2019届二轮复习二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题学案（全国通用）


1．会从实际情境中抽象出二元一次不等式组。
2．了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组。
3．会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决。

热点题型一 二元一次不等式(组)表示平面区域
例1、（2018年全国I卷）设变量满足约束条件则目标函数的最大值为
A. 6 B. 19
C. 21 D. 45
【答案】C

【变式探究】(1)在平面直角坐标系xOy中，不等式组表示图形的面积等于(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
(2)已知不等式组表示的平面区域为D，若直线y＝ x＋1将区域D分成面积相等的两部分，则实数 的值是________。
【解析】(1)不等式组对应的平面区域如图，


(2)区域D如图中的阴影部分所示，直线y＝ x＋1经过定点C(0,1)，如果其把区域D划分为面积相等的两个部分，则直线y＝ x＋1只要经过AB的中点即可。

由方程组解得A(1,0)。
由方程组解得B(2,3)。
所以AB的中点坐标为，代入直线方
程y＝ x＋1得，＝ ＋1，解得 ＝。
【提分秘籍】
平面区域面积问题的解题思路
(1)求平面区域的面积：
①首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域；
②对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解。若为不规则四边形，可分割成几个三角形分别求解再求和即可。
(2)利用几何意义求解的平面区域问题，也应作出平面图形，利用数形结合的方法去求解。
【举一反三】
已知约束条件表示面积为1的直角三角形区域，则实数 的值为(　　)
A．1　　　B．－1 C．0　　　D．－2
【解析】先作出不等式组
对应的平面区域，如图：

要使阴影部分为直角三角形，
当 ＝0时，此三角形的面积为×3×3＝≠1，
所以不成立，
所以 >0，则必有BC⊥AB，
因为x＋y－4＝0的斜率为－1，
所以直线 x－y＝0的斜率为1，即 ＝1
故选A。
热点题型二 求线性目标函数的最值
例2、（2018年浙江卷）若满足约束条件则的最小值是___________，最大值是___________．
【答案】(1). -2 (2). 8


【变式探究】设x，y满足约束条件则 ＝x＋2y的最大值为(　　)
A．8 B．7 C．2 D．1
【解析】作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，作直线y＝－x，平移直线y＝－x，当直线y＝－x＋经过点C时在y轴上的截距取得最大值，即 取得最大值，由得即C(3,2)，代入 ＝x＋2y得 max＝3＋2×2＝7，故选B。 .

【提分秘籍】
利用可行域求线性目标函数最值的方法
首先利用约束条件作出可行域，根据目标函数找到最优解时的点，解得点的坐标代入求解即可。
【举一反三】
设x，y满足约束条件且 ＝x＋ay的最小值为7，则a＝(　　)
A．－5 B．3 C．－5或3 D．5或－3

【答案】B
热点题型三 求非线性目标函数的最值
例3、 (1)已知x，y满足约束条件当目标函数 ＝ax＋by(a＞0，b＞0)在该约束条件下取到最小值2时，a2＋b2的最小值为(　　)
A．5 B．4 C. D．2
(2)已知实数x，y满足约束条件则w＝的最小值是(　　)
A．－2 B．2 C．－1 D．1
【解析】(1)不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，根据目标函数的几何意义可知，目标函数在点A(2,1)处取得最小值，故2a＋b＝2。


(2)作出不等式组对应的平面区域如图：

ω＝的几何意义是区域内的点P(x，y)到定点A(0，－1)之间的斜率，由图象可知当P位于点D(1,0)时，直线AP的斜率最小，此时的最小值为＝1，故选D。
【提分秘籍】
利用可行域求非线性目标函数最值的方法
画出可行域，分析目标函数的几何意义是斜率问题还是距离问题，依据几何意义可求得最值。
【举一反三】
已知，则x2＋y2的最大值为________，最小值为________。
【解析】不等式组表示的平面区域为如图所示△ABC的内部(包括边界)，


所以当时x2＋y2取得最大值37，
当时x2＋y2取得最小值0。
热点题型四 线性规划的实际应用
例4、某旅行社租用A，B两种型号的客车安排900名客人旅行，A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆，则租金最少为(　　)
A．31 200元 B．36 000元
C．36 800元 D．38 400元


平移直线l：y＝－x到l0过点A(5,12)时，
min＝5×1 600＋2 400×12＝36 800.故选C。
【提分秘籍】
求解线性规划应用题的注意点
(1)明确问题中的所有约束条件，并根据题意判断约束条件中是否能够取到等号。
(2)注意结合实际问题的实际意义，判断所设未知数x，y的取值范围，特别注意分析x，y是否是整数、非负数等。
(3)正确地写出目标函数，一般地，目标函数是等式的形式。
【举一反三】
某公司生产甲、乙两种桶装产品。已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克，B原料1千克。每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元。公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A、B原料都不超过12千克。通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是(　　)
A．1 800元 B．2 400元
C．2 800元 D．3 100元



1. （2018年全国I卷）设变量满足约束条件则目标函数的最大值为
A. 6 B. 19
C. 21 D. 45
【答案】C
【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，联立直线方程：，可得点A的坐标为：，据此可知目标函数的最大值为：，本题选择C选项。

2. （2018年浙江卷）若满足约束条件则的最小值是___________，最大值是___________．
【答案】 (1). -2 (2). 8


3. （2018年北京卷）若?,y满足，则2y−?的最小值是_________.
【答案】3 .
【解析】不等式可转化为，即
满足条件的在平面直角坐标系中的可行域如下图


4. （2018年全国III卷）若变量满足约束条件则的最大值是________．
【答案】3
【解析】作出可行域

由图可知目标函数在直线与的交点（2，3）处取得最大值3
故答案为3.
5. （2018年全国卷Ⅱ）若满足约束条件 则的最大值为__________．
【答案】9


6. （2018年全国I卷）若满足约束条件，则的最大值为________．
【答案】6
【解析】根据题中所给的约束条件，画出其对应的可行域，如图所示：

由可得，画出直线，将其上下移动，结合的几何意义，可知当直线过点B时， 取得最大值，由，解得，此时，故答案为6.
1.【2017课标1，文7】设x，y满足约束条件则 =x+y的最大值为
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D


2.【2017课标II，文7】设满足约束条件 ,则的最小值是
A. B. C. D
【答案】A
【解析】x、y满足约束条件的可行域如图：

=2x+y经过可行域的A时，目标函数取得最小值，
由 解得A(−6,−3)，
则 =2x+y的最小值是：−15.
故选：A.
3.【2017课标3，文5】设x，y满足约束条件，则的取值范围是（ ）
A．[–3,0 B．[–3,2 C．[0,2 D．[0,3
【答案】B
【解析】作出约束条件表示的可行域，如图中阴影部分所示.


4.【2017北京，文4】若满足则的最大值为
（A）1 （B）3
（C）5 （D）9
【答案】D
【解析】如图，画出可行域，

表示斜率为的一组平行线，当过点时，目标函数取得最大值，故选D.
5.【2017山东，文3】已知x,y满足约束条件,则 =x+2y的最大值是
A.-3 B.-1 C.1 D.3
【答案】D _X_X_


6.【2017浙江，4】若，满足约束条件，则的取值范围是
A．[0，6 B．[0，4 C．[6， D．[4，
【答案】D
【解析】如图，可行域为一开放区域，所以直线过点时取最小值4，无最大值，选D．





1.【2016高考浙江文数】若平面区域 夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B


2.【2016高考新课标2文数】若x，y满足约束条件，则的最小值为__________
【答案】
【解析】由得，点，由得，点，由得，点，分别将，，代入得：，，，所以的最小值为．
3.[2016高考新课标Ⅲ文数 若满足约束条件 则的最小值为_____________.
【答案】－10


1.【2015高考重庆，文10】若不等式组,表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则m的值为（ ）
(A)-3 (B) 1 (C) (D)3
【答案】B
【解析】如图，，

2.【2015高考四川，文9】设实数x，y满足，则xy的最大值为( )
(A) (B) (C)12 (D)14
【答案】A
【解析】画出可行域如图


3.【2015高考广东，文4】若变量，满足约束条件，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】作出可行域如图所示：

作直线，再作一组平行于的直线，当直线经过点时，取得最大值，由得：，所以点的坐标为，所以，故选C．
4.【2015高考新课标1，文15】若x,y满足约束条件 ,则 =3x+y的最大值为 ．
【答案】4


5.【2015高考陕西，文11】某企业生产甲乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额表所示，如果生产1吨甲乙产品可获利润分别为3万元.4万元，则该企业每天可获得最大利润为（ ）

A．12万元 B．16万元 C．17万元 D．18万元
【答案】
【解析】设该企业每天生产甲乙两种产品分别，吨，则利润
由题意可列，其表示如图阴影部分区域：

当直线过点时，取得最大值，
故答案选。
6.【2015高考湖南，文4】若变量满足约束条件 ，则的最小值为( )
A、 B、0 C、1 D、2
【答案】A
【解析】


7.【2015高考福建，文10】变量满足约束条件，若的最大值为2，则实数等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C


8.【2015高考安徽，文5】已知x，y满足约束条件，则的最大值是（ ）
（A）-1 （B）-2 （C）-5 （D）1
【答案】A
【解析】根据题意作出约束条件确定的可行域，如下图：

令，可知在图中处，取到最大值-1,故选A.
9.【2015高考山东，文12】 若满足约束条件则的最大值为       .
【答案】
【解析】


10.【2015高考浙江，文14】已知实数，满足，则的最大值是 ．
【答案】15
【解析】


由图可知当时，满足的是如图的劣弧，则在点处取得最大值；当时，满足的是如图的优弧，则与该优弧相切时取得最大值，故，所以，故该目标函数的最大值为.
11．（2014·安徽卷）x，y满足约束条件若 ＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为(　　)
A.或－1 B．2或
C．2或1 D．2或－1
【答案】D　
【解析】


12．（2014·北京卷）若x，y满足
且 ＝y－x的最小值为－4，则 的值为(　　)
A．2 B．－2 C. D．－
【答案】D　
【解析】可行域如图所示，当 >0时，知 ＝y－x无最小值，当 <0时，目标函数线过可行域内A点时 有最小值．联立解得A，故 min＝0＋＝－4，即 ＝－.

13．（2014·福建卷）若变量x，y满足约束条件则 ＝3x＋y的最小值为________．
【答案】1　
【解析】作出不等式组表示的平面区域(如图所示)，


14．（2014·广东卷）若变量x，y满足约束条件且 ＝2x＋y的最大值和最小值分别为m和n，则m－n＝(　　)
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B　
【解析】本题考查运用线性规划知识求目标函数的最值，注意利用数形结合思想求解．画出不等式组表示的平面区域，如图所示．

当目标函数线经过点A(－1，－1)时， 取得最小值；当目标函数线经过点B(2，－1)时， 取得最大值．故m＝3，n＝－3，所以m－n＝6.
15．（2014·湖南卷）若变量x，y满足约束条件且 ＝2x＋y的最小值为－6，则 ＝________.
【答案】－2　


16．（2014·全国卷）设x，y满足约束条件则 ＝x＋4y的最大值为________．

【答案】5　
【解析】如图所示，满足约束条件的可行域为△ABC的内部(包括边界), ＝x＋4y的最大值即为直线y＝－x＋ 的纵截距最大时 的值．结合题意，当y＝－x＋ 经过点A时， 取得最大值．
由可得点A的坐标为(1，1)，
所以 max＝1＋4＝5.
17．（2014·新课标全国卷Ⅰ 不等式组的解集记为D，有下面四个命题：
p1：∀(x，y)∈D，x＋2y≥－2，
p2：∃(x，y)∈D，x＋2y≥2，
p3：∀(x，y)∈D，x＋2y≤3，
p4：∃(x，y)∈D，x＋2y≤－1.
其中的真命题是(　　)
A．p2，p3 B．p1，p2
C．p1，p4 D．p1，p3
【答案】B　


18．（2014·新课标全国卷Ⅱ 设x，y满足约束条件则 ＝2x－y的最大值为(　　)
A．10 B．8 C．3 D．2
【答案】B　
【解析】已知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分所示，根据目标函数的几何意义可知，目标函数在点A(5，2)处取得最大值，故目标函数的最大值为2×5－2＝8.

19．（2014·山东卷）已知x，y满足约束条件当目标函数 ＝ax＋by(a＞0，b＞0)在该约束条件下取到最小值2　时，a2＋b2的最小值为(　　)
A. 5 B. 4 C. D. 2
【答案】B　


20．（2014·陕西卷）在直角坐标系xOy中，已知点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)，点P(x，y)在△ABC三边围成的区域(含边界)上．
(1)若＋＋＝0，求 ；
(2)设＝m＋n(m，n∈R)，用x，y表示m－n，并求m－n的最大值．
【解析】解：(1)方法一：∵＋＋＝0，
又＋＋＝(1－x，1－y)＋(2－x，3－y)＋(3－x，2－y)＝(6－3x，6－3y)，
∴解得
即＝(2，2)，故 ＝2.

(2)∵＝m＋n，
∴(x，y)＝(m＋2n，2m＋n)，
∴

两式相减得，m－n＝y－x，
令y－x＝t，由图知，当直线y＝x＋t过点B(2，3)时，t取得最大值1，故m－n的最大值为1.
21．（2014·天津卷）设变量x，y满足约束条件则目标函数 ＝x＋2y的最小值为(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B　
【解析】画出可行域，如图所示．解方程组得即点A(1，1)．

当目标函数线过可行域内A点时，目标函数有最小值，即 min＝1×1＋2×1＝3.
22．（2014·浙江卷）当实数x，y满足时，1≤ax＋y≤4恒成立，则实数a的取值范围是________．
【答案】