，

设z1＝x＋3y，可化为y＝－x＋，
当直线y＝－x＋经过点A时，
直线在y轴上的截距最大，此时z1取得最大值，
当直线y＝－x＋经过点B时，
直线在y轴上的截距最小，此时z1取得最小值，
由解得A(3，4)，
此时最大值为z1＝3＋3×4＝15；
由解得B(2，0)，
此时最小值为z1＝2＋3×0＝2，
所以目标函数z＝|x＋3y|的最大值为15.
15.(2016·山东)若变量x，y满足则x2＋y2的最大值是(　　)
A.4 B.9 C.10 D.12
答案　C
解析　满足条件的可行域如图阴影部分(包括边界)，x2＋y2是可行域上动点(x，y)到原点(0，0)距离的平方，显然，当x＝3，y＝－1时，x2＋y2取最大值，最大值为10.故选C.

16.若实数x，y满足不等式组则z＝2|x|＋y的最大值为(　　)
A.12 B.11 C.7 D.8
答案　B
解析　满足条件的不等式组所表示的平面区域为如图所示的△ABC及其内部，

其中A(6，－1)，B(0，1)，C(－2，－1)，
z＝2|x|＋y可转化为
或
①当z＝2x＋y(x≥0)时，目标函数线经过点A(6，－1)时，z取最大值，zmax＝11；
②当z＝－2x＋y(x＜0)时，目标函数线经过点C(－2，－1)时，z取最大值，zmax＝3.
综上可知，z＝2|x|＋y的最大值为11，故选B.

1.若不等式(－2)na－3n－1－(－2)n＜0对任意正整数n恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　当n为奇数时，要满足2n(1－a)＜3n－1恒成立，
即1－a＜×n恒成立，只需1－a＜×1，解得a＞；
当n为偶数时，要满足2n(a－1)＜3n－1恒成立，
即a－1＜×n恒成立，只需a－1＜×2，解得a＜.
综上，＜a＜，故选D.
2.已知实数x，y满足不等式组则(x－3)2＋(y＋2)2的最小值为______.
答案　13
解析　画出不等式组表示的平面区域(图略)，易知(x－3)2＋(y＋2)2表示可行域内的点(x，y)与(3，－2)两点间距离的平方，通过数形结合可知，当(x，y)为直线x＋y＝2与y＝1的交点(1，1)时，(x－3)2＋(y＋2)2取得最小值，为13.
3.设实数x，y满足条件若目标函数z＝ax＋by(a＞0，b＞0)的最大值为12，则＋的最小值为____________.
答案　4
解析　画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分(包括边界)所示，当直线z＝ax＋by(a＞0，b＞0)过直线x－y＋2＝0与直线3x－y－6＝0的交点(4，6)时，目标函数z＝ax＋by(a＞0，b＞0)取得最大值12，即2a＋3b＝6，则＋＝＋＝2＋＋≥4，当且仅当＝，即时取等号.

解题秘籍　(1)不等式恒成立或有解问题能分离参数的，可先分离参数，然后通过求最值解决.
(2)利用基本不等式求最值时要灵活运用两个公式：
①a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号；
②a＋b≥2(a>0，b>0)，当且仅当a＝b时取等号.注意公式的变形使用和等号成立的条件.
(3)理解线性规划问题中目标函数的实际意义.


1.若x＞y＞0，m＞n，则下列不等式正确的是(　　)
A.xm＞ym B.x－m≥y－n
C.＞ D.x＞
答案　D
2.已知a>0，b＞0，且a≠1，b≠1，若logab＞1，则(　　)
A.(a－1)(b－1)＜0 B.(a－1)(a－b)＞0
C.(b－1)(b－a)＜0 D.(b－1)(b－a)＞0
答案　D
解析　取a＝2，b＝4，则(a－1)(b－1)＝3＞0，排除A；则(a－1)(a－b)＝－2＜0，排除B；(b－1)(b－a)＝6＞0，排除C，故选D.
3.设函数f(x)＝则不等式f(x)>f(1)的解集是(　　)
A.(－3，1)∪(3，＋∞) B.(－3，1)∪(2，＋∞)
C.(－1，1)∪(3，＋∞) D.(－∞，－3)∪(1，3)
答案　A
解析　f(1)＝3.由题意得或
解得－33.
4.下列函数中，y的最小值为4的是(　　)
A.y＝x＋ B.y＝log3x＋4logx3
C.y＝sin x＋(0＜x＜π) D.y＝ex＋4e－x
答案　D
5.为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，如图，要求∠ACB＝60°，BC的长度大于1米，且AC比AB长0.5米，为了稳固广告牌，要求AC越短越好，则AC最短为(　　)

A.米 B.2米
C.(1＋)米 D.(2＋)米
答案　D
解析　由题意设BC＝x(x>1)米，AC＝t(t>0)米，依题意知AB＝AC－0.5＝t－0.5(米)，
在ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos 60°，即(t－0.5)2＝t2＋x2－tx，
化简并整理得t＝(x>1)，即t＝x－1＋＋2，
又x>1，故t＝x－1＋＋2≥2＋，
此时t取最小值2＋，故选D.
6.已知圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1，平面区域Ω：若圆心C∈Ω，且圆C与x轴相切，则a2＋b2的最大值为(　　)
A.5 B.29 C.37 D.49
答案　C
解析　如图，由已知得平面区域Ω为△MNP内部及边界.

∵圆C与x轴相切，∴b＝1.
显然当圆心C位于直线y＝1与x＋y－7＝0的交点(6，1)处时，|a|max＝6.
∴a2＋b2的最大值为62＋12＝37.故选C.
7.实数x，y满足且z＝2x＋y的最大值是最小值的4倍，则a的值是(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　在平面直角坐标系中作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分(包括边界)所示，当目标函数z＝2x＋y经过可行域中的点B(1，1)时有最大值3，当目标函数z＝2x＋y经过可行域中的点A(a，a)时有最小值3a，由3＝4×3a，得a＝.

8.若对任意的x，y∈R，不等式x2＋y2＋xy≥3(x＋y－a)恒成立，则实数a的取值范围为(　　)
A.(－∞，1] B.[1，＋∞) C.[－1，＋∞) D.(－∞，－1]
答案　B
解析　不等式x2＋y2＋xy≥3(x＋y－a)对任意的x，y∈R恒成立等价于不等式x2＋(y－3)x＋y2－3y＋3a≥0对任意的x，y∈R恒成立，所以Δ＝(y－3)2－4(y2－3y＋3a)＝－3y2＋6y＋9－12a＝－3(y－1)2＋12(1－a)≤0对任意的y∈R恒成立，所以1－a≤0，即a≥1，故选B.
9.设函数f(x)＝，则不等式＞－f 的解集是________.
答案　
解析　函数f(x)的定义域为(－1，1)且在(－1，1)上单调递增，f(－x)＝－f(x)，所以＞－f ⇔＞f ⇔－＜＜1，解得x∈.
10.(2018·天津)已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，则2a＋的最小值为________.
答案　
解析　∵a－3b＋6＝0，∴a－3b＝－6，∴2a＋＝2a＋2－3b≥2＝2＝2＝2×2－3＝，
当且仅当即时取到等号，则最小值为.
11.(2018·衡阳模拟)设0 答案　1
解析　画出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分含边界)所示，

由得
可得A.由z＝3x－2y，得y＝x－在y轴上的截距越大，z就越小，平移直线y＝x－，由图知，当直线z＝3x－2y过点A时，z取得最小值，
∴z的最小值为3×－2×＝－5，∴m＝1.
12.不等式组所表示的平面区域的面积为S，则当不等式≥a恒成立时，实数a的取值范围是______________.
答案　(－∞，6]
解析　画出满足不等式组的平面区域，
如图所示(阴影部分含边界)，则S＝m·|AB|＝m2，

所以＝＝＝m＋1＋＝m－1＋＋2
≥2＋2＝6(当且仅当m＝3时等号成立)，
则由题意知实数a的取值范围是a≤6.