2019届二轮复习函数和方程学案（全国通用）


考情速递

1真题感悟学+ + ]
真题回放
1.（2018•新课标Ⅱ）函数f（x）=的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】：B;
【解析】：函数f（﹣x）==﹣=﹣f（x），
则函数f（x）为奇函数，图象关于原点对称，排除A，
当x=1时，f（1）=e﹣＞0，排除D．
当x→+∞时，f（x）→+∞，排除C，
故选：B．
2.（2018•新课标Ⅰ）已知函数f（x）=，g（x）=f（x）+x+a．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是（　　）
A．[﹣1，0） B．[0，+∞） C．[﹣1，+∞） D．[1，+∞）
【答案】：C




2热点题型
题型一：函数的图像
例1．（2018•浙江）函数y=2|x|sin2x的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】：D

【提示】直接利用函数的图象和性质求出结果．

变式训练1
1（2018•新课标Ⅲ）函数y=﹣x4+x2+2的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】：D
【解析】：函数过定点（0，2），排除A，B．函数的导数f′（x）=﹣4x3+2x=﹣2x（2x2﹣1），由f′（x）＞0得2x（2x2﹣1）＜0，得x＜﹣或0＜x＜，此时函数单调递增，由f′（x）＜0得2x（2x2﹣1）＞0，得x＞或﹣＜x＜0，此时函数单调递减，排除C，故选：D．
变式训练2
2修订为（2018•红谷滩二模）函数y=的图象大致是（　　）
A． B． C． D．
【答案】：D；

题型二：函数的零点问题
例2.（2018•天津）已知a＞0，函数f（x）=．若关于x的方程f（x）=ax恰有2个互异的实数解，则a的取值范围是　　．
【答案】（4，8）
【解析】：当x≤0时，由f（x）=ax得x2+2ax+a=ax，
得x2+ax+a=0，
得a（x+1）=﹣x2，
得a=﹣，
设g（x）=﹣，则g′（x）=﹣=﹣，
由g′（x）＞0得﹣2＜x＜﹣1或﹣1＜x＜0，此时递增，
由g′（x）＜0得x＜﹣2，此时递减，即当x=﹣2时，g（x）取得极小值为g（﹣2）=4，
当x＞0时，由f（x）=ax得﹣x2+2ax﹣2a=ax，
得x2﹣ax+2a=0，
得a（x﹣2）=x2，当x=2时，方程不成立，
当x≠2时，a=
设h（x）=，则h′（x）==，
由h′（x）＞0得x＞4，此时递增，
由h′（x）＜0得0＜x＜2或2＜x＜4，此时递减，即当x=4时，h（x）取得极小值为h（4）=8，
要使f（x）=ax恰有2个互异的实数解， ]
则由图象知4＜a＜8，
故答案为：（4，8）

【提示】分别讨论当x≤0和x＞0时，利用参数分离法进行求解即可．
变式训练3
1．（2018•聊城模拟）已知函数f（x）=ex﹣ax有两个零点x1＜x2，则下列说法错误的是（　　）
A．a＞e B．x1+x2＞2
C．x1x2＞1 D．有极小值点x0，且x1+x2＜2x0
【答案】：C；

②当a＞0时，∵f′（x）=ex﹣a＞0，∴ex﹣a＞0，解得x＞lna，
∴f（x）在（﹣∞，lna）单调递减，在（lna，+∞）单调递增．
∵函数f（x）=ex﹣ax有两个零点x1＜x2，
∴f（lna）＜0，a＞0，
∴elna﹣alna＜0，
∴a＞e，A正确；
x1+x2=ln（a2x1x2）=2lna+ln（x1x2）＞2+ln（x1x2），
取a=，f（2）=e2﹣2a=0，∴x2=2，f（0）=1＞0，∴0＜x1＜1，∴x1+x2＞2，B正确；
f（0）=1＞0，∴0＜x1＜1，x1x2＞1不一定，C不正确；
f（x）在（﹣∞，lna）单调递减，在（lna，+∞）单调递增，∴有极小值点x0=lna，由图象观察可得x1+x2＜2x0=2lna，D正确．
故选：C．
题型三利用导数证明不等式
例3．（2018•新课标Ⅱ）已知函数f（x）=ex﹣ax2． 学 ]
（1）若a=1，证明：当x≥0时，f（x）≥1；
（2）若f（x）在（0，+∞）只有一个零点，求a．
【分析】（1）通过两次求导，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可证明，
（2）方法一、分离参数可得a=在（0，+∞）只有一个根，即函数y=a与G（x）=的图象在（0，+∞）只有一个交点．结合图象即可求得a．
方法二、：①当a≤0时，f（x）=ex﹣ax2＞0，f（x）在（0，+∞）没有零点．．
②当a≤0时，设函数h（x）=1﹣ax2e﹣x．f（x）在（0，+∞）只有一个零点⇔h（x）在（0，+∞）只有一个零点．
利用 h′（x）=x（x﹣2）e﹣x，可得h（x））在（0，2）递减，在（2，+∞）递增，结合函数h（x）图象即可求得a．

解：（2）方法一、，f（x）在（0，+∞）只有一个零点⇔方程ex﹣ax2=0在（0，+∞）只有一个根，
⇔a=在（0，+∞）只有一个根，
即函数y=a与G（x）=的图象在（0，+∞）只有一个交点．
G，
当x∈（0，2）时，G′（x）＜0，当∈（2，+∞）时，G′（x）＞0，
∴G（x）在（0，2）递减，在（2，+∞）递增，
当→0时，G（x）→+∞，当→+∞时，G（x）→+∞，
∴f（x）在（0，+∞）只有一个零点时，a=G（2）=．
方法二：①当a≤0时，f（x）=ex﹣ax2＞0，f（x）在（0，+∞）没有零点．．
②当a＞0时，设函数h（x）=1﹣ax2e﹣x．f（x）在（0，+∞）只有一个零点⇔h（x）在（0，+∞）只有一个零点． . ]
h′（x）=x（x﹣2）e﹣x，当x∈（0，2）时，h′（x）＜0，当x∈（2，+∞）时，h′（x）＞0，
∴h（x））在（0，2）递减，在（2，+∞）递增，∴，（x≥0）．
当h（2）＜0时，即a，由于h（0）=1，
且当x＞0时，ex＞x2，可得h（4a）=1﹣==1﹣＞0．h（x）在（0，+∞）有2个零点
当h（2）＞0时，即，h（x）在（0，+∞）没有零点，
当h（2）=0时，即a=，h（x）在（0，+∞）只有一个零点，
综上，f（x）在（0，+∞）只有一个零点时，a=．
3新题预测

1、2018•淄博二模）函数f（x）=x2•cosx在的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】：B
2、（2018•浙江）已知λ∈R，函数f（x）=，当λ=2时，不等式f（x）＜0的解集是　　．若函数f（x）恰有2个零点，则λ的取值范围是　　．
答案：{x|1＜x＜4}；（1，3]∪（4，+∞）．
【答案】：{x|1＜x＜4}；（1，3]∪（4，+∞）．
【解析】当λ=2时函数f（x）=，显然x≥2时，不等式x﹣4＜0的解集：{x|2≤x＜4}；x＜2时，不等式f（x）＜0化为：x2﹣4x+3＜0，解得1＜x＜2，综上，不等式的解集为：{x|1＜x＜4}．
函数f（x）恰有2个零点，
函数f（x）=的草图如图：
函数f（x）恰有2个零点，则1＜λ≤3或λ＞4．
故答案为：{x|1＜x＜4}；（1，3]∪（4，+∞）．

3（2018•安顺三模）设函数．
（1）当m=﹣1时，求函数f（x）零点的个数；
（2）当m=1时，证明．
【解析】：（1）解：当m=﹣1时，f（x）=lnx﹣，
f′（x）=，
由f′（x）=0，得x=﹣（舍），或x=1．
∴当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，
则f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
则f（x）的极大值为f（1）=0．
∴函数f（x）零点的个数为1；
（2）证明：当m=1时，f（x）=lnx+，
f（x﹣1）=ln（x﹣1）+=ln（x﹣1）+﹣2x+5．
令g（x）=f（x﹣1）﹣，
要证g（x）＞0，只需证ln（x﹣1）+＞（x＞1）．
令h（x）=ln（x﹣1）+，则h′（x）=．
当x∈（1，2）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，
当x∈（2，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，
∴h（x）在（1，+∞）上的最小值为h（2）=1．
而当x＞1时，．
∴ln（x﹣1）+＞（x＞1）．
则当m=1时，．
专题训练题函数与方程测试题
1. （2018•郴州三模）已知R上的奇函数f（x）满足：当x＜0时，f（x）=log2（1﹣x），则f（f（1））=（　　） 学 ]
A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2
【答案】：C；
2. （2018•通州区三模）设f（x）为定义在R上的偶函数，且f（x）在[0，+∞）上为增函数，则f（﹣2），f（﹣π），f（3）的大小顺序是（　　）
A．f（﹣π）＜f（﹣2）＜f（3） B．f（﹣2）＜f（3）＜f（﹣π）
C．f（﹣π）＜f（3）＜f（﹣2） D．f（3）＜f（﹣2）＜f（﹣π）
【答案】：B；
【解析】：f（x）为定义在R上的偶函数，且f（x）在[0，+∞）上为增函数，
可得f（﹣2）=f（2），f（﹣π）=f（π），
由2＜3＜π，可得f（2）＜f（3）＜f（π），
即f（﹣2）＜f（3）＜f（﹣π），故选：B．
3. （2018•河南一模）已知函数y=f（x），满足y=f（﹣x）和y=f（x+2）是偶函数，且f（1）=，设F（x）=f（x）+f（﹣x），则F（3）=（　　）
A． B． C．π D．
【答案】：B；

4. 【2018全国三卷7】函数的图像大致为

【答案】：D

5（2018•合肥二模）已知函数是奇函数，则f（a）的值等于（　　）
A． B．3 C．或3 D．或3
【答案】：C;

5. （2018•濮阳二模）若是奇函数，则f（g（﹣2））的值为（　　）
A． B． C．1 D．﹣1
【答案】：C；
【解析】：∵是奇函数，
∴x＜0时，g（x）=﹣+3，
∴g（﹣2）=﹣+3=﹣1，
f（g（﹣2））=f（﹣1）=g（﹣1）=﹣+3=1．
故选：C．
6. （2018•长沙一模）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f（x）=x2﹣x，则不等式f（x+2）＜6 的解集是（　　）
A．{x|﹣5＜x＜1} B．{x|﹣4＜x＜0} C．{x|﹣1＜x＜5} D．{x|0＜x＜4}
【答案】：A;

7. （2018•南昌二模）已知函数f（x）=，设g（x）=kf（x）+x2+x（k为常数），若g（10）=2018，则g（﹣10）等于（　　）
A．1998 B．2038 C．﹣1818 D．﹣2218
【答案】：A;
【解析】：∵函数f（x）=，
设g（x）=kf（x）+x2+x（k为常数），g（10）=2018，
∴g（10）=kf（10）+100+10=k（210﹣1）+110=2018，
∴k（210﹣1）=1908，
∴g（﹣10）=kf（﹣10）+100﹣10=k（210﹣1）+90=1908+90=1998．
故选：A．
8. （2018•赤峰模拟）已知b＞0，a＞0且a≠1，则“（a﹣1）（b﹣1）＞0”是“logab＞0”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】：C；
【解析】：b＞0，a＞0且a≠1，则“（a﹣1）（b﹣1）＞0”⇔或，⇔logab＞0，∴b＞0，a＞0且a≠1，则“（a﹣1）（b﹣1）＞0”是“logab＞0”的充要条件．故选：C．
9 (2018湖南、江西十四校第二次联考)已知函数f(x)=(ex-e-x)x2,若实数m满足f(log3m)-f≤2f(1),则实数m的取值范围为(　　)
A.(0,3] B.
C.(0,9] D.∪(3,+∞)
【答案】：A

10 (2018全国Ⅱ·3)函数f(x)= 的图象大致为 (　　)

【答案】：B
【解析】：∵f(-x)= =-f(x),∴f(x)为奇函数,排除A,令x=10,则f(10)=>1,排除C、D,故选B.

11. (2017全国Ⅰ·8)函数y=的部分图象大致为(　　)

【答案】：C

12 (2018山东烟台一模)已知函数y=f(x)对任意的x∈(0,π)满足f'(x)sin x>f(x)cos x(其中f'(x)为函数f(x)的导函数),则下列不等式成立的是(　　)
A.ff
C.f>f D.ff(x)cos x,
∴f'(x)sin x-f(x)cos x>0,∴F'(x)>0,
∴y=F'(x)在(0,π)内为单调递增函数.
∴F>F,即,即f>f,故选B.
二．填空题
13. （2018•九江三模）已知函数f（x）=ax﹣log2（2x+1）（a∈R）为偶函数，则a=　　．
【答案】：

14. （2018•嘉定区一模）已知函数f（x）是定义在R上且周期为4的偶函数，当x∈[2，4]时，
，则的值为　　．
【答案】
【解析】：∵函数f（x）是定义在R上且周期为4的偶函数，
∴，又当x∈[2，4]时，，
∴f（）=f（）=．故答案为：．
15. （2018•天津）已知a∈R，函数f（x）=．若对任意x∈[﹣3，+∞），f（x）≤|x|恒成立，则a的取值范围是　　．
【答案】：[，2]；
故答案为：[，2]．

16（2018•新课标Ⅲ）已知函数f（x）=ln（﹣x）+1，f（a）=4，则f（﹣a）=　　．
【答案】：-2；